贝塞尔函数的模柱函数.ppt

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在用在用分离变量法分离变量法一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标一章介绍了拉普拉斯方程在柱坐标系下分离变量得到了一种特殊类型的常微分方程系下分离变量得到了一种特殊类型的常微分方程:

贝塞尔贝塞尔方程方程第二十章贝塞尔函数柱函数第二十章贝塞尔函数柱函数通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为通过幂级数解法得到了另一类特殊函数，称为贝塞尔贝塞尔函数函数贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用贝塞尔函数的主要是引用贝塞尔函数的正交完备性正交完备性20.1贝塞尔方程及其解贝塞尔方程及其解20.1.1贝塞尔方程贝塞尔方程拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的拉普拉斯方程在柱坐标系下的分离变量得出了一般的贝塞尔方程。

贝塞尔方程。

考虑固定边界的考虑固定边界的圆膜振动圆膜振动，可以归结为下述定解问题，可以归结为下述定解问题222222200（）（0,0）|0（0）（,）|（,）（,）|（,）ttxxyyxyltttuauuxyltutuxytxyuxytxyjy+=+=（20.1.1）其中l为已知正数，（,）,（,）xyxyjy为已知函数这个定解问题宜于使用这个定解问题宜于使用柱坐标柱坐标，从而构成，从而构成柱面柱面问题问题（由于是二维问题，即（由于是二维问题，即退化为极坐标退化为极坐标）设（,）（,）（）（,）uxytutTtUrjrj=对泛定方程分离变量（取2kl=）得220TkaT+=（20.1.2）22110|0lUUUkUUrrjrrr=+=（20.1.3）再令（,）（）（）URrjrj=F，得到20nF+F=（20.1.4）2222（）0RRkRrrrn+-=（20.1.5）令,（）（）kxRyxrr=于是（20.1.5）得到22222dd（）0ddyyxxxyxxn+-=（20.1.6）边界条件为边界条件为（）|（）0lykyklrr=方程（方程（20.1.6）称）称为为n阶贝塞尔微分方程阶贝塞尔微分方程这里这里nx和和可以为任意数可以为任意数20.1.2贝塞尔方程的解贝塞尔方程的解通过数学物理方程的通过数学物理方程的幂级数求解方法幂级数求解方法可以得出结论可以得出结论：

（1）当n整数时，贝塞尔方程（20.1.6）的通解为（）J（）J（）yxAxBxnn-=+（20.1.7）其中,AB为任意常数，J（）xn定义为n阶第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数但是当nn=整数时，有J（）

（1）J（）nnnxx-=-故上述解中的J（）nx与J（）nx-是线性相关的，所以（20.1.7）成为通解必须是n整数.

（2）当n取任意值时：

定义第二类贝塞尔函数第二类贝塞尔函数N（）xn，这样贝塞尔方程的通解可表示为（）J（）N（）yxAxBxnn=+（20.1.8）（3）当n取任意值时：

由第一、二类贝塞尔函数还可以构成线性独立的第三类贝塞尔函数第三类贝塞尔函数H（）xn，又称为汉克尔函数又称为汉克尔函数

（1）

（2）H（）J（）iN（）H（）J（）iN（）xxxxxxnnnnnn=+=-（20.1.9）分别将

（1）

（2）H,Hnn称为第一种和第二种汉克尔函数于是于是贝塞尔方程的通解贝塞尔方程的通解又可以表示为又可以表示为

（1）

（2）（H（）H（）yxAxBxnn=+（20.1.10）最后，总结最后，总结n阶贝塞尔方程的通解通常有下列三种形式：

（i）（）J（）J（）（yxAxBxnnn-=+整数）（ii）（）J（）N（）（yxAxBxnnn=+可以取任意数）（iii）

（1）

（2）（）H（）H（）（yxAxBxnnn=+可以取任意数）20.2三类贝塞尔函数的表示式及性质三类贝塞尔函数的表示式及性质20.2.1第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数的表示式的表示式第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数J（）xn的级数表示式为20201J（）

（1）（）!

（1）21J（）

（1）（）!

（1）2kkkkkkxxkkxxkknnnnnn+=-+-=-G+=-G-+（20.2.1）式中（）xG是伽马函数满足关系

（1）（）

（1）

（2）

（1）

（1）kkknnnnnnG+=+-+G+L当n为正整数或零时，

（1）（）!

kknnG+=+当n取整数时

（1）,（0,1,2,1）kknnG-+=鬃所以当nn=整数时，上述的级数实际上是从kn=的项开始，即201J（）

（1）（）,（0）!

（）!

2knknkxxnknk+=-+（20.2.2）而2201J（）

（1）（）!

（1）21

（1）

（1）（）,（）!

（1）2knknknnlnllxxknkxlknlnl-+-=+=-G-+=-=-G+（20.2.3）所以J（）

（1）J（）nnnxx-=-（20.2.4）同理可证J（）J（）nnxx-=-（20.2.5）因此有重要关系J（）

（1）J（）nnnxx-=-（20.2.6）可得几个典型的可得几个典型的贝塞尔函数表示式贝塞尔函数表示式24602235111J（）1（）（）（）2（2!

）2（3!

）211J（）（）（）22!

22!

3!

2xxxxxxxx=-+-+=-+-LL当x很小时（0）x，保留级数中前几项，可得1J（）（）,（1,2,3,）2

（1）xxnnnn-还鬃G+（20.2.7）特别是0J（0）1,J（0）0（=1,2,3,）nn=鬃（20.2.8）当x很大时322J（）cos（）（）42xxoxxnn-+（20.2.9）例20.2.1试证半奇阶贝塞尔函数122J（）sinxxx=证明：

由公式证明：

由公式（20.2.1）有有而13135（21）（）22kkk+鬃鬃G+=L故122102

（1）J（）（21）!

kkkxxxk+=-=+2sinxx=同理可证122J（）cosxxx-=121212220J（）

（1）12!

（1）2kkkkxxkk+=-G+20.3贝塞尔函数的基本性质贝塞尔函数的基本性质20.3.1贝塞尔函数的递推公式贝塞尔函数的递推公式由贝塞尔函数的级数表达式（由贝塞尔函数的级数表达式（20.2.1）容易推出）容易推出1J（）J（）ddvvxxxxxnn+=-（20.3.1）1dJ（）J（）dvvvvxxxxx-=（20.3.2）以上两式都是贝塞尔函数的以上两式都是贝塞尔函数的线性关系式线性关系式.诺伊曼函数N（）vx和汉克尔函数也应该满足上述递推关系若用（）vZx代表v阶的第一或第二或第三类函数,总是有1d（）（）dvvvvxZxxZxx-=（20.3.3）1d（）（）dvvvvxZxxZxx-+=-（20.3.4）把把两式左端展开两式左端展开,又可改写为又可改写为1（）（）（）vvvZxZxZxxn+-=-（20.3.5）1（）（）vvvZZxZxxn-+=（20.3.6）从（20.3.5）和（20.3.6）消去Zn或消去Zn可得11（）（）2（）vvvZxZxZx+-=-112（）（）（）vvvvZxZxZxx+-=-+即为从）（1xZv和）（xZv推算）（1xZv的递推公式.上式也可以写成为11（）（）2（）vvvvZxZxZxx-+=（20.3.7）11（）（）2（）vvZxZxZxn-+-=（20.3.8）任一满足一组递推关系的函数）（xZv统称为柱函数例例20.3.1证明柱函数满足贝塞尔方程证明柱函数满足贝塞尔方程【证明】以满足（【证明】以满足（20.3.7）和（）和（20.3.8）这一组）这一组递推公式递推公式来进行证明来进行证明：

将（20.3.7）与（20.3.8）相加或相减消去1Zn+或1Zn-分别得到1（）（）（）ZxZxZxxnnnn-+=（20.3.9）1（）（）（）ZxZxZxxnnnn+=-（20.3.10）将（20.3.9）式中的换成1n+，得到n111（）（）（）ZxZxZxxnnnn+=+（20.3.11）将（20.3.10）代入上式，立即得到（）Zxn满足n阶贝塞尔方程例例20.3.2求求2J（）dxxx【解】【解】根据公式根据公式（20.3.8）（20.3.8）11（）（）2（）vvZxZxZxn-+-=有201J（）J（）2J（）xxx=-20111111010J（）dJ（）d2J（）dJ（）2J（）J（）dJ（）2J（）J（）dJ（）2J（）xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxc=-=-=-+=-+蝌蝌例例20.3.3证明下式成立证明下式成立1110J（）dJ（）xmmmmxxxxx+=（20.3.17）特别是22120J（）dJ（）xxxxxx=（20.3.18）【证明证明】利用递推公式递推公式（20.3.2）即1dJ（）J（）dvvvvxxxxx-=，令1mn=+则则两边积分两边积分，故得到，故得到111dJ（）J（）dmmmmxxxxx+=1110J（）J（）dxmmmmxxxxx+=1m=其中取其中取，即为（即为（22.3.18）式）式。

20.3.2贝塞尔函数与本征问题贝塞尔函数与本征问题拉普拉斯方程在拉普拉斯方程在柱坐标柱坐标系下的系下的分离变量分离变量，得到了方程，得到了方程（14.6.7）即即2222d1d（）0ddRRRnmrrrr+-=（20.3.19）在自然周期边界条件下，mn=取整数，其它情况下n可取任意复数对另一本征值m分三种情况：

0，0和0进行讨论：

（）0方程（20.3.19）是欧拉方程欧拉方程；（）0作代换xmr=，则得到（）22222dd0（）ddRRxxxRxxxnmr+-=（20.3.21）即为n阶贝塞尔贝塞尔（Bessel）方程方程（）0记20km-=，以2km=-代入，并作代换xkr=则方程化为则方程化为（）22222dd0ddRRxxxRxxn+-+=（20.3.22）这叫作虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程如把贝塞尔方程（20.3.22）的宗量x改成虚数ix，就成了方程成了方程（20.3.21）贝塞尔方程本征值问题（即本征值0m的情况）：

1.第一类边界条件的贝塞尔方程本征值问题第一类边界条件的贝塞尔方程本征值问题220201dd（）（）0（0）dd（）0|（0）|RkRRRMnrrrrrrrrr+-=（20.3.23）根据圆柱的周期性边界条件（）（2+）jjF=F，则方程（20.3.23）中的0,1,2,3,mn=L上述方程上述方程（20.3.23）可进一步化为施刘型本征值问题的形式可进一步化为施刘型本征值问题的形式2200dd（）（）0（0）dd（）0|（0）|RmRkRRRMrrrrrrrrr+-+=（20.3.24）相应于施刘型方程中的22（）,（）,（）,mkxxqxxxkxrlm=-=故施刘型本征值问题的结论对于故施刘型本征值问题的结论对于贝塞尔方程的本征值问题贝塞尔方程的本征值问题也也成立成立贝塞尔方程贝塞尔方程（20.3.24）的通解的通解为为（）J（）N（）mmRABrmrmr=+（20.3.25）若用（）mnx表征J（）0mx=的第n个正根，于是本征值（）（）（）（）220（1,2,3,）mmmmnnnnxknlmr=L（20.3.26）代入边界条件决定本征值及本征函数代入边界条件决定本征值及本征函数因为因为（0）RM故故0B=又又0（）0Rr=，要，要0A，则，则必须必须0J（）0mkr=则则J（）0mx=就是就是决定本征值的方程决定本征值的方程.施刘型本征值问题的结论施刘型本征值问题的结论

（1）本征值本征值存在，且都是非负的实数存在，且都是非负的实数；12nlllLL

（2）本征值可编成本征值可编成单调递增单调递增的序列的序列本征值本征值即即（）（）（）22212000（）（）（）mmmnxxxrrr（）0mnx把把（）mnkr记为记为x（）0mnkr记作记作0x00（）22220011J（）dJ（）d（）2xxmnmmnnNxxxxxll=蝌002220011J（）J（）J（）d2xxmmmnnxxxxxxll=-=（20.3.38）（20.3.38）00（）222220011J（）J（）J（）J（）J（）d2xxmnmmmmmnnNxxxxxxmxxxll=+-00022222000dJ（）11J（）J（）（J）dJdJ2dxxxmmmmmmnnnxmxxxxxxxlll=+-蝌00022222200011J（）dJ（）J（）222xxxmmmnnnmxxxxxlll=+-00222220011（）J（）J（）22xxmmnnxmxxxll=-+22（）22（）2000011（）J（）J（）.22mmmnmnnmkkrrrrl-+第一类齐次边界条件第一类齐次边界条件第一类齐次边界条件第一类齐次边界条件则式（则式（则式（则式（20.3.3820.3.38）成为）成为）成为）成为（）0J（）0,mmnkr=（）22（）2001J（）2mmnmnNkrr=（20.3.39）以（以（20.3.5）代入上式，并且考虑到）代入上式，并且考虑到第一类齐次边界条件第一类齐次边界条件（）0J（）0,mmnkr=故得故得（）22（）20101J（）2mmnmnNkrr+=（20.3.40）第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件第二类齐次边界条件（20.3.3820.3.38）成）成）成）成为为为为（）0J（）0,mmnkr=2（）22（）2001（）J（）2mmnmnnmNkrrl=-（20.3.41）第三类齐次边界条件第三类齐次边界条件（）JJmmmnkH=-（20.3.38）成为成为22（）22（）20001（）J（）2mmnmnnnmNkHrrrll=-+（20.3.42）20.3.320.3.3广义傅立叶贝塞尔级数广义傅立叶贝塞尔级数广义傅立叶贝塞尔级数广义傅立叶贝塞尔级数按照施刘型本征值问题的性质，本征函数按照施刘型本征值问题的性质，本征函数按照施刘型本征值问题的性质，本征函数按照施刘型本征值问题的性质，本征函数族族族族（）J（）mmnkr是是完备的完备的，可作为，可作为广义傅立叶级数展开的基广义傅立叶级数展开的基定义在区间定义在区间,00上的函数上的函数）（f可以展开为广义的可以展开为广义的傅立叶贝塞尔级数傅立叶贝塞尔级数（）1（）J（）mnmnnffkrr=（20.3.43）其中其中广义傅氏系数广义傅氏系数0（）（）201（）J（）dmnmnmnffkNrrrrr=（20.3.44）例例例例20.3.420.3.4在区间在区间在区间在区间00,r上，以上，以（0）0J（）nkr为基，把函数为基，把函数0（）fur=（常数）展开为傅里叶贝塞尔级数（常数）展开为傅里叶贝塞尔级数.说明：

说明：

其中其中（0）（0）2nnkl=是本征函数是本征函数（0）0J（）nkr对应的本征值对应的本征值.【解】根据【解】根据（20.3.43）和和（20.3.44）则则（0）001J（）nnnufkr=其中其中其中其中系数系数系数系数这里这里这里这里的的的的0（0）00（0）201J（）dnnnfukNrrrr=（0）nN由由第一类边界条件所对应的模公式第一类边界条件所对应的模公式（20.3.40）给出给出本征值本征值（0）（0）（0）220nnnxklr=而而（0）nx是是0阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数0J（）x的第的第n个零点，个零点，可由可由贝塞尔函数表贝塞尔函数表查出查出这样这样这样这样令令令令0（0）002（0）200102J（）dJ（）nnnuxfxrrrrrr=（0）0nxxrr=，则则（0）（0）000010（0）（0）2（0）（0）2（0）（0）0111222J（）dJ（）J（）J（）J（）nnxxnnnnnnnuuufxxxxxxxxxxx=故故（0）000（0）（0）1102J（）J（）nnnnuxuxxrr=20.3.420.3.4贝塞尔函数的母函数贝塞尔函数的母函数贝塞尔函数的母函数贝塞尔函数的母函数（生成函数）（生成函数）（生成函数）（生成函数）1.1.母函数（生成函数）母函数（生成函数）母函数（生成函数）母函数（生成函数）考虑解析函数考虑解析函数）1

（2）,（zzxezxG在z0内的罗朗展式内的罗朗展式.注意注意此处的此处的x为为参变数参变数，不是复变数，不是复变数z的的实部实部.02!

）2（kkkzxzkxe02）（!

）2（1lllzxzlxe，00）1

（2）（!

）2（!

）2（klllkkzzxzlxzkxe对于固定的对于固定的对于固定的对于固定的zz0，以上两级数在内是可以相乘的，且可按任意方式并项内是可以相乘的，且可按任意方式并项,2,1,0,nnlk1（）22000

（1）

（1）（,）（）（）!

2（）!

2xllzklkllnnzklnlxxGxzezzklnll-+-+=-=+邋邋称称称称2.2.平面波用柱面波的形式展开平面波用柱面波的形式展开平面波用柱面波的形式展开平面波用柱面波的形式展开（,）J（）nnnGxzxz=-=（20.3.45）1（2zzxe为为贝塞尔函数的母函数贝塞尔函数的母函数（或生成函数）（或生成函数）ii,zexkrq=式（式（20.3.45）这公式是函数这公式是函数这公式是函数这公式是函数的的的的傅氏余弦展开式傅氏余弦展开式傅氏余弦展开式傅氏余弦展开式icosiii01J（）iJ（）J（）iJ（）ikrnnnnnnnnnnnekrekrkrekreqqqq-=-=+邋icos01J（）2iJ（）coskrnnnekrkrnqq=+（20.3.46）icoskreq当当当当（20.3.4620.3.46）式可以理解为）式可以理解为）式可以理解为）式可以理解为用柱面波来表示平面波用柱面波来表示平面波用柱面波来表示平面波用柱面波来表示平面波，并可写为，并可写为，并可写为，并可写为xkr=为为实数实数时，时，在物理意义上在物理意义上,021210cos（cos）J（）2

（1）J（）cos2sin（cos）2

（1）J（）cos（21）mmmmmmkrkrkrmkrkrmjjjj=+=+-=-+（22.3.47）（22.3.48）3.3.加法公式加法公式加法公式加法公式利用利用利用利用母函数母函数母函数母函数公式公式公式公式（,）J（）nnnGxzxz=-=1（）211（）（）22（,）J（）（,）（,）J（）J（）xyzmzmnxyzzknzzknknGxyzexyzeeGxzGyzxzyz+-=-=-+=+=邋比较两边的比较两边的比较两边的比较两边的44贝塞尔函数的积分表达式贝塞尔函数的积分表达式贝塞尔函数的积分表达式贝塞尔函数的积分表达式mz项的系数，即得项的系数，即得加法公加法公式式J（）J（）J（）mkmkkxyxy+-=-+=（20.3.49）利用利用母函数公式母函数公式（20.3.30）和罗朗展式的系数表达式和罗朗展式的系数表达式，得到，得到1（）211J（）d（0,1,2,）2ixzzmmCexzmz-+=北LiC0z是围绕是围绕点的任意一条闭曲线点的任意一条闭曲线如果取如果取如果取如果取从而得到从而得到从而得到从而得到C为单位圆，为单位圆，则在则在C上，有上，有izeq=22isini1ii（sin）0011J（）（）（i）dd2i2xmxmmxeeeeqqqqqqq-=蝌201J（）cos（sin）d,（0,1,2,）2mxxmmqqq=-=北L（20.3.50）其中积分式中的其中积分式中的sin（sin）xmjj-的项已的项已被省去被省去.因为在因为在因为在因为在20.420.4虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程0,2上其积分为零上其积分为零式式（20.3.35）就是就是整数阶贝塞尔函数的积分表达式整数阶贝塞尔函数的积分表达式0m=时，有时，有001J（）cos（sin）dxxqq=20.4.1虚宗量贝塞尔方程的解虚宗量贝塞尔方程的解在前面一节中，我们提到拉普拉斯方程在柱坐标系下的在前面一节中，我们提到拉普拉斯方程在柱坐标系下的在前面一节中，我们提到拉普拉斯方程在柱坐标系下的在前面一节中，我们提到拉普拉斯方程在柱坐标系下的虚宗量贝塞尔方程也称为修正贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程也称为修正贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程也称为修正贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程也称为修正贝塞尔方程分离变量方程，在分离变量方程，在0m

（2）由级数表达式知，当x是大于零的实数时，I（）xn没有实零点没有实零点;（3）递推公递推公式式1111112I（）I（）I（）,I（）I（）2I（）I（）I（）=I（）,I（）I（）=I（）mmmmmmmmmmmmmxxxxxxxmmxxxxxxxx-+-+-=+=+-（20.4.9）20.4.220.4.2第二类虚宗量贝塞尔函数的性质第二类虚宗量贝塞尔函数的性质第二类虚宗量贝塞尔函数的性质第二类虚宗量贝塞尔函数的性质整数时的级数形式：

整数时的级数形式：

整数时的级数形式：

整数时的级数形式：

根据定义式根据定义式（20.4.5），给出当，给出当mn=1120201

（1）!

K（）

（1）lnI（）

（1）（）22!

2

（1）1（）（）（）2!

（）!

2mmkmkmmkmmkkxmkxxxkxmkkkmkgjj-+-=+=-=-+-+（20.4.10）0.577216g=L是是欧拉常数欧拉常数.11（）knknj=递推公式递推公式递推公式递推公式：

（20.4.11）（20.4.11）1111112K（）K（）K（）,K（）K（）2K（）K（）K（）K（）,K（）K（）K（）mmmmmmmmmmmmmxxxxxxxmmxxxxxxxx+-+-+-=+=-+=-=-20.520.5球贝塞尔方程球贝塞尔方程球贝塞尔方程球贝塞尔方程20.5.1.20.5.1.球贝塞尔方程球贝塞尔方程球贝塞尔方程球贝塞尔方程用球坐标系对亥姆霍兹方程进行分离变量，得用球坐标系对亥姆霍兹方程进行分离变量，得球贝塞尔方程球贝塞尔方程（14.4.25）即即22222dd2

（1）0ddRRrrkrllRrr+-+=（20.5.1）称为l阶球贝塞尔方程球贝塞尔方程因为对于因为对于因为对于因为对于把自变量把自变量把自变量把自变量0kr）（rRx）（xy和函数分别换作和，令令krx（）（）2Rryxx=则则22222dd10dd2yyxxxlyxx轾骣+-+=犏琪桫犏臌（20.5.2）即为（即为（21l）阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程而对于而对于0k，方程，方程（20.5.1）即为即为欧拉型方程欧拉型方程,解为解为1）（llrDCrrR20.5.220.5.2球贝塞尔方程的解球贝塞尔方程的解球贝塞尔方程的解球贝塞尔方程的解根据并贝塞尔方程根据并贝塞尔方程根据并贝塞尔方程根据并贝塞尔方程（20.5.2（20.5.2）的解，可得）的解，可得）的解，可得）的解，可得球贝球贝球贝球贝塞尔方程塞尔方程塞尔方程塞尔方程（20.5.1）（20.5.1）的两个线性独立解的两个线性独立解的两个线性独立解的两个线性独立解为为为为12J（）lx+12N（）lx+或或12

（1）H（）lx+12

（2）H（）lx+再将它们每一个乘以再将它们每一个乘以2x即得到下列定义：

即得到下列定义：

12j（）J（）2llxxx+=11221（）n（）N（）

（1）J（）22llllxxxxx+-+=-（20.5.3）称之为称之为称之为称之为球贝塞尔方程的解球贝塞尔方程的解球贝塞尔方程的解球贝塞尔方程的解，并且称，并且称，并且称，并且称第三类球贝塞尔函数或球汉克尔函数第三类球贝塞尔函数或球汉克尔函数第三类球贝塞尔函数或球汉克尔函数第三