第四章--流变学三大方程-超详细.ppt

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第四章第四章基本物理量、流变学基础方程及本构方程基本物理量、流变学基础方程及本构方程本章主要内容：

本章主要内容：

4.1基本物理量基本物理量4.2连续性方程连续性方程4.3动量方程动量方程4.4能量方程能量方程4.5本构方程本构方程4.1基本物理量基本物理量一、张量分析基础1、张量概念a、标量：

只有大小，如温度、时间b、矢量：

既有大小又有方向，如位移、速度、加速度、力如空间坐标中，线段长度用OP表示，方向用箭头表示，记为用分量表示，单位矢量方向，在三个坐标轴的数值为a1、a2、a3。

OPa=rrar31122331iiiaaeaeaeae=+=rrrrr123eeerrr一些有关矢量的标符和记号i：

克罗内克尔符号引入克罗内克尔符号有9个分量，Ii：

哈密顿算符用于矢量运算时：

1（）0（）ijijijeeijd=rr111213212223313233100010001ddddddddd轾轾犏犏=犏犏犏犏臌臌ijd123123iieeeexxxx抖抖+=抖抖rrrriiiiexr其中，jijijjiieebaebeaba）（克罗内克尔符号（Kronecker）在现代数学和计算机科学中神通广大，不可不识。

初步介绍笛卡儿坐标系中的克罗内克尔符号。

以三维笛卡儿坐标系为例，三个坐标基矢之间有如下点积关系：

即下标相同的两个基矢的点积（即每个基矢的自点积）都等于1，表明坐标基矢均为单位矢量；下标不同的两个基矢的点积都等于0，表明坐标基矢两两相互正交。

为了简洁地表达上述关系，人们创造了如下的符号表达式：

称之为克罗内克尔符号，或克罗内克尔（Kronecker）。

上述的关系式就可以简洁地记为以克罗内克尔符号的分量为元素，可以构成一个矩阵显然是一个单位矩阵。

即首先，“”这个东西具有“双重性格”，它既是一个矢量，又是一个微分算子（求导运算），所以哈密顿算符兼具矢量和微分的性质。

当什么时候它的优势就能表现出来呢？

那就是后的函数不再是一个简单的f的时候，比如说，是两个标量函数的乘积fg，那这时就可以使用的微分运算性质了，以梯度运算为例，因为我们不知道grad的运算法则，所以直接做grad（fg）是不方便的，但将其表示为（fg）后，我们利用的微分运算性质，就可以很容易的得到（fg）=gf+fg，相当于直角坐标系指标记号梯度矢量散度旋度拉普拉斯算符gradff=rrrotff=汛rrdivff=rrg（）divgradff=Drr312123123eeexxxfff抖+抖rrriiiexfr312123vvvxxx抖+抖iivxkijaexr2iijxxf抖222312222123xxxfff抖+抖123123123eeexxxaaa轾犏抖犏犏抖犏犏臌rrrC、张量比向量更复杂的物理量，是向量的推广。

一个点处不同方向上具有不同量值的物理量称为张量，如应力、应应力、应变。

变。

指标矩阵标量aa零阶张量矢量ai一阶张量张量Tij二阶张量111213212223313233TTTTTTTTT轾犏犏犏臌123aaa轾犏犏犏臌第零阶张量（第零阶张量（r=0）为）为标量标量（Scalar），第一阶张量（），第一阶张量（r=1）为）为向量向量（Vector），第二阶张量（），第二阶张量（r=2）则成为）则成为矩阵矩阵（Matrix）在P点处，通过P点的每个方向都可求出相应的牵引力。

为描述流体内一点的应力状态，只需求出任何过该点的三个正交独立曲面上的牵引力即可，xyz分别作用在垂直于x、y、z轴的面上，将它们分别沿x、y、z三个方向分解，共有9个分量，分布如右图。

二、应力及应力张量1、应力的表示物体在外力作用会产生流动和变形，但物体同时为抵抗流动和变形，物体内部产生相应的应力。

应力定义为材料内部单位面积上的响应力，单位为Pa。

2、应力张量考虑流变过程中物体内一点P的应力。

在物体内部取一小封闭曲线s，令P点位于曲面s外表面的面元上，法线n指向曲线外部。

考察封闭曲面s外的物质通过面元对曲面s内物质的作用力，设面元上的作用力为F，则：

为P点处具有法线n的面元上的平均表面牵引力，注意它与法线方向不重合。

0limsFsddsd=用应力张量形式表示为：

其中，第一个下标表示力的作用面的法线方向，第二个下标表示力作用的方向，如xy表示作用在与x垂直的平面上的应力分量，方向指向y。

当i=j时，表示应力方向与外法线方向相同，称为应力张量的法向分量，xxyyzz分别垂直于与x、y、z垂直的平面上。

当ij时，表示应力分量作用在相应面的切线方向上，称为剪切分量，如xyyzzx。

xxxyxzyxyyyzzxzyzzsssssssss轾犏犏犏臌按照Caucky应力定律，在平衡时物体受的合外力和合外力矩等于0，所以平衡时应力张量为对称张量，只有6个独立分量。

三个法向应力分量和三个剪切应力分量。

3、应力张量的特殊类型A、静态压缩流体在充分长的时间内处于静止状态，无切应力，只有法向应力，大小等于静压P，方向相反。

.xxxyxzyyyzzzssssss轾犏犏犏臌00000000.0000xxyyijzzPPPPsssds-轾轾犏犏=-=-犏犏犏犏-臌臌B、单轴拉伸单轴拉伸此时流体只受到一个方向的拉力。

应力张量可写成以下形式：

1100000000ss轾犏=犏犏臌应力11的方向和它的法线方向是与主应力方向对应的。

与前述静载情况相反，这里的主应力是不相等的：

其中之一等于11，另外两个等于0.C、应力张量的分解其中，m为平均法向应力。

对于流体而言，m相当于流体内部的压力-P，这样偏应力张量的重要特征是对角线之和等于0。

100.0103.001232323xxxyxzxxyyzzyyyzzzxxyyzzxyxzyyxxzzyxyzmijijzzxxyyzxzysssssswssssssssssssssdtsssss轾轾+犏犏=犏犏犏犏臌臌-轾犏犏-犏+=+犏犏-犏犏臌各向同性张量偏应力张量ijijPsdt=-+D、简单剪切设流体的应力状态为，只有剪切分量xy是常数，而其它剪切分量为0，即在y=常数的平面上沿x方向受到剪应力，按照应力对称原则，在x=常数的平面上沿y方向也有剪切应力存在。

如右图所示。

对于牛顿流体，只有粘性没有弹性，因此与弹性形变相关的法向应力分量相等，均等于各向同性压力-P，应力张量为：

可见，在偏应力张量中，各法向应力分量等于0，只有一个独立变量剪切应力分量，所以只需定义一个函数粘性函数，就可描述其应力状态。

0100000.0100000001000PPPPttstt-轾轾轾犏犏犏=-=-+犏犏犏犏犏犏-臌臌臌高分子液体是粘弹性流体，既有粘性流动，又有弹性形变，法向应力分量不再相等，此时：

可见，偏应力张量中有4个应力分量。

同一个应力张量分解，可给出两种不同的分解方法，如：

上面两种分解方法中，各向同性压力P的值不同，导致偏应力张量中法向应力分量的值不同，111122223333010000.01000000100PPPPststststsss+轾轾轾犏犏犏=-+犏犏犏犏犏犏+臌臌臌310200110110020110002002000310100210110010100002001001轾轾轾犏犏犏=+-犏犏犏犏犏犏臌臌臌-轾轾轾犏犏犏=+犏犏犏犏犏犏臌臌臌偏应力张量但是，可以发现，偏应力张量中的两个法向应力偏应力张量中的两个法向应力分量的差值相等分量的差值相等。

在高分子流体流变过程中，单独追求法向应力分量的绝对值没有意义，重要的是两个法向应力分量的差值在各种分解中保持不变，这就是法向应力差函数法向应力差函数。

N1、N2加上粘度函数，三个函数即可描写简单剪切场中高分子流体的应力状态和粘弹性。

1112222233NNssss=-=-第一法向应力差函数第二法向应力差函数4.2连续性方程连续性方程1、偏微分连续性方程的推导连续性方程指在空间给定的任何体积中流体的质量增加速率等于流进该体积的质量流率。

即单位时间内质量的累积量=进入量-流出量。

如右图，在直角坐标系中选一个立方体，边长dx、dy、dz。

设任一点（x、y、z）在t时刻的速度为，其三个分量为x、y、z，流体密度为，则（）,AMxtdttr=单位时间内曲面A中包含的流体质量的变化率为：

式中M为，MMt=（）,xtr为时刻t，空间任一点x的质量密度。

积分是对体积A的体积分,质量流量为。

在x方向，单位时间内通过面积1进入流体的质量为：

单位时间内通过面积2流出的质量为：

则x方向的总流体质量为：

1xMvdydzr=2xdxMvdydzr+=12（）xdxxMMvvdydzr+-=-将按泰勒级数展开，并略去高阶微量，则有：

同样，y方向的总流体质量为：

z方向的总流体质量为：

xdxv+12xxdxxxvvvdxxvMMdxdydzxrrrr+=+-=yvdxdydzyrzvdxdydzzr这就是单组分在直角坐标系中偏微分形式的连续性方程。

对于任何一种稳定流动，有所以：

对于不可压缩流体的稳定流动，有：

0tr=0（44）yxzvvvxyzrrr+=-抖0（45）yxzvvvxyz+=-抖2、用矢量形式表示的连续性方程如u为数性函数，则：

如A为矢量函数，则：

ijkxyz骣抖+押琪抖桫为哈密尔顿算子（）uuuuijkijkgraduxyzxyz骣抖抖抖+=押琪抖抖抖桫u=为梯度.（）（）（）（）（）yxzyyxxzzxyzAAAAijkdivAxyzxyzAAAAAAijkrotAyzyzzxxyAAA骣抖+=押琪抖抖抖桫抖抖抖抖=-+-+-=汛抖抖抖抖xyz（Ai+Aj+Ak）=为散度ijkA=为旋度x如：

密度梯度V散度.yxzvvvVxyzrrrr+抖ijkxyzrrrr抖+抖=2222222.xyz抖=D=+蜒抖为拉普拉斯算子（）.（）.（46）xyzxyzddtdxdydztxyzddxdydzdttxdtydtzdtvvvtxyzijkvivjvktxyzVtrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr抖抖=+抖抖抖抖=+抖抖抖抖=+抖抖抖抖=+抖抖=+3、全导数形式的连续性方程密度是时间t和空间xyz的函数，则根据全微分的定义：

式（4-6）进一步可写为：

将（4-8）代入（4-7）有：

这为全导数形式的连续性方程。

.（47）VVVtrrrr=-.（49）dVVVVdivVdtrrrrrr=-流体的质量散度，反映了流动场中某一瞬间区的流量发散程度4.连续性方程的讨论（4-7）式描述了密度对时间的全导数,可见,质量的总变化率由两部分组成:

是由时间变化而引起的质量变化,是由于流场的不稳定性引起的质量变化,是局部项.是由空间位置而引起的质量变化,是由于场的不均匀性引起的质量变化.trxyzvvvxyzrrr抖+抖将去掉,则有:

为全微分-偏微分关系算符,也叫实质微分算符.其中,左边表示的函数称:

随体导数”,指物理量随着流体质元一起运动时所发生的变化率,或者是当流体的微元体积上的一点在dt时间内从进入微元体积的空间位置（x,y,z）移动到离开微元体积的的空间位置（x+dx,y+dy,z+dz）时,物理量随时间的变化率.（410）xyzDvvvDttxyz抖抖=+-抖抖5.连续性方程的应用范围:

适用于牛顿或非牛顿可压缩或不可压缩.它由两部分组成,一是物理量的局部变化,即在空间一个固定点上随时间的变化,由场的不稳定性引起;二是物理量的对流变化,即由于流体质点的运动,从一点转移到另一点时所发生的变化,由空间位置变化引起的变化,为对流导数,由场的不均匀性引起.4.3动量方程动量方程1.作用在运动物体的力应力A:

动量与力质量与速度的乘积,为动量M,单位体积流体的动量为V.根据牛顿第二定律,力F=ma=mV/t=M/t,即力是单位时间内动量的输入量.B:

作用在运动物体上的力应力分为两大类:

质量力与表面力质量力:

作用于流体微团整体上的力，与流体的质量或体积成正比,是时间和空间的函数。

如重力惯性力等.表面力:

由相邻流体质点或其他物体直接作用于流体微团表面上的力.表达动量守恒的数学方程称为动量方程，即表达动量守恒的数学方程称为动量方程，即运动方程。

运动方程。

如右图,运动流体中一个沿给定方向n,通过点m的平面,取此平面中包围点m的一个面元s.此表面一侧的流体必然对另一侧的流体有一个作用力F.表面应力定义为:

以法线n为方向,包围点m的面元s上的表面力F,极限就是m处的表面应力（n）.包围点m的面元是有方向的,随面元的取向不同,表面应力值不同,可分解为法向应力即沿作用面法向方向的应力和沿作用面方向的力即切向应力.2.运动方程推导类似牛顿第二定律,根据动量衡算,作用于一个体积元上的力等于该体积元在单位时间内动量的增量,即对于流体中任一个体积元,在单位时间内,动量的累积量等于”由于质量转移而净由于质量转移而净入的动量入的动量”与”由于力由于力引起的动量增量引起的动量增量”之和.动量的累积量=（入动量-出动量）+力如右图,在直角坐标系中,取一微小立方体积元dxdydz,该体积元受应力和重力作用.A.由于质量转移而净流入的总动量在x方向在单位时间内从左方流入该体积元的动量为Mvxdydz在单位时间内从右方流出该体积元的动量为Mvx+dxdydz将vx+dx按泰勒级数展开,并略去高阶微分,则有:

单位时间内从左右两面由于质量转移而净入的动量:

xxxdxMvMvdydzMvdydzdxdydzx+-=-同理,在y方向有:

在z方向有:

这样,对于体积元dxdydz来说,在单位时间内,由于质量转移而净流入的总动量为:

yMvdxdydzy-zMvdxdydzz-1（411）yxzVyxzVMvMvMvMdxdydzxyzMvMvMvdVxyz轾=-+犏抖臌轾=-+-犏抖臌蝌蝌B:

表面力引起的动量在单位时间内,由表面应力引起的体积元动量增量为:

应用高斯公式,将面积分转变为体积分,有:

C:

由质量力引起的动量在单位时间内,由重力引起的体积元动量增量为:

2yzxzxyxyzsssMdydzdxdzdxdysss=+蝌蝌蝌2（）（412）yxzVVVyxzVMdxdydzdxdydzdxdydzxyzdVxyzssssss=+抖=+-抖蝌蝌蝌蝌蝌3（413）VMgdVr=-蝌D.单位时间内体积元动量累积量:

由于体积元选择的任意性,去掉三重积分有:

为方便起见,令这样,（4-14）可写成:

123VyyxxzzVVVMdVMMMtMvMvMvdVdVgdVxyzxyzsssr=+抖骣骣抖抖=-+琪琪抖抖抖桫桫蝌蝌蝌蝌蝌（414）yyxxzzyyxxzzMvMvMvMgtxyzxyzMvMvMvMgtxyzxyzsssrsssr抖骣骣抖抖=-+琪琪抖抖抖桫桫抖骣骣抖抖+=+-琪琪抖抖抖桫桫yxiziMvMvMvMvxyzw骣抖+=琪抖抖桫iiiiiiMvvMMMMvtwtww抖抖+=+抖抖前面介绍过的随体导数引入:

据连续性方程:

（）（）（.）iiiiiiiiyxzMvvMdMMMvtwdtwvvdvdvdvvvdtwdtdtwvvvdvdvvdtdtxyzdvdvvvdtdtrrrrrrrrrrrr抖+=+=抖抖=+=+抖=+抖=+Q（.）0dvdtrr+这样（4-14）左边:

右边:

于是,（4-14）变为:

这就是运动方程.（415）iiMvMdvtwdtr+=-抖.（416）yxzggxyzsssrsr骣+=-琪抖桫.（417）dvgdtrsr=-3.其它形式的运动方程A:

前面介绍过张量的分解,有:

即某方向总应力由各向同性压力（P）+偏应力分量组成,这样代入（4-17）有:

ijijijPsdt=-+.（）.（418）dvPgdtPggradPdivgrdtrdtrtr=+=-=-+-B:

各个方向的运动方程:

如x方向,x方向的应力分量有xx,yy,zz（419）yxxxxzxxdvPgdtxxyztttrr骣抖=-+-琪抖抖桫（420）yxyyyzyydvPgdtyxyztttrr抖骣=-+-琪抖抖桫（421）yzxzzzzzdvPgdtzxyztttrr骣=-+-琪抖抖桫C:

将dv/dt展开后各个方向的运动方程:

v=v（t,x,y,jz）求全导数在x方向:

在y方向:

在z方向:

（422）yxxxxxxxzxxyzxvvvvPvvvgtxyzxxyztttrr骣骣抖抖抖+=-+-琪琪抖抖抖抖桫桫（423）yyyyxyytzyxyzyvvvvPvvvgtxyzyxyztttrr抖抖抖骣骣+=-+-琪琪抖抖抖抖桫桫（424）yzxzzzzzzzxyzzvvvvPvvvgtxyzzxyztttrr骣骣抖抖+=-+-琪琪抖抖抖抖桫桫4.物理意义与应用范围:

式（4-22）（4-23）（4-24）左边括号中是流场中某微团的加速度,即随流导数随流导数,由两部分组成,第一项是表示速度随时间的变化率速度随时间的变化率,是局部加速度,其余三项是随空间坐标变化,是迁移加速度.由于是单位体积的质量,所以左边相当于力,是惯性力项,反映单位时间单位体积内流体动量的增量.右边第一项是静压力项,反映静压力对动量的影响;第二项是粘性力项,反映流体粘性对动量的影响;第三项是重力项,反映重力对动量的影响.可见,惯性力=静压力+粘性力+重力.任何流体都适用.由于高分子流体的粘度很大,重力常忽略不计.影响流体的流动主要是压力和粘弹力.流动形式可区分为:

压力流和拖曳流.4.4能量方程能量方程1.内能对时间的导数du/dt从热力学得知,内能是T和体积V的函数,即u=u（V,T）,则全微分为:

其中,cv是恒容热容,难以直接测定,必须经过变换为可测的形式.由热力学第一定律,热力学第二定律:

（425）VTVTuududTdVTVucdTdVV抖骣骣=+琪琪抖桫桫骣=+-琪桫TuV骣琪桫Qduwdd=+外界所做功热量交换QTdsdd=du=Tds-w=Tds-PdV表达能量守恒的数学方程称为能量方程表达能量守恒的数学方程称为能量方程根据能量守恒原理，在固定体积中总能量的变化率，等于进入该体积的根据能量守恒原理，在固定体积中总能量的变化率，等于进入该体积的总能量的净流量、热流的净流量和对该体积所做功之功率之和。

总能量的净流量、热流的净流量和对该体积所做功之功率之和。

根据普遍的能量守恒定律，系统由初态经过任意过程到达终态后，内能的增量U应等于在此过程中外界对系统传递的热量Q和系统对外界作功A之差，即UUUQW或QUW这就是热力学第一定律的表达式。

QdUW，dU是全微分；Q、W是过程量，Q和W只表示微小量并非全微分，用符号以示区别。

又因U或dU只涉及初、终态，只要求系统初、终态是平衡态，与中间状态是否平衡态无关。

热力学第二定律不可能把热从低温物体传到高温物体而不产生其他影响；不可能从单一热源取热使之完全转换为有用的功而不产生其他影响；不可逆热力过程中熵的微增量总是大于零。

恒温下对体积求导:

根据麦克斯伟热力学函数关系式:

有:

代入（4-25）有:

对t求导有:

是单位质量内能随时间变化表达式,两边均乘以有:

TTusTPVV抖骣骣=-琪琪抖桫桫TVsPVT抖骣骣=琪琪抖桫桫（426）TVuPTPVT抖骣骣=-琪琪抖桫桫（427）VVPducdTTPdVT轾骣=+-琪犏桫臌（428）VVdudTPdVcTPdtdtTdt轾骣=+-琪犏桫臌（429）VVdudTPdVcTPdtdtTdtrrr轾骣=+-琪犏桫臌其中,有:

根据连续性方程有:

11ddVddtdtdtrrrrr=-1（430）VVdudTPdcTPdtdtTdtrrrr轾骣骣=+-琪犏琪桫桫臌.dvdtrr=-.（431）VVdudTPcTPvdtdtTrr轾骣=+-琪犏桫臌2.傅立叶热传导定律如右图,在dt时间内,穿过单位等温面dF的热流dQ,只与温度梯度即T=T2-T10成正比,即其中,为导热系数,单位w/m.k,是指对于等温面只考虑其沿法向方向的温差.dQTdFdtnl=-TnxyzTqixTqjyTqkzlll=-=-=-若单位时间单位面积的热量以q表示,则在xyz三个方向有:

单位时间内通过微体积元的总传热量为:

这就是热传导方程.3.能量守恒方程推导流动场中有以下几种能量:

总能量E=内能u+动能k=流动能量v方向+热传导能量Q+应力做功能量+重力作用能量单位质量流体的能量为E,单位体积的质量所具有的能量为E.表示单位时间内在体积元中所累积的能量,由上述4部分组成.（）（432）xyzTTTqqqqijkTgradTxyzlll抖=+=-+=-抖EtrA.流动能量E1体积元dxdydz中流动能量流通情况如下Evx为单位时间内沿着x方向进入体积元的流动能量Evx+dx为单位时间内沿着x方向流出体积元的流动能量沿x方向的流动能量累积量为:

沿y方向的流动能量累积量为:

沿z方向的流动能量累积量为:

（）yzxxdxsEvEvdydzrr+-蝌（）xzyydysEvEvdxdzrr+-蝌（）xyzzdzsEvEvdxdyrr+-蝌体积元dxdydz总的累积量:

（）1（）（）（）.（433）yzxzxyxxdxyydyzzdzsssyxzVVEEvEvdydzEvEvdxdzEvEvdxdyEvEvEvdxdydzxyzEvdVrrrrrrrrrr+=-+-+-骣=-+琪抖桫=-蝌蝌蝌蝌蝌B.热传导能量E2右图给出流动场中微小体积元dxdydz上热量传递示意图.qx为单位时间内通过单位面积沿着x方向进入体积元的热量qx+dx为单位时间内从另一面传出的热量单位时间内沿x方向的累积的热量为:

qx-qx+dx单位时间内沿y方向的累积的热量为:

qy-qy+dy单位时间内沿z方向的累积的热量为:

qz-qz+dz这样,通过微小体积元的热传递能量为:

（）（）（）（）222（）（）（）.（432）.（434）yzxzxyxxdxyydyzzdzsssyxzVVVVVEqqdydzqqdxdzqqdxdyqqqdxdydzxyzqdVqTETdVTdVTdVllll+=-+-+-骣=-+琪抖桫=-=-=D-蜒蝌蝌蝌蝌蝌蝌蝌蝌蝌QC.应力做功的能量E3流动场中微小体积元dxdydz,应力做功示意图如右.对于单位面积而言,单位时间应力做功w为应力与位移速度v的乘积,即w=v可见,x方向应力做的净功为:

（）yzxxxxdxxxsVvwvvdydzdVxsss+=-=蝌蝌y方向应力做的净功为:

z方向应力做的净功为:

总的应力做的能量为:

zzVvwdVzs=蝌yyVvwdVys=蝌VVzyxzyxdVvdVzyxvvvwwwE）354（）（）（3D.重力做功的能量E4重力在单位时间内对单位体积流体所做的功为:

g.v这样,由于体积选择的任意性,去掉三重积分:

这就是能量守恒方程.4.（436）VEgvdVr=-蝌1234.（.）.VVEdVEEEEtEvqvgvdVrrsr=+=-蝌蝌.（.）.（437）EEvqvgvtrrsr=-4.其它形式的能量守恒方程对于聚合物加工而言,以温度变化形式表示的能量守恒方程更常用.式（4-37）左边:

右边第一项:

根据随体导数概念:

（438）EEEtttrrr抖=+-抖.（439）EvEvEvrrr（）.dEEEvdtt=+两边乘以:

连续性方程:

两边乘以E:

（）（）.（440）dEEEvdttEdEEvtdtrrrrrr=