中考数学复习方程专题教学设计.docx
《中考数学复习方程专题教学设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学复习方程专题教学设计.docx（28页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
中考数学复习方程专题教学设计
第1讲:
一元一次方程及其应用
一、复习目标
1、准确地理解方程、方程的解、解方程
和一元一次方程等概念。
2、熟练地掌握一元一次方程的解法。
3、能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题。
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1、根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并求解。
2、寻找等量关系，直接、间接设元。
四、教学过程
（一）知识梳理
一元一次方程解的概念
1、什么是方程？
方程和等式的区别是什么？
2.什么是一元一次方程？
它的标准形式和最简形式是什么？
一元一次方程是只指含有未知数，且未知数的最高次数是的方程。
它的标准形式是：
它的最简形式是：
3.什么是方程的解，什么是解方程？
解一元一次方程的一般步骤有哪些？
它的根据是什么？
1、：
不要漏乘分母为1的项。
2、：
注意符号
3、：
①将含有未知数的项移到等式的一边；将常数项移到另一边；②注意“变号”
4、（乘法分配律的逆用）
5、：
除以一个数等
于乘以这个数的倒数。
等式的性质
等式有哪些性质，并以字母形式表示出来
等式性质1：
如果a=b，那么：
a+c=
等式性质2：
如果a=b，那么：
ac=，a/c=（c≠0）
（二）题型、方法归纳
考点一、考查一元一次方程解的概念
技巧归纳:
1、主要是在考查方程的解的定义的基础上求方程中参数的值
2、未知数的系数化为1，就是在方程两边同时除以未知数的系数或同时乘未知数
的系数的倒数．
考点二 含字母系数的一元一次方程
技巧归纳:
含字母系数的一元一次方程总能转化为“ax＝b”的形式
，对于方程中字母系数a、b的值没有明确给出时，则要对a、b的取值的可能情况进行讨论，再讨论方程的解的情况，其方法为：
①当a≠0时，方程有唯一解，即x＝
当a＝0，b＝0时，方程的解为无数个；当a＝0，b≠0时，方程无解．
考点三、求增长率问题
技巧归纳:
在解这一类题目时关键要找好“单位1”
考点四、打折销售问题
技巧归纳:
列方程解应用题关键在于审题，抓住关键词，找出已知量、未知量以及它们之间的相等关系，然后设未知数，列方程，解答．
考点五、利用一元一次方程
技巧归纳:
列方程解应用题关键在于审题，抓住关键词，找出已知量、未知量以及它们之间的相等关系，然后设未知数，列方程，解答．
（三）典例精讲
例1已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=m，则m的值是
解析：
由题意知道方程的解是x=m,根据方程的解的定义，把
代入方程
得：
，所以
.
例2．已知关于x的方程2x＋a－
9＝0的解是x＝2，则a的值为（D）
A.2B.3C.4D.5
例3、若x＝2是关于x的方程2x＋3m－1＝0的解，则m的值为______-1_____．
例4 解关于x的方程：
2a（a－4）x＋4（a＋1）x－2a＝a2＋4x
原方程整理得：
a（2a－4）x＝a（a＋2）
①当a≠0，a≠2时方程有唯一解，x
②当a＝0时，方程有无数个解；
③当a＝
2时，方程无解．
含字母系数的一元一次方程总能转化为“ax＝b”
的形式，对于方程中字母系数a、b的值没有明确给出时，则要对a、b的取值的可能情况进行讨论，再讨论方程的解的情况，其方法为：
①当a≠0时，方程有唯一解，即x＝
；当a＝0，b＝0时，方程的解为无数个；当a＝0，b≠0时，方程无解．
例52009年全国教育计划支出1980亿元，比2008年增加380亿元，则2009年全国教育经费增长率为。
解析：
由题目条件知道2008年我国教育支出为1980-380=1600（亿元），所以可设2009年全国教育经费增长率为x%，则有：
1600（1+x%）=1980。
解
得：
x=23.75%，所以2009年全国教育经费增长率为23.75%.
点评：
本题是一道和时事相结合的题目，主要考查了增长率问题的求法，在解这一类题目时关键要找好“单位1”。
例6某商场的老板销售一种商品，他要以不低于进价20%价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价．若你想买下标价为360元的这种商品，最多降价多少时商店老板才能出售（ ）
A．80元B．100元C．120元D．160元
解析：
在解本题时要先求出商品的标价，所以设商品的标价为x元，根据题意得：
，解得：
x=200，又因为要以不低于进价20%价格才能出售所以最低价为200（1+20%）
=240（元）。
360-240=120（元）想买下标价为360元的这种商品，最多降价120元商店老板才能出售，答案选C.
点评：
打折销售问题一直是种考中的热点问题
，充分考查了同学们的分析问题和解决问题的能力.
例7、儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子的4倍？
解：
假设在x年后父亲年龄恰好是儿子的4倍，可列
方程40＋x＝4（13＋x），解得x＝－4.则40－4＝36,13－4＝9,36÷9＝4.即4年前父亲年龄恰好是儿子的4倍．
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握一元一次方程解的概念,等式的性质,一元一次方程的解法及其应用。
（五）随堂检测
1．在①
；②
；③
；④
中，等式有_____________，
方程有_____________．
2．已知等式
是关于x的一元一次方程，则m=____________．
3．当x=时，代数式
与代数式
的值相等．
4．已知三个连续奇数的和是
，则中间的那个数是_______．
5．某工厂引进了一批设备，使今年单位成品的成本较去年降低了
．已知今年单位成品的成本为
元，则去年单位成品的成本为_______元．
6．小李在解方程
（x为未知数）时，误将
看作
，解得方程的解
，则原方程的解为________________________
___．
五、板书设计
概念性质
六、作业布置
一元一次方程及其应用课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感
受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。
采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。
进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
第2讲:
一次方程组及其应用
一、复习目标
1、了解一次方程、二元一次方程组的概念。
知道方程组的解的含义。
2、会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、
3、运用化归思想，分析出解二元一
次方程组的本质是消元。
运用方程或方程组解决实际问题。
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
能正确的分析问题，从问题中找出已知量和未知量之间的数量关系
四、教学过程
（一）知识梳理
方程及相关概念
方程的概念
含有未知数的________叫做方程
方程的解
使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做_______，也叫它的________
解方程
求方程解的过程叫做________
一元一次方程的定义及解法
定义
只含有________个未知数，且未知数的最高次数是________次的整式方程，叫做一元一次方程
一般形式
________________
二元一次方程（组）的有关概念
二元一次方程组的解法
代入法
定义
在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一
个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法
防错提醒
在用代入法求解时，能正确用其中一个未知数去表示另一个未知数
加减法
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，从而消去
这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法
一次方程（组）的应用
列方程（组）解应用题的一般步骤
1.
审
审清题意，分清题中的已知量、未知量
2.设
设未知数，设其中某个未知量为x，并注意单位．对于含有两个未知数的问题，需要设两个未知数
3.列
根据题意寻找等量关系列方程
4.解
解方程（组）
5.验
检验方程（组）的解是否符合题意
6.答
写出答案（包括单位）
常见的几种方程类型及等量关系
行程问题
基本量之间的关系
路程＝速度×时间
相遇问题
全路程＝甲走的路程＋乙走的路程
追及问题
若甲为快者，则被追路程＝甲走的路程－乙走的路程
流水问题
v顺＝____________，v逆＝____________
工程问题
基本量之间的关系
工作效率＝
其他常用关系量
（1）甲、乙合做的工作效率＝甲
的工作效率＋乙的工作效率；
（2）通常把工作总量看作“
（二）题型、方法归纳
考点1等式的概念及性质
技巧归纳：
运用1.等式及方程的概念；2.等式的性质
考点2一元一次方程的解法
技巧归纳：
1．一元一次方程及其解的概念；2．解一元一次方程的一般步骤．
考点3二元一次方程（组）的有关概念
技巧归纳：
运用二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法以及
算术平方根的定义。
考点4二元一次方程组的解法
技巧归纳：
（1）在二元一次方程组中，若一个未知数能很好地表示出另一个未知数时，一般采用代入法．
（2）当两个方程中的某个未知数的
系数相等或互为相反数时，或者系数均不为1时，一般采用加减消元法．
考点5利用一次方程（组）解决生活实际问题
技巧归纳：
利用二元一次方程组解
决生活实际问题．
（三）典例精讲
例1如图①，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量．请你判断：
1个砝码A与________个砝码C的质量相等．
解析：
依题意得
两个等式相加2A+B=B+4C,A=2C
例2、解方程
＝
解：
原方程可变形为
＝
；
去分母，得3（3x＋5）＝2（2x－1）；
去括号，得9x＋15＝4x－2；
得9
x－4x＝－15－2；
合并，得5x＝－17；
得x＝－
.
例3、已知
是二元一次方程组
的解，则2m－n的算术平方根为（ ）
A．±2B.
C．2D．4
此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法以及算术平方根的定义。
由
是二元一次方程组
的解，根据二元一次方程组的解得定义，可得
，解得
。
所以2m-n=4所以2m-n的算术平方根为2，故选C
例4解方程组：
例5某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：
投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购．投资者可以在以下两种购铺方案中作出选择：
方案一：
投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10%.
方案二：
投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后，每年可获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．
（1）请问，投资者选择哪
种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？
为什么？
（2）对
同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：
甲、乙两人各投资了多少万元．
[解析]
（1）利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较；
（2）利用
（1）的表示，根据二者的差是5万元，便可列方程求解．
解：
（1）设商铺标价为x万元，则
按方案一购买，则可获投资收益（120%－1）·x＋x·10%×5＝0.7x，
投资收益率为
×100%＝70%.
按方案二购买，则可获投资收益（120%－0.85）·x＋x×10%×（1－10%）×3＝0.62x.
∴投资收益率为
×100%≈72.9%.
∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．
（2）由题意得0.7x－0.62x＝5，
解得x＝62.5（万元）．
∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元．
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握一次方程（组）的概念和解法及一次方程的应用。
（五）随堂检测
1．二元一次方程组
的解是（）
A．
B．
C．
D．
2．“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（）
A．x（1＋30%）×80%＝2080
B．x·30%×80%＝2080
C．2080×30%×80%＝x
D．x·30%＝2080×80%
3．为了丰富同学们的业余生活，体育委员小强到体育用品商店购买羽毛球拍和乒乓球拍，若购买1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共
需50元，小强一共用了320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍x元，每副乒乓球拍y元，则可列二元一次方程组为（）
A．
B．
C．
D．
4．有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x，y应分别为（）
A.x＝1，y＝3B.x＝3，y＝2C.x＝4，y＝1D.x＝2，y＝3
5．湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人，我市某九年级一学生家长准备等孩子中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20000元．设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5000元用于购物和品尝台湾美食，根据题意，列出方程为_______．
6．方程组
的解是_______．
五、板书设计
概念解题方法
六、作业布置
一次方程组及其应用课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。
采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。
进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
第3讲一元二次方程及其应用
一、复习目标
1.了解一元二次方程的定义及一般形式．
2．理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解带有数字系数的一元二次方程．
3．会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实根是否相等．
4．了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）．
5．能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理．
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
1．熟练配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解带有数字系数的一元二次方程．
2．会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根和两个实
根是否相等．
四、教学过程
（一）、知识梳理
一元二次方程的概念及一般形式
1.－元二次方程的定义：
只含有_______个未知数，并且未知数的最高次数是_______的_______式方程叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式是________（a_______0），其中ax2叫做_______项，a是_______，bx叫做_______，b是_______，c叫做_______项．
一元二次方程的四种解法
1．一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法：
形如（mx＋n）2＝p（p≥0）的方程的根为________．
（2）配方法的步骤：
移项，二次项的系数化为1（该步有时可省略），配方，直接开平方．
（3）求根公式法：
方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2－4ac_______0时，x＝________．
（4）因式分解法：
如果一元二次方程可化为a（x－x1）（x－x2）＝0的形式，那么方程的解为________．
一元二次方程的根的判别式
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝________．
（1）当△>0时，方程有两
个_______的实数根．
（2）当△＝0时，方程有两个_______的实数根．
（3）当△<0时，方程没有实数根．
2．若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1、x2，则x1＋x2＝________，x1•x2＝________．
一元二次方程的应用
应用类型
等量关系
增长率问题
（1）增长率＝增量÷基础量
（2）设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a（1＋m）n＝b，当m为平均下降率时，则a（1－m）n＝b
利率问题
（1）本息和＝本金＋利息
（2）利息＝本金×利率×期数
销售利润问题
（1）毛利润＝售出价－进货价
（2）纯利润＝售出价－进货价－其他费用（3）利润率＝利润÷进货价
（二）题型、方法归纳
考点1一元二次方程的概念及一般形式
技巧归纳：
运用1
．一元二次方程的概念；2．一元二次方程的一般式；3．一元二次方程的解的概念，解决此问题。
考点2一元二次方程的解法
技巧归纳：
可以利用一元二次方程的四种解法中的任意一种
解决此题。
利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式（如例2）时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．
考点3一元二次方程的根的判别式
技巧归纳：
（1）判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．
（2）注意二次项系数不为零这个隐含条件
考点4一元二次
方程的应用
技巧归纳：
1．用一元二次方程解决变化率问题：
a（1±m）n＝b；
2．用一元二次方程解决商品销售问题．
（三））典例精讲
例1已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a（a≠0），则a－b的值为（ ）
A．－1B．0C．1D．2
[解析]把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得（－a）2＋b×（－a）＋a＝0，∴a2－ab＋a＝0，
所
以a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，故选择A
例2解方程：
x2－4x＋2＝0.
[解析]通过对方程的观察发现此题直接应用公式法x＝
解比较方便．
解：
∵Δ＝42－4×1×2＝8，∴x＝
.
x1＝2＋
，x2＝2－
.
点析：
利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式（如例2）时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解．
例3已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）＝0.
（1）求证：
方程恒有两个不相等的实数根
；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一
个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．
解：
（1）∵b2－4ac＝[－（m＋2）]2－4×1×（2m－1）
＝m2－4m＋8＝（m－2）2＋4>0，
∴方程恒有两个不相等的实数根．
点析：
（1）判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b
2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式．
（2）注意二次项系数不为零这个隐含条件
拓展题：
例4为了倡导节能低碳的生活，某公司对
集体宿舍用电收费做如下规定：
一间宿舍一个月用电量若不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要
交元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元．
（1）求a的值；
（2）若该宿舍5月份交电费为45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？
、
解：
（1）根据3月份用电80千瓦时，交电费35元，得，
，
即
。
解得a=30或a=50。
由4月份用电45千瓦时，交电费20元，得，a≥45。
∴a=50。
（2）设月用电量为x千瓦时，交电费y元。
则
∵5月份交电费45元，
∴5月份用电量超过50千瓦时。
∴45=20＋0.
5（x－50），
解得x=100。
答：
若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为100千瓦时。
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握一元二次方程的概念及一般形式、一元二次方程的四种解法、
一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的应用。
（五）随堂检测
1.k取什么值时，方程x2－kx＋4＝0有两个相等的实数根？
求这时方程的根．
2.已知关于x的一元二次方程（a－1）x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＞2B．a＜2
C．a＜2且a≠1D．a＜－2
3、已知关于x的方程x2－2（k－1）x＋k2＝0有两个实数根x1，x2.
（1）求k的取值范围；
（2）若
＝x1x2－1，求k的值．
五、板书设计
概念解法判别式
六、作业布置
一元二次方程及其应用课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直
观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。
采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。
进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
第4讲:
分式方程及其应用
一、复习目标
1．分式方程的概念
2．分式方程的解法步骤及增根
3、用分式方程解实际问题的一般步骤
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
用分式方程解实际问题的一般步骤
四、教学过程
（一）、知识梳理
分式方程
分式方程
概念
分母里含有________的方程叫做分式方程
增根
在方程的变形时，有时可能产生不适合原方程的根，使方程中的分母为________，因此解分式方程要验根，其方法是代入最简公分母中看分母是不是为________
分式方程的解法
分式方程的解法
基本思想
把分式方程转化为整式方程，即分式方程→整式方程
直接去分母法
方程两边同乘各分式的________，约去分母，化为整式方程，再求根验根
分式方程的应用
列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是：
要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意．
（二）题型、方法归纳
考点1分式方程的概念
技巧归纳:
1．分式方程的概念；2．分式
方程的增根．
考点2分式方程的解法
技巧归纳:
1．去分母法；2．换元法．3．注意解分式方程必须检验．
考点3分式方程的应用
技巧归纳
:
1．利用分式方程解决生活实际问题；2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验．
（三）典例精讲
例1、若分式方程2＋
＝
有增根，则k＝________.
[解析]∵分式方程2＋
＝
有增根，
去分母，得2（x－2）＋1－kx＝－1，
整理得（2－k）x＝2，
当2－k≠0时，x＝
；
当2－k＝0时，此方程无解，即此解不符合要求．
∵分式方程2＋
＝
有增根，
∴
x－2＝0，2－x＝0，
解得x＝2，
即
＝2，
解得k＝1.
例2解方程：
＋
＝
解：
去
分母，得3x＋x＋
升级会员 