附高斯消去法的扰动误差.ppt

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上一页上一页下一页下一页5.35.3扰动分析、扰动分析、GaussGauss消去法的舍入误差消去法的舍入误差上一页上一页下一页下一页23.1扰动分析扰动分析由于线性代数方程组的矩阵和向量由于线性代数方程组的矩阵和向量,Axb=AB都是通过观测或计算得到的，因此误差总是存在的，都是通过观测或计算得到的，因此误差总是存在的，这些误差将对方程组的解产生影响这些误差将对方程组的解产生影响.例例考虑两个系数矩阵及右端十分接近的方程组考虑两个系数矩阵及右端十分接近的方程组12122.00021.99984,1.99982.00024.xxxx+=+=+=+=

（1）上一页上一页下一页下一页3（1,1）Tx=

（1）的解是的解是12122.00021.9998,1.99982.00024.00023.9998.xxxx+=+=+=+=

（2）（1.5,0.5）Tx=%

（2）的解是的解是右端项扰动：

右端项扰动：

44（210,210）Tbdd-=1,2xxx-=%120000bbb-=%这个例子表明，即使两方程组右端极其接近，这个例子表明，即使两方程组右端极其接近，但他们的解可能相差很大但他们的解可能相差很大.12122.00021.99984,1.99982.00024.xxxx+=+=+=+=

（1）上一页上一页下一页下一页41.右端项的扰动右端项的扰动（）Axxbbdddd+=+=+得误差方程得误差方程:

1,AxbxAbdddddddd-=1xAbdddd-所以所以,bAx又又1AAxbxbdddd-得到得到假定，因而时假定，因而时0b0x设方程组的右端存在误差（或扰动）b，引起解的误差为x，则有上一页上一页下一页下一页5上面过程表明，若很大，则的微小的上面过程表明，若很大，则的微小的（）CondAb相对扰动，可能使的解产生相当大的相对扰动，可能使的解产生相当大的Axb=相对扰动相对扰动矩阵A的条件数1AA决定了方程组的解对右端扰动量的敏感程度.上一页上一页下一页下一页62.系数矩阵的扰动系数矩阵的扰动当系数矩阵存在误差时，近似解满足方程当系数矩阵存在误差时，近似解满足方程AAdd（）（）AAxxbdddd+=+=（）AxAxAxdddddddd=-=-则有则有或即或即11xAAxAAxdddddddd-=-=-于是于是11xAAxAAxdddddddd-鬃鬃鬃鬃或或11

（1）AAxAAxdddddd-祝鬃-祝鬃上一页上一页下一页下一页71111（/）11（/）AAAAAAxxAAAAAAdddddddddd-鬃鬃-进一步有进一步有（）1（）AcondAxAAxcondAAdddddd-11AAdd-当当时，有时，有11

（1）AAxAAxdddddd-祝鬃-祝鬃上一页上一页下一页下一页8可以看出若很大，则系数矩阵的微小可以看出若很大，则系数矩阵的微小（）condAA相对扰动，可能使方程组的解产生相对扰动，可能使方程组的解产生x/AAdd相当大的相对扰动相当大的相对扰动/xxdd大量实际计算的经验证实大量实际计算的经验证实,条件数刻画了扰动对条件数刻画了扰动对方程组解的影响程度方程组解的影响程度.通常条件数越大，扰动对通常条件数越大，扰动对解的影响越大解的影响越大.条件数很大的方程组称为条件数很大的方程组称为病态病态方方程组程组,病态方程组的求解会遇到很大的困难病态方程组的求解会遇到很大的困难.上一页上一页下一页下一页93.2Gauss消去法的舍入误差消去法的舍入误差舍入误差分析方法1.向前误差分析方法：

按照所执行的运算次序而估计舍入误差积累的界限.这种方法的好处是估计比较准确，但对复杂算法（如Gauss消去法）一般难以进行。

2.向后误差分析方法：

将实际计算过程的误差转换为关于原始数据的误差。

上一页上一页下一页下一页10Gauss消去法的向后误差分析定理定理55.1.122设A为n阶非奇异矩阵，利用选主元的Gauss消去法求解线性方程组Axb，则

（1）利用Gauss消去法算得的L和U满足LUAE，2EnA.

（2）方程中的扰动矩阵满足321.01（3）AnnA.因此可得Gauss消去法计算解x关于真解的相对扰动量的估计式为32（）1.01（3）1（）xxcondAnnAxcondAA上一页上一页下一页下一页此定理表明，当矩阵A的阶数n不是太高，并且其条件数不是太大时，虽然由于在消去法求解过程中存在舍入误差，计算解不精确的满足方程Axb，但它关于真解x的相对扰动还是可以接受的，即这时Gauss消去法是数值稳定的.11其中（）1,1max|kijijknaA，这里（）,kija表示Gauss消元过程中，矩阵kA的元素.表示所使用计算机上的单位舍入误差或截断误差，例如在十进制且16位字长的计算机上，1510.