张量分析第二章.ppt

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1第二章应力分析重点内容:

1.应力张量,应力张量与应力矢量之间的关系;2.应力张量对称性及其变换规律;3.主方向,主应力和应力不变量;22.1连续介质假设连续介质假设介质的质点连续地充满介质所占据的空间，没有介质的质点连续地充满介质所占据的空间，没有一点空隙，即把介质看作由连续不断的质点所构成的体系一点空隙，即把介质看作由连续不断的质点所构成的体系，质点的存在以其所占据的空间位置来体现。

，质点的存在以其所占据的空间位置来体现。

质点质点:

”宏观小微观大”宏观小微观大”分子团的尺度与所研究问题的特征尺度相比足分子团的尺度与所研究问题的特征尺度相比足够小够小,平均物理量可以看作均匀不变平均物理量可以看作均匀不变.质团的特征尺度远远大于分子运动的尺度质团的特征尺度远远大于分子运动的尺度,该质该质团中包含有大量分子团中包含有大量分子,对这些分子集团进行平均统对这些分子集团进行平均统计后能得到稳定数值计后能得到稳定数值.宏观小宏观小微观大微观大3上述数学上的连续介质定义，在现实世界中是不存在的。

上述数学上的连续介质定义，在现实世界中是不存在的。

用气体介质作为例子，当取定很小体积时，密度变化很大用气体介质作为例子，当取定很小体积时，密度变化很大，甚至到极端，可能只有一个分子的情况。

，甚至到极端，可能只有一个分子的情况。

DensityVolumeofelement连续介质假设在一般情况下是完全合理的，是连续介质连续介质假设在一般情况下是完全合理的，是连续介质力学第一个且带有根本性质的假设。

但是在某些特殊条件力学第一个且带有根本性质的假设。

但是在某些特殊条件下这种假设亦可能有问题。

例如，导弹在高空飞行时，周下这种假设亦可能有问题。

例如，导弹在高空飞行时，周围空气很稀薄，分子间的距离很大，它能和物体的特征尺围空气很稀薄，分子间的距离很大，它能和物体的特征尺寸相比拟，不能把分子团作为一个质点寸相比拟，不能把分子团作为一个质点.4强调几点：

强调几点：

（11）引进连续介质假设后，不再考虑介质的分子结构，将）引进连续介质假设后，不再考虑介质的分子结构，将介质近似看成由介质质点连续无空隙的组成。

介质近似看成由介质质点连续无空隙的组成。

（22）在连续介质力学中所说的质点位移，不是指个别分子）在连续介质力学中所说的质点位移，不是指个别分子的位移，而是指含有大量分子的质团位移。

的位移，而是指含有大量分子的质团位移。

（33）当我们在连续介质内某一点）当我们在连续介质内某一点AA处取极限时，不管离处取极限时，不管离AA多么近的地方均有质点存在，并有确定的物理量。

多么近的地方均有质点存在，并有确定的物理量。

52.2基本概念基本概念2.2.1均匀性与各向同性均匀性与各向同性均匀性，是指在所有的质点上都具有同样性质。

具有均匀性，是指在所有的质点上都具有同样性质。

具有这样性质的物质称做均匀物质。

这样性质的物质称做均匀物质。

各向同性，是指在一个质点上在其所有的方向上物质各向同性，是指在一个质点上在其所有的方向上物质均具有同样的性质。

这样的物质称为各向同性物质。

均具有同样的性质。

这样的物质称为各向同性物质。

各向异性，是指在一点上在不同方向具有不同性质。

各向异性，是指在一点上在不同方向具有不同性质。

这样的物质称做各向异性物质。

这样的物质称做各向异性物质。

6小体元小体元,质量用表示质量用表示,小体元中包含小体元中包含点点P.VDmD2.2.2质量密度质量密度VmdVdmVmVlim0P2x3xoV1xVD则在中介质的平均密度则在中介质的平均密度为为VDVD内某一点内某一点P的密度定义的密度定义为为

（1）72.2.3体力和面力体力和面力体力体力:

作用在连续介质体各个部分，即各个质点上作用在连续介质体各个部分，即各个质点上的有距离力。

如重力、磁力等，体力也称作质量力。

的有距离力。

如重力、磁力等，体力也称作质量力。

面力面力:

作用在连续介质面元上的力作用在连续介质面元上的力,面元可以是面元可以是介质的外表面，也可以是介质内部面，面力的大小方介质的外表面，也可以是介质内部面，面力的大小方向都与作用面的方向有关。

压力和摩擦力都属于面力向都与作用面的方向有关。

压力和摩擦力都属于面力.fb2x3xoV1x图中面力图中面力,为体为体力力.frbr82.2.4柯西应力法则和应力矢量柯西应力法则和应力矢量应力矢量应力矢量:

作用在物体内部单位截面上的力。

特点作用在物体内部单位截面上的力。

特点:

矢量矢量,有有方向方向柯西应力法则：

当在柯西应力法则：

当在P点趋于零时，点趋于零时，趋于一定的极限趋于一定的极限.取极限的过程中绕取极限的过程中绕P点的力点的力矩同时趋于零。

矩同时趋于零。

/fSDDr/dfdsrM0limSfdfSdSDD=Drr0lim0MSS数学表达数学表达:

dfdSr应力矢量应力矢量:

dSfdSfttSninlim0）（）（）（fbP2x3xoRV1xMDfDnrSD

（2）92.3应力张量应力张量一点的应力状态由一点的应力状态由P点所有的应力矢量同点所有的应力矢量同其相应的单位法线一起确定其相应的单位法线一起确定.）（ntnr2.3.1应力张量应力张量1erP2x3x1（）etrr1x2erP2x3x2（）etrr1x3erP2x3x3（）etrr1x103er2x3x3（）etrr1x2er2（）etrr1er1（）etrr111112222233333（）（）（）（）（）112233（）（）（）（）（）112233（）（）（）（）（）112233eeeeeiieeeeeiieeeeeiittetetetettetetetettetetete=+=+=+=rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrijejit）（上面三图合上面三图合在一起在一起11333231232221131211ijijs或表达成或表达成:

应力张量应力张量正应力正应力:

垂直于坐标平面的应力分量垂直于坐标平面的应力分量（两下标相两下标相同同）剪应力或切应力剪应力或切应力:

与坐标平面相切的应力分量与坐标平面相切的应力分量（两下标相两下标相异异）2x3x1x13s12s11s23s22s21s33s32s31sijs表示作用在其外法线平行于第表示作用在其外法线平行于第i坐标轴的平面上坐标轴的平面上,并指向第并指向第j坐标轴向的分量坐标轴向的分量.112233,sss122113312332,ssssss12设四面体底面设四面体底面ABC的面积为，则其他的面积为，则其他三个面的面积为的投影，即：

三个面的面积为的投影，即：

bVrDSS123121323123121212SxxSnSxxSnSxxSnD=DD=DD=DD=DD=DD=D惯性力惯性力:

体力体力:

面力面力:

aVr-D1）*（1Ste2）*（2Ste3）*（3SteAPCDCPBDAPBD2.3.2应力张量与应力矢量间的关系应力张量与应力矢量间的关系3x2x2（）et*-rr1xnr（）nt*rr3（）et*-rr2xD1（）et*-rrP3xD1xDbABC13312*（）*（）*（）*（）1230eeentStStStSbVaVrrD-D-D-D+D-D=rrrr1231163VxxxShD=DDD=DD动平衡有动平衡有（合外力为零合外力为零）:

312*（）*（）*（）*（）123（）03eeenhttntntnbarD-+-=rrrrii*（）（）*（）（）0eennhttttDrrrr、3）

（2）

（1）（）（321ntntntteeen当体元收缩到当体元收缩到P点时点时,即即P点任一面上的应力矢量与三个坐标平面上的应力矢量点任一面上的应力矢量与三个坐标平面上的应力矢量的关系式：

的关系式：

体积体积有有:

（3）（4）（5）14用指标形式表示用指标形式表示:

（）njiijtns=r111213（）（）（）123123212223313233,nnntttnnnsssssssss轾犏=犏犏臌rrr（）1111221331（）2112222332（）3113223333nnntnnntnnntnnnsssssssss=+=+=+rrr矩阵表示形式矩阵表示形式:

分量表示形分量表示形式式:

应力矢量与应力张量的关系应力矢量与应力张量的关系（）ntn=Srrrg或或（6）152.4应力张量的对称性及其坐标变换规律应力张量的对称性及其坐标变换规律研究处于动平衡的连续介质体研究处于动平衡的连续介质体V.V.根据达朗伯原理根据达朗伯原理,作作用于连续介质体用于连续介质体V上的合力为零上的合力为零,合力矩合力矩亦为零亦为零.体力为体力为面力为面力为dStSn）（VbdVrr2.4.1应力张量的对称性应力张量的对称性r（）ntrrP2x3xoV1xnrdSdVbr惯性力惯性力VadVr-r16合力为零，即有合力为零，即有0ijjibxsr+=abSndSSrg（）0nSVVtdSbdVadVrr+-=蝌rrrr0b若得到静平衡若得到静平衡方程方程,或写成或写成VdV裇g0a=r（7）（8）（9）17（）0nSVVdrtdSrbdVrvdVdtrr蝌rrrrrrr动量矩之和为零动量矩之和为零,有有:

（）（）SVrndSrabdVr=村蝌rrrrrg（）VVVVVdddrdvrvdVrvdVvrdVdtdtdtdtdvrdVradVdtrrrrr=蝌蝌rrrrrrrrrrrr（）（）ijkjppkijkjkkSVxndSxabdVsr蝌式中式中:

式式（11）取第取第i个分量个分量,得得（）ntn=rrrg式式（10）可写成可写成（10）（11）（12）18jkkjss=因此有因此有:

应力张量有对称性应力张量有对称性.0ijkjkVdVs（）（）ijkjpkijkjkkVVpxdVxabdVxsr蝌（）（）jpkijkpkjijkjkkVVppxxdVxabdVxxssr抖=抖蝌divSVnfdSfdV=蝌rrrg向量的奥高公式有向量的奥高公式有:

iSVifnfdSdVx=蝌iffe=rr（13）利用利用（13）式式,（12）式可得式可得到到:

（）pkijkjkkijkjkVpVxabdVdVxsrs禳镲-=睚镲铪蝌（15）式代入运动方程式代入运动方程（8）式式,得得进一步整理得进一步整理得:

（14）（15）（16）由于由于V的任意性的任意性,可得可得1（）02ijkjkijkjkkjsss=19iijjxax=2.4.2应力张量的变换规律应力张量的变换规律两个坐标系两个坐标系2x3x1x11s22s33s2x3x1x11s22s33s3x1x2x20ijipjqpqaass=TAA%gg应力张量在两个坐标系下的分量由下式给出应力张量在两个坐标系下的分量由下式给出:

按矩阵表示的应力张量的变换规律可表示成：

按矩阵表示的应力张量的变换规律可表示成：

qjpqipijaa分量形式表示为分量形式表示为为新旧坐标变换的方向余旋为新旧坐标变换的方向余旋,构成变换张量构成变换张量.332313322212312111333231232221131211333231232221131211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaa或或ipaA%（17）212.5主应力和应力不变量主应力和应力不变量2.5.12.5.1主应力和主方向主应力和主方向过过PP点某个方向的面上的应力分量与该面的法线共线点某个方向的面上的应力分量与该面的法线共线,这样的法线方向称这样的法线方向称主应力方向主应力方向，简称主方向。

对于主方向，简称主方向。

对于主方向有有（）nTtnnnnnss=rrrrgrrrggnijijjijninnnt）（或写成或写成s称称作主应力作主应力.0）（jijijn利用恒等式利用恒等式jijinn上式可以写成上式可以写成:

（18）（19）22若上式有非零解，即，则有若上式有非零解，即，则有上式展开为的三次多项式：

上式展开为的三次多项式：

0in0ijij0IIIIII23detIII）（21IIIijijijjjiiiitr其中其中主应力值为主应力值为）3（）2（）1（、主应力值为实数主应力值为实数.为应力张量的不变量为应力张量的不变量（20）（21）232.5.2应力不变量应力不变量TAAnAnS=S=%ggrr%g特点特点:

坐标系发生旋转时值不变坐标系发生旋转时值不变.新旧坐标系下应力张量和主方向分别可写为新旧坐标系下应力张量和主方向分别可写为:

nnsSrrnnsSrrss=TAAI=%g新坐标系下新坐标系下上两式代入上两式代入,有有上式两边点乘整理后可得上式两边点乘整理后可得:

0IIIIII23,IIIIIIIIIIIISSSSSS=证法一证法一:

（）（）TAAAnAnsS=rr%ggggg且满足且满足TA%nnsSrr24

（1）

（2）（3）,sss

（1）

（2）（3）（）（）（）0ssssss-=）3（）2（）1（）3（）1（）3（）2（）2（）1（）3（）2（）1（IIIIII则上式可以写成则上式可以写成:

根与系数之间保持如下的关系根与系数之间保持如下的关系:

主应力描述一点应力的物理状态，所以与任何主应力描述一点应力的物理状态，所以与任何参考坐标无关参考坐标无关.坐标旋转时坐标旋转时,所以系数所以系数,IIIIIISSS不变不变.同样证明了同样证明了,IIIIIISSS是坐标旋转的不变量是坐标旋转的不变量.证法二证法二:

0IIIIII23的根设为的根设为方程方程252.6应力张量的主方向应力张量的主方向求解主方向求解主方向（）（）（）0jkijkijnssd-=（）（）（）11（）1122133（）（）（）21122（）2233（）（）（）31132233（）3（）0（）0（）0kkkkkkkkkkkknnnnnnnnnssssssssssss-+=+-+=+-=（）（）（）（）（）123,kkkkknnnnsr展开式展开式:

（1）

（2）（3）sss构

（1）主方向坐标系中主方向坐标系中,应力张量应力张量变为变为,形式为形式为:

（1）

（2）（3）000000ijssss*轾犏=犏犏臌

（1）

（2）（3）nnnrrr三个主方向互相垂直三个主方向互相垂直P

（1）s

（2）s（3）s（）1ntr（）2ntr（）3ntrnr（）ntrrijs*26

（1）

（2）

（1）

（2）

（1）

（1）

（2）

（1）

（2）

（2）nnnnnnnnssrrrrgggrrrrggg

（1）

（1）

（1）nnsrrg

（1）

（2）

（1）

（2）（）0nnss-=rrg根据主应力和主方向的定义根据主应力和主方向的定义,有有上两式相减上两式相减:

（1）

（2）ss

（1）

（2）0nn=rrg

（1）

（2）nnrr

（1）（3）nnrr

（2）（3）nnrr（22）式右点乘式右点乘,（23）式左点乘式左点乘,可得可得

（2）nr

（1）nr由于由于有有,即即同样可证明同样可证明即三个主方向互相垂直即三个主方向互相垂直.

（2）

（2）

（2）nnsrrg（22）（23）27

（1）

（2）（3）ssss*=

（2）主方向坐标系中主方向坐标系中,应力张应力张量量（3）000000ijssss*轾犏=犏犏臌

（1）

（2）（3）nnn=rrr

（1）

（2）（3）ssss*=（3）主方向坐标系中主方向坐标系中,应力张应力张量量000000ijssss*轾犏=犏犏臌

（1）

（2）（3）nnn=rrr若若则则若若则则（24）（25）28将应力张量的主方向选为坐标轴，主应力记为将应力张量的主方向选为坐标轴，主应力记为

（1）

（2）（3）,sss（）（）（）1

（1）12

（2）23（3）3,nnntntntnsss=rrr在该坐标系中任一矢量的三个分量可表示在该坐标系中任一矢量的三个分量可表示为为（）ntrr1iinn=由于有由于有由应力向量分量关系同上式结合，得由应力向量分量关系同上式结合，得（）2（）2（）2312222

（1）

（2）（3）（）（）（）1（）（）（）nnntttsss+=rrr该方程为椭球方程，主应力为椭球的轴该方程为椭球方程，主应力为椭球的轴;描述了一点附近面描述了一点附近面元上应力向量终点的轨迹。

元上应力向量终点的轨迹。

（26）292.7最大最小剪应力最大最小剪应力主轴坐标系中主轴坐标系中假设主应力假设主应力123000000ijssss轾犏=犏犏臌3）3

（2）2

（1）1（在该坐标系中在该坐标系中,应力张量表示应力张量表示为为P1s2s3snr（）ntrrNS30法向应力法向应力则写成则写成（）222112233nNtnnnnssss=+rr切向应力切向应力2（）（）2（）22（）nnnsNiNtttsss=-rrrrr可得可得22222222222112233112233（）snnnnnnsssssss=+-+33）（322）（211）（1,ntntntnnn任一应力矢量的分量任一应力矢量的分量（27）（28）31利用拉格朗日乘子法，可从上式求得的最大值利用拉格朗日乘子法，可从上式求得的最大值和最小值和最小值.1232221nnnS）1（2iiSnnF（）（）（）222211111122331122222222112233222222333311223333242024202420FnnnnnnnFnnnnnnnFnnnnnnnssssslssssslsssssl=-+-=-+-=-+-=设函数设函数0/inF函数的极值由函数的极值由给出给出.（29）（30）32nr21321,0,0,1nnn22312,0,0,1nnn23123,0,0,1nnn

（1）

（2）（3）第一组解第一组解单位矢量平行单位矢量平行1x为主方向为主方向

（1）nr单位矢量平行单位矢量平行为主方向为主方向nr2x

（2）nr单位矢量平行单位矢量平行为主方向为主方向（3）nr3xnr33在垂直轴的平面上：

在垂直轴的平面上：

在垂直轴的平面上：

在垂直轴的平面上：

在垂直轴的平面上：

在垂直轴的平面上：

3x2x1x0S0S0S结论结论:

在主平面上在主平面上（与主方向垂直的与主方向垂直的平面平面）剪应力值为零，只有法向应力。

剪应力值为零，只有法向应力。

3423321,21,21,0nnn31312,21,21,0nnn21123,21,21,0nnn第二组解第二组解:

3121S1221S3221S最大剪应力最大剪应力3121SAS4p最大剪应力平面最大剪应力平面:

过轴且过轴且平分和的夹角平分和的夹角的平面上的平面上.2x1x3x131（）2Nsss=+2x1x3xOA该平面上该平面上351.已知已知50006120121ijs-轾犏=-犏犏-臌123212333neee=+rrrr求求平面上的应力矢量平面上的应力矢量（）ntrr及其法向应力分量和剪切应力分量及其法向应力分量和剪切应力分量.1）主应力和主方向主应力和主方向.2）362.8应力莫尔圆应力莫尔圆主轴坐标系中主轴坐标系中,:

222123222112233222222221122331nnnnnnnnnnnnsssssssst+=+=+=+123sss（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）2n2n32113122n1n32223212n1n2233132nnnnnnsssstsssssssstsssssssstssss-+=-+=-+=-由此方程组可解出方向余弦为由此方程组可解出方向余弦为inP1s2s3snr（）ntrrnsnt设主应力设主应力（31）37（）（）（）（）（）（）2n2n32n1n32n1n2000nnnsssstsssstsssst-+-+-+222232322nnssssst+-+由于可得由于可得:

1C222131322nnssssst+-+222121222nnssssst+-+2C3C20in或写成或写成38应力莫尔圆应力莫尔圆ntns1C2C3C132ss-122ss-232ss-1s2s3s1）123,sss有两个相同,则Mohr圆退化为C22）123sss=Mohr圆退化为点,任一方向上的法应力都相同,剪切应力为零.应力张量是各向同性张量.过一点的所有应力矢量都落在图中阴影区内过一点的所有应力矢量都落在图中阴影区内.392.92.9分界面上的应力边界条件分界面上的应力边界条件介质介质11介质介质22nrn-r2QPP1Q分界面分界面SS介质介质11的应力的应力介质介质22的应力的应力（n）

（1）（）tPrr介质介质11在在PP点处作用于介质点处作用于介质22的应力矢量的应力矢量.（-n）（n）

（2）

（2）（）（）tPtP=-rrrr介质介质22在在PP点处作用于介质点处作用于介质11的应力矢的应力矢量量.（n）（-n）

（1）

（2）（）（）tPtP=-rrrr因此有因此有:

即即（n）（n）

（1）

（2）（）（）tPtP=rrrr40自由面自由面:

（n）0t=rr分界面的一方为大气分界面的一方为大气（压力为常数压力为常数PP00）:

）:

（n）0tPn=-rrr412.10平面应力平面应力如果有一个且唯一的一个主应力为零如果有一个且唯一的一个主应力为零,该状态为平面应力状态该状态为平面应力状态.1x2x2h3x421112122200000ijsssss轾犏=犏犏臌如果主应力不按次序排列如果主应力不按次序排列,并将零主应力方向选作轴并将零主应力方向选作轴向，这样的应力状态叫作平行平面的平面应力向，这样的应力状态叫作平行平面的平面应力.3x12（,）xx12xx任选正交坐标系中任选正交坐标系中,应力张量的矩阵形式为应力张量的矩阵形式为:

43（）（）（）11121211212222nijjitnnennennesssss=+rrrrrg（）（）（）2211112122222222（）（）1111221212222221221nnnnnntnnnnnttnnnnnnnnnssssstssss=+=+=+=rrrrrr由于由于该面的单位法线以及应力矢量写该面的单位法线以及应力矢量写成成n）（nt2211enenennii（32）442222111211221222Nnsssssts+-+=+22211NC212222112RSNs1s2sBAECD3x1x11s2x22s21s12s（）221NC112211221222Rsssssss=+=+-+（）222NC112211221222Rsssssss=-=+-+最大最小主应力分别为：

最大最小主应力分别为：

圆心圆心半径半径45t1.写出图中的平面应力状态写出图中的平面应力状态,并确定其最大剪应并确定其最大剪应力力2x3x1xsst2x3x1x