偏微分方程的解法.ppt

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回回顾顾11、定解问题的边界条件、定解问题的边界条件22、定解问题的分类与适定性、定解问题的分类与适定性33、二阶线性偏微分方程的有关概念、二阶线性偏微分方程的有关概念44、常系数线性偏微分方程的通解、常系数线性偏微分方程的通解1方程的通解和特解方程的通解和特解一般地，一个n阶常微分方程的通解含有n常数。

一个n阶偏微分方程的通解含有n个任意函数。

2数学物理方程的分类数学物理方程的分类考察二元二次方程：

考察二元二次方程：

二次型的主轴定理二次型的主轴定理3类似地，二阶线性偏微分方程类似地，二阶线性偏微分方程一定可以改写为如下一定可以改写为如下“形式形式”：

4由二次型的性质可知，上述分类方法在区域上任一点总是可行的；但方程在不同的点可能属于不同的类型。

5两个自变量的情形两个自变量的情形显然，弦的横振动方程和杆的纵振动方程是双曲型方程；一维扩散和传导方程是抛物型方程；二维静电场方程是椭圆型方程。

（三维波动方程、扩散和传导方程以及三维（三维波动方程、扩散和传导方程以及三维PoissonPoisson方程和方程和SchrSchrdingerdinger方程方程是什么类型的方程？

）是什么类型的方程？

）6常系数线性偏微分方程常系数线性偏微分方程7行波法行波法dAlembert公式公式行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有效行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有效.一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：

一维无界弦自由振动（即无外力）定解问题为：

89dAlembert公式公式101.1.齐次偏微分方程的求解齐次偏微分方程的求解（P172P172）dAlembert公式的应用公式的应用2.2.非齐次偏微分方程的求解非齐次偏微分方程的求解该体系在外力作用下开始振动，可以看作外界持续给体系施加以冲量，体系的振动即为持续冲量效果的叠加。

从这一思路出发求解问题被称为冲量原理法冲量原理法。

1112根据以上分析，易得上述纯受迫振动的解为：

根据以上分析，易得上述纯受迫振动的解为：

13例例7.57.5求解如下定解问题：

14例例7.67.6求解如下定解问题：

15求出问题的通解，然后再结合定解条件确定满足相应初始条件和边界条件的特解，仅对非常有限的问题适用，很多定解问题很难直接求出通解。

更为普遍的处理办法是把泛定方程和定解条件作为整体处理，直接求出定解问题的解。

161.1.行波法；行波法；2.2.分离变量法；分离变量法；3.3.幂级数解法；幂级数解法；4.4.格林函数法；格林函数法；5.5.积分变换法；积分变换法；6.6.保角变换法；保角变换法；7.7.变分法；变分法；8.8.计算机仿真解法；计算机仿真解法；9.9.数值计算法数值计算法数数学学物物理理方方程程的的求求解解17