复合函数资料.doc

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复合函数

复合函数是中学数学里，深化函数概念、提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历年高考常考不衰的热点。

但高中数学教材未作介绍，而其他教辅资料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中，介绍有关内容很有必要。

一、复合函数的概念

我们常见的复合函数的描述性定义是：

如果是的函数，而又是的函数，即，，那么关于的函数叫做函数和的复合函数，叫做中间变量。

例如它与不同，不是基本初等函数，而是由三角函数和一次函数经过“复合”而成的一个函数。

由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。

1、由字面理解

“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。

它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来，得到的形如或的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量逐次映射，构作的一个复合映射确定的函数。

这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的幂运算、指数运算、对数运算、三角运算、反三角运算等。

自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。

例如，复合函数是自变量先“乘”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到关于的一个函数，因此有人说复合函数是函数的函数。

为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数。

从外向内看，函数中，称定义的函数为外层函数（外函数），称定义的函数为内层函数（内函数），且称函数为函数和复合一次得到。

这里外层函数的映射法则和内层函数的映射法则，构作的复合函数的映射法则称为复合映射（注意：

不能把读作“乘”，因为复合映射不具有交换律，即，这是复合映射很重要的一个基本特征）。

有人形容复合映射是具有传递性的两个映射和的链条，可以帮助我们理解复合函数的内涵。

2、从函数定义理解

既然函数可视为函数和函数复合得到，因此它们都必须符合函数的定义，这才是复合函数定义的关键所在。

除前面对复合映射结构特征的分析外，我们还须从定义域和值域都是非空的数集出发，考察复合函数定义的相应要求。

设函数的定义域是，值域是；再设的定义域是，值域是，则都是非空的数集。

从“复合”中我们发现，内层函数具有两重性：

一方面它是自变量为的函数，当时，则有；另一方面它又是函数的自变量，当时，则有。

要使仍然是函数，就要求的值域和的定义域必须有交集（非空数集）。

∅是复合函数的一个必要但不充分的条件，也就是说，函数的定义域，既受到外层函数的映射法则的制约，又受到内层函数的值域的限定。

只看一面，不看另一面就会犯概念的错误。

有的同学不加分析地认为，任何两个函数都可以复合成一个复合函数，事实却不然，例如，等都不是复合函数，因为是对数函数，定义域必须符合，但,而，因此,于是可得∅,故不能构成复合函数。

同理，也不能构成复合函数（它们都不是函数）。

据此，反思前面给出的定义，我们发现这个定义是不严谨的，它忽视了构造复合函数过程中，各层子函数及它们复合后的整体都必须适合函数的定义。

为此，我们把定义补充为：

如果是的函数，而又是的函数，且对于值所对应的值，函数是有定义的，即，，，，∅，则关于的函数叫做和的复合函数。

3、从结构特征理解

除最内层函数允许对自变量施行加、乘运算外，每一次复合都是把内层函数的整体，作为自变量施行新的映射，这样，像穿衣服一样，从内到外逐次添加映射，直至构造出所需函数。

这一独特的发生过程，不仅给出了复合函数的结构特征，使我们能迅速判断已知函数式是不是一个复合函数，而且也使我们明白了，复合函数不是一类新的独立的基本初等函数，而是几个简单函数的特殊构造，因次，我们可以先分析参与复合的简单函数的性态，来研究复合函数的相应属性。

4、从穿脱原理理解

穿脱原理是复合函数与简单函数相互转化的工具，由它可将简单函数构造成复合函数，也可将复合函数分拆为简单函数。

先看复合，例如由，，，欲得到复合函数，可从外层函数开始，逐次代换添加映射，每代换一次增加一个映射，即，最后得到关于的复合函数。

一般地，由，，的复合过程可记为。

再看分拆，例如函数可以从外层函数开始逐层分拆为简单函数，每拆一层，设一个中间变量，即最外层函数记为，第二层记为，第三层记为，第四层记为。

上述多次令中间变量进行的代换，叫做连续代换或锁链代换，实质上是换元法。

穿脱原理从发生过程深化了复合函数的概念，在复合函数的性态研究中，具有重要作用。

例如求复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、极值、反函数时都需要它，一些重要运算，如求导、微分等更要依靠它。

二、复合函数的简单性质

在中学，我们可以探讨复合函数的哪些性质呢？

和常见的基本初等函数一样，我们可以探讨复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、极值与最值。

探讨过程中，最关键的是要注意复合映射的多层制约，是否使复合函数仍有定义，研究它的每一层映射对复合函数性质的影响。

1、求定义域因为多层复合映射结构复杂，所以使得求复合函数定义域的题型形式多样，现列举主要题型如下。

（1）已知复合函数的表达式，求复合函数的定义域。

将已知复合函数正确地拆成几个常见的简单函数，根据使函数解析式有定义的要求，由外到内，列出所有限制条件对应的不等式，所得不等式组的解集就是复合函数的定义域。

①求函数的定义域。

解：

要使函数有意义，须满足

（使根式有意义），

（使对数有意义），

（使对数有意义），

解得或，

故所求函数的定义域为。

（2）已知函数的定义域，求复合函数的定义域。

因为代表同一映射，只需用代换法则，先将原函数的定义域写成的不等式，再将换成中间变量，解所得不等式即可。

②已知函数的定义域是，求函数的定义域。

解：

由题设知，，即，

，或，。

故函数的定义域是

。

（3）已知复合函数的定义域，求外层函数的定义域。

实质是从已知复合函数中的取值范围，求出这个复合函数的中间变量的范围（或内层函数的值域）。

③已知函数的定义域是，求函数的定义域。

解：

由得，，

，，

故函数的定义域是。

2、求函数表达式中学阶段，求复合函数表达式大致可归纳为两种题型，一是已知各层子函数的映射法则，求复合函数的表达式；二是已知复合函数适合的函数方程，求复合函数的表达式。

（1）已知中间变量，求复合函数

用代换法则像求函数值一样，从内向外逐次将内层函数的表达式，代换外层函数的自变量解出。

每次代换只看一层，只代换一个中间变量。

函数的映射法则是对自变量单定义的，故复合函数的表达式最终也须将表达式用单的运算表示。

④已知函数，求函数的表达式。

解：

，

（2）已知复合函数，求原函数

关键是沟通中间变量与复合函数表达式间的映射关系，找到原函数，用中间变量的整体作自变量的映射法则，常用配凑法、换元法、待定系数法等。

⑤已知，求。

解：

令，则，所以；

，，即，

故，。

（3）已知复合函数适合的函数方程，求复合函数的表达式

中学只涉及简单的函数方程，因此，关键是将所求复合函数看作未知变量，根据函数方程的结构特征，采用代换方法建立方程组，消元解之。

⑥已知，其中，为奇数，求函数。

解：

由题意可知，令，由于为奇数，故有

；

结合已知条件，可解得，

又因为，为奇数，故。

（4）已知复合函数，求与外层函数映射法则相同的另一复合函数

先由已知的复合函数求原函数，再由原函数求另一复合函数。

⑦已知，求函数。

解：

设,则，有，

；

故。

3、求值域在复合函数定义域内，先求出最内层函数的值域，再用它作为中间函数的“自变量”，求出中间函数值域，依次外推直至求出最外层函数的值域。

⑧求函数，的值域。

解：

，；

又是减函数，

故所求函数的值域是。

4、判断函数奇偶性通常方法是根据奇偶性的定义进行判断，容易产生的一类负迁移是：

认为构成复合函数的每层简单函数都要有奇偶性时，复合函数才有奇偶性，这是错误的。

例如函数，可拆成，，易知外层函数不具有奇偶性，但内层函数是偶函数，由定义可知是偶函数。

当复合函数各层子函数都有奇偶性时，可用下列法则判断它的奇偶性。

定理当内层函数为偶函数时，复合函数为偶函数（此时可为任意函数），简记为“内偶则偶”。

定理当内层函数为奇函数时，若外层函数为奇函数，则复合函数为奇函数；若外层函数为偶函数，则复合函数为偶函数，简记为“内奇外奇则为奇”、“内奇外偶则为偶”。

5、判断函数单调性通常做法仍然是由函数单调性的定义判断，但若其中某层中间变量没有单调性时，则复合函数无单调性。

只有复合函数的各层子函数在定义域上均为严格单调函数时，复合函数才具有单调性，并可用下列法则判断复合函数的单调性。

定理当，均为增函数时，则复合函数为增函数；当，均为减函数时，则复合函数为增函数，简记为“同向为增”。

定理当为增函数，为减函数，或为减函数，为增函数时，则复合函数为减函数，简记为“异向为减”。

以上定理可推广至层复合函数，即：

定理若有限次复合函数的每层子函数均有意义且严格单调，则减函数的层数为偶数时，复合函数为增函数；减函数的层数为奇数时，复合函数为减函数。

6、求函数周期性

（1）由周期函数的定义易知，关键是最内层函数是否有周期性，当最内层函数为周期函数时，复合函数必为周期函数，但最小正周期可能改变。

例如函数，由，复合得到，内层函数为周期函数，，则仍为周期函数，但。

若外层函数为严格单调函数，内层函数是以为周期的函数，并且有最小正周期，则复合函数是周期函数，并且有最小正周期。

（2）当内层函数无周期性，外层函数有周期性时，应由周期函数的定义判断。

特殊情形可由下列定理判断：

定理若外层函数是以为周期的函数，且则复合函数是周期函数，周期为。

定理若外层函数为周期函数，且函数为偶函数，，则复合函数是周期函数。

7、求函数的最值

（1）已知复合函数的表达式，求复合函数的最值

若外层函数是严格单调函数，内层函数有最值时，内层函数的最值点就是复合函数的最值点；若外层函数有最值时，外层函数的最值点就是复合函数的最值点。

若外层函数与内层函数都是严格单调函数时，复合函数的值域为开区间，则复合函数无最值；值域为闭区间，则复合函数既有最大值，也有最小值；值域为半开半闭区间，则复合函数只有最大值而无最小值，或只有最小值而无最大值。

⑨已知，求函数的最值。

解：

，

令，由知，

，

当时，；

当时，。

（2）已知复合函数，求原函数的最值

先由复合函数求得原函数，再求原函数的最值。

⑩已知，求函数的最值。

解：

令，则，于是得，

，；

即，

当时，；当时，因，故，

，且当时,；当时,。

8、求反函数当复合函数的各层子函数均为严格单调函数时，有反函数。

一般先逐层求出各层子函数的反函数，然后复合为原函数的反函数，或用穿脱原则从外到内依次取原映射的逆映射。

注意由原函数的值域写出它的反函数的定义域。

例题求函数的反函数。

解:

，，故，

又，，

故所求反函数为，。

三、复合函数的图象

作复合函数的图象一般都比较复杂，这里仅介绍用图象变换法作复合函数的图象。

当复合函数可视为由常见的简单函数经过平移、伸缩、对称等变换得到时，可由简单函数的图象施行图象变换作出复合函数的图象。

例题作函数的图象。

解：

原函数的图象可由函数的图象经过下列变换得到：

。

图象略。

四、复合函数的符号语言

对复合函数的符号语言，应从函数定义与函数符号出发，准确理解，不可误读误写误用。

（1）的区别

是简单函数的记号，而则为复合函数的记号，由，复合而成。

（2）与的区别

由于复合映射不具有交换律，即，所以它们是两个不同的复合函数，不是同一个复合函数。

因此与也不是同一个函数；比如,这里的表示函数值域中的任一个值，而，这里的却表示函数定义域中的任一个值。

例如，；，。

（3）的区别

函数是复合函数的反函数，它们的图象关于直线对称。

而函数不是的反函数，它们的图象关于直线不对称，严格地说它们是关于中间变量成反函数关系，它们的图象应由外层函数的反函数关系，结合内层函数施行相应的几何变换或代数变换而得到。

例题已知函数的图象过点，则函数的图象过点（）。

错解：

因函数的图象过点，而函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，故的图象必过点，再由反函数定义知函数的图象必过点。

正解：

因的图象过点，故的图象应过点，又的图象可由的图象向左平移个单位得到，所以的图象应由的图象向左平移个单位得到，故必过点。

综上所述，我们只有通过做大量的习题，才能掌握复合函数的概念及性质，为后续学习打下坚实的基础。