高等代数北大版课件1.11 对称多项式.ppt

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4最大公因式,5因式分解,6重因式,10多元多项式,11对称多项式,3整除的概念,2一元多项式,1数域,7多项式函数,9有理系数多项式,8复、实系数多项式的因式分解,第一章多项式,一、一元多项式根与系数的关系,二、n元对称多项式,1.11对称多项式,三、一元多项式的判别式,韦达定理,设,若在上有个根，则,把展开，与比较，即得根与系数的关系：

一、一元多项式根与系数的关系,（所有可能的i个不同的的积之和）,，,特别地，为其根，,则有,二、n元对称多项式,定义,设，,若对任意，有,则称该多项式为对称多项式,如，,下列n个多项式,称为个未定元的初等对称多项式,1对称多项式的和、积仍是对称多项式；,对称多项式的多项式仍为对称多项式,则,是元对称多项式,特别地，初等对称多项式的多项式仍为对称多项式,若为对称多项式，,为任一多项式，,性质,即，,2对称多项式基本定理,对任一对称多项式,都有n元多项式,使得,为初等对称多项式,则必有,作对称多项式,首项为,证明：

再作对称多项式,则的首项为,则有比较“小”的首项,对重复上述作法，并依此下去.,即有一系列对称多项式,它们的首项一个比一个“小”，所以必终此在有限步,故存在，使,于是,这就是一个初等对称多项式的多项式,上述证明过程实际上是逐步消去首项.,逐步消去首项法的一般步骤：

则一定有,第一步：

找出对称多项式f的首项,第二步：

由f的首项写出:

说明,确定它对应的指数组,第三步：

作，并展开化简,如此反复进行，直到出现，则,再对按一、二、三步骤进行，构造,例1.把多项式f表成初等对称多项式的多项式,令,的首项是,解:

作对称多项式,它所对应的指数组是,令,作对称多项式,所以，,令,于是,对于齐次对称多项式还可以采用待定系数法,（设f是m次齐次对称多项式）,第一步：

根据对称多项式f首项对应的指数组写出,所有可能的指数组，,且这些指数组满足：

前面的指数组先于后面的指数组,附：

待定系数法的一般步骤：

的初等对称多项式的方幂的乘积：

第二步：

对每个指数组，写出它对应,第三步：

设出f由所有初等对称多项式的方幂乘积,的线性表达式，其首项系数即为f的首项系数，,其余各项系数分别用A、B、C、代替,第四步：

分组选取适当的的值，计,算出及f，,性表达式中，得到关于A、B、C、的线性方程组，,解这个线性方程组求得A、B、C、的值,最后写出所求的f的表达式,将之代入第三步中设出的线,对称多项式的多项式,所有不先于的三次指数组及相应的初等对称,解:

它所对应的数组是,f的首项是,多项式方幂的乘积如下表:

及f的值如下表:

适当选取的值，计算出,代入

（1）式得,解之得，,所以,三、一元多项式的判别式,有特殊的重要性按对称多项式基本定理知，,对称多项式,D可表成,由根与系数的关系知，,的多项式,的根，则多项

（2）有重根的充要条件是,解：

求的判别式,练习,