高等代数北大版课件1.1数域.ppt

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4最大公因式,5因式分解,6重因式,10多元多项式,11对称多项式,3整除的概念,2一元多项式,1数域,7多项式函数,9有理系数多项式,8复、实系数多项式的因式分解,第一章多项式,一、数域,二、数域性质定理,1.1数域,一、数域,设P是由一些复数组成的集合，其中包括,数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域,0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除,常见数域：

复数域C；实数域R；有理数域Q；,（注意：

自然数集N及整数集Z都不是数域）,定义,说明：

1）若数集P中任意两个数作某一运算的结果仍在P,中，则说数集P对这个运算是封闭的,2）数域的等价定义：

如果一个包含0，1在内的数,集P对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0）,是封闭的，则称集P为一个数域,是一个数域,例1证明：

数集,证：

又对,设,则有,设,或,矛盾）,（否则，若,则,于是有,为数域,例2设P是至少含两个数的数集，证明：

若P中任,意两个数的差与商（除数0）仍属于P，则P为一,一个数域,有,证：

由题设任取,所以，P是一个数域,时,时,二、数域的性质定理,任意数域P都包括有理数域Q,即，有理数域为最小数域,证明：

设P为任意一个数域由定义可知，,于是有,进而有,而任意一个有理数可表成两个整数的商，,设P为非空数集，若,则称P为一个数环,附:

例如，整数集Z就作成一个数环,数环,练习,判断数集是否为数域？

为什么?

作业,S是数域吗？

证明：

集合是一个数环,1若为数域，证明：

也为数域,