复变函数与积分变换教案.doc
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第一章复数与复变函数
第一节复数及其代数运算
1、复数域：
每个复数具有的形状，其中和，是虚数单位；和分别称为的实部和虚部，分别记作，。
复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果，则可以看成一个实数；如果，那么称为一个虚数；如果，而，则称为一个纯虚数。
2、复数的四则运算
复数的四则运算定义为：
复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。
第二节、复数的几何表示
1、复平面
C也可以看成平面，我们称为复平面。
作映射：
，则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。
复数可以等同于平面中的向量，。
向量的长度称为复数的模，定义为：
；
向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：
（）。
复数的共轭定义为：
；
复数的三角表示定义为：
；
复数加法的几何表示：
设、是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：
关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：
（1）、；
（2）、；
（3）、；（4）、；
（5）、；（6）、；
例1试用复数表示圆的方程：
（）
其中，a,b,c,d是实常数。
解：
方程为，其中。
例2、设、是两个复数，证明
第三节复数的乘幂与方根
利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：
设、是两个非零复数，则有
则有
即，，其中后一个式子应理解为集合相等。
同理，对除法，有
即，，其后一个式子也应理解为集合相等。
例3、设、是两个复数，求证：
例4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点a,b,c的圆的表示式。
解：
直线：
；
圆：
利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：
令，则
进一步，有
共有-个值。
例4、求的所有值。
解：
由于，所以有
其中，。
第四节区域
一、初步概念：
设，的-邻域定义为
称集
为以为中心，为半径的闭圆盘，记为。
设，
若中有无穷个点，则称为的极限点；
若，使得，则称为的内点；
若中既有属于的点，由有不属于的点，则称为的边界点；
集的全部边界点所组成的集合称为的边界，记为；
称为的闭包，记为；
若，使得，则称为的孤立点（是边界点但不是聚点）；
开集：
所有点为内点的集合；
闭集：
或者没有聚点，或者所有聚点都属于；则任何集合的闭包一定是闭集；
如果，使得，则称是有界集，否则称是无界集；
复平面上的有界闭集称为紧集。
例1、圆盘是有界开集；闭圆盘是有界闭集；
例2、集合是以为心，半径为的圆周，它是圆盘和闭圆盘的边界。
例3、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。
例4、集合是去掉圆心的圆盘。
圆心，它是的孤立点，是集合的聚点。
无穷远点的邻域：
，集合称为无穷远点的一个邻域。
类似地有，聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。
我们也称为的一点紧化。
二、区域、曲线：
复平面C上的集合，如果满足：
（1）、是开集；
（2）、中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于。
则称是一个区域。
结合前面的定义，有有界区域、无界区域。
性质
（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。
区域内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。
扩充复平面上不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。
设已给
如果和都在闭区间上连续，则称集合为一条连续曲线。
如果对上任意不同两点及，但不同时是的端点，我们有，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。
若还有，则称为一条简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。
光滑曲线：
如果和都在闭区间上连续，且有连续的导函数，在上，则称集合为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。
三、单连通域与多连通域
定义：
设是一个区域，在复平面C上，如果内任何简单闭曲线的内区域中每一点都属于，则称是单连通区域，否则称是多连通区域。
中区域的连通性：
如果内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于，则称是单连通区域，否则称是多连通区域。
例1、集合为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线
即。
例2、集合为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为直线及。
例3、集合为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线
及。
例4、集合为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆及。
例5、在上，集合与分别为单连通及多连通的无界区域，其边界分别为及。
第五节复变函数
一、定义
设在复平面C上以给点集。
如果有一个法则，使得，同它对应，则称为在上定义了一个复变数函数，简称为复变函数，记为。
注解1、同样可以定义函数的定义域与值域；
注解2、此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个和对应；
注解3、复变函数等价于两个实变量的实值函数：
若，，则等价于两个二元实变函数和。
函数也称为从到C上的一个映射或映照。
把集合表示在一个复平面上，称为-平面；把相应的函数值表示在另一个复平面上，称为-平面。
从集合论的观点，令，记作，我们称映射把任意的映射成为，把集映射成集。
称及分别为和的象，而称和分别为及的原象。
若把中不同的点映射成中不同的点，则称它是一个从到的双射。
例1、考虑映射。
解：
设，，，则有，，这是一个平面到平面的双射，我们称为一个平移。
例2、考虑映射，其中。
解：
令，则它可以分解为以下两个映射的复合：
，
第一个映射是一个旋转（旋转角为），第二个映射是一个以原点为中心的相似映射。
例3、考虑映射。
解：
它可以分解为以下两个映射的复合：
，
映射是一个关于实数轴的对称映射；
映射把映射成，其辐角与相同：
而模，满足。
我们称为关于单位圆的对称映射，与称为关于单位圆的互相对称点。
若规定把映射成，则它是一个扩充平面到扩充平面的一个双射。
例4、考虑映射。
解：
等价于
，。
二．复变函数的极限
设函数在集合上确定，是的一个聚点，是一个复常数。
如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，
，
则称为函数当趋于时的极限，记作：
注解：
1、复变函数的极限等价于两个实变二元函数的重极限。
2、关于极限的和、差、积、商等性质可以不加改变的推广到复变函数。
三．复变函数连续性的定义
设函数在集合上确定，是的一个聚点，如果
成立，则称在处连续；如果在中每一点连续，则称在上连续。
注解1、如果，则在处连续的充要条件为：
即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性；
注解2、连续函数的四则运算结论成立：
两个复变函数连续的加、减、乘、除（分母不等于零）是复变函数连续；
注解3、如果函数在集上连续，并且函数值属于集，而在集上，函数连续，那么复合函数在上连续。
四．一致连续性
设函数在集合上确定，如果任给，可以找到一个仅与有关的正数，使得当，并且时，
，
则称函数在上一致连续。
定理1、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续，那么它在上一致连续。
定理2、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续，那么它在上有界，即在集上有界。
定理3、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续，那么在上达到它的最大模和最小模。
第二章解析函数
第一节解析函数的概念
一、导数、解析函数
导数：
设是在区域内确定的单值函数，并且，。
如果极限
存在，为复数，则称在处可导或可微，极限称为在处的导数，记作，或。
解析函数：
定义：
如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析；如果在区域内处处解析，则我们称在内解析，也称是的解析函数。
解析函数的导（函）数一般记为或。
注解1、语言，如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，
，
注解2、解析性与连续性：
在一个点的可导性的函数必然是这个上的连续函数；
注解3、解析性与可导性：
在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；
注解4、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。
解析函数的四则运算：
和在区域内解析，那么，，（分母不为零）也在区域内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：
。
复合求导法则：
设在平面上的区域内解析，在平面上的区域内解析，而且当时，，那么复合函数在内解析，并且有
求导的例子：
（1）、如果（常数），那么；
（2）、，；
（3）、的任何多项式
在整个复平面解析，并且有
（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z是实变量时相同。
第二节函数解析的充要条件
柯西-黎曼条件
可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：
定理1设函数f（x,y）=u（x,y）+iv（x,y）在区域D内确定，那么f（x,y）在点可微的充要条件是：
1、实部u（x,y）和虚部v（x,y）在（x,y）处可微；
2、u（x,y）和v（x,y）满足柯西-黎曼条件（简称C-R方程）
证明：
（必要性）设在有导数，根据导数的定义，当时（）
其中，。
比较上式的实部与虚部，得
因此，由实变二元函数的可微性定义知，u（x,y），v（x,y）在点（x,y）可微，并且有
因此，柯西-黎曼方程成立。
（充分性）设u（x,y），v（x,y）在点（x,y）可微，并且有柯西-黎曼方程成立：
设则由可微性的定义，有：
令，当（）时，有
令，则有
所以，f（x,y）在点可微的。
定理2设函数f（x,y）=u（x,y）+iv（x,y）在D区域D内确定，那么f（x,y）在区域D内解析的充要条件是：
1、实部u（x,y）和虚部v（x,y）在D内可微；
2、u（x,y）和v（x,y）在D内满足柯西-黎曼条件（简称C-R方程）
关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：
注解1、解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R方程的一组解，它们是在研究流体力学时得到得；
注解2、解析函数的导数形式更简洁：
注解3、利用此定理，可以判断一个复变函数是否在一点可微或在一个区域内解析：
如以及在整个复平面内解析，而在任何点都不可微。
第三节初等函数
一指数函数
定义：
注：
1、
2、
3、解析性：
整个复平面
4、周期性：
，为一个基本周期
5、欧拉（Euler）公式：
当时，有
二、对数函数
定义指数函数的反函数为对数函数：
注：
1、由定义，
2、对数函数是多值函数，当定义中取主值分支时其分支记为，称为对数函数的主值分支。
即，
3、当时，即复变函数的自变量退化成为正实数时，对数函数即为实变对数函数。
例求及其主值分支。
解：
，其主值分支即为。
4、解析性
由定义中的实部和虚部两个函数，可知复变对数函数的解析域为：
除去原点与负实轴的整个复平面。
5、复变对数函数与实变对数函数的区别
相同性质：
第二式中要求
不同性质：
在时不再成立。
这是由复变对数函数的多值性所导致的。
三、乘幂幂函数
利用对数函数，可以定义乘幂函数：
设a是任何复数，则定义z的a次幂函数为
当a为正实数，且z=0时，还规定。
由于
因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子
个数。
因此，有下面的结论：
乘幂函数的基本性质：
1、由于对数函数的多值性，幂函数一般是一个多值函数；
2、当是正整数时，幂函数是一个单值函数；
3、当（当n是正整数）时，幂函数是一个n值函数；
4、当是有理数时，幂函数是一个n值函数；
5、当a是无理数或虚数时，幂函数是一个无穷值多值函数。
6、解析性：
由定义中所包含的对数函数所决定的解析域：
除去原点与负实轴的复平面。
例求的值
解：
，
四、三角函数
由于Euler公式，对任何实数x，我们有：
，
所以有
因此，对任何复数z，定义余弦函数和正弦函数如下：
则对任何复数z，Euler公式也成立：
关于复三角函数，有下面的基本性质：
1、cosz和sinz是单值函数；
2、cosz是偶函数，sinz是奇函数:
3、cosz和sinz是以为周期的周期函数:
4、；
证明：
，
所以
5、
注解：
由于负数可以开平方，所以由此不能得到
，
例如z=2i时，有
6、cosz和sinz在整个复平面解析，并且有：
证明：
7、cosz和sinz在复平面的零点：
cosz在复平面的零点是，，sinz在复平面的零点是，。
8、同理可以定义其他三角函数：
第三章复变函数的积分
第一节：
复变函数积分的概念
1、复变函数的积分：
设在复平面C上有一条连接及Z两点的简单曲线C。
设f（z）=u（x,y）+iv（x,y）是在C上的连续函数。
其中u（x,y）及v（x,y）是f（z）的实部及虚部。
把曲线C用分点分成n个更小的弧，在这里分点是在曲线C上按从到Z的次序排列的。
如果是到的弧上任意一点，那么和式
，
可以写成
或者
在这里分别表示的实部与虚部。
按照关于实变函数的线积分的结果，当曲线C上的分点的个数无穷增加，而且时，上面的四个式子分别有极限：
这时，我们说原和式有极限这个极限称为函数f（z）沿曲线C的积分，记为
于是，我们有
如果C是简单光滑曲线：
，并且，那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式，例如其中第一个可以写成
，
因此，我们有
我们可以看到，把dz形式地换成微分，就直接得到上式，因此有
，
当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论。
复变函数积分的基本性质：
设f（z）及g（z）在简单曲线C上连续，则有
（1）
（2）
（3），其中曲线C是有光滑的曲线连接而成；
（4）其中如果曲线用方程：
表示，那么曲线就由给出。
即积分是在相反的方向上取的。
如果C是一条简单闭曲线，那么可取C上任意一点作为取积分的起点，而且积分当沿C取积分的方向改变时，所得积分相应变号。
（5）如果在C上，|f（z）|，
证明：
因为
两边取极限即可得结论。
例1、设C是连接及Z两点的简单曲线，那么
，
如果是C闭曲线，即，那么积分都是零。
例2、设C是圆，其中是一个复数，是一个正数，那么按反时针方向所取的积分
。
证明：
令，
于是，
从而
第二节柯西-古萨（Cauchy-Goursat）基本定理
定理设C是一条简单闭曲线，函数f（z）在以C为边界的有界闭区域D上解析，那么
。
定理3.2设f（z）是单连通区域D的解析函数，那么f（z）在D内有原函数。
基本定理阐述了一种积分与路径无关的概念，注意定理中单连通域的要求。
第三节复合闭路定理
柯西定理可以推广到多连通区域：
复合闭路定理：
设有n+1条简单闭曲线曲线中每一条都在其余曲线的外区域内，而且所有这些曲线都在的内区域，围成一个有界多连通区域D，D及其边界构成一个闭区域。
设f（z）在上解析，那么令C表示D的全部边界，我们有
其中积分是沿C按关于区域D的正向取的。
即沿按反时针方向，沿按顺时针方向取积分；或者说当点沿着C按所选定取积分的方向一同运动时，区域D总在它的左侧。
因此
也有：
第五节柯西积分公式
设f（z）在以圆为边界的闭圆盘上解析，f（z）沿C的积分为零。
考虑积分
则有：
（1）被积函数在C上连续，积分I必然存在；
（2）在上述闭圆盘上不解析，I的值不一定为0，例如；
现在考虑f（z）为一般解析函数的情况。
作以为心，以为半径的圆，由柯西定理，得
因此，I的值只f（z）与在点附近的值有关。
令，
则有
由于I的值只f（z）与在点附近的值有关，与无关，由f（z）在点的连续性，应该有，即
事实上，当趋近于0时，有
由于由f（z）在点的连续性，所以，使得当时，，因此
即当趋近于0时，上式右边的有第二个积分趋近于0；而，因此，结论成立。
定理（柯西积分公式）设D是以有限条简单闭曲线C为边界的有界区域。
设f（z）在D及C所组成的闭区域上解析，那么在内任一点z，有
其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的，我们称它为柯西公式。
证明：
设，显然函数在满足的点处解析。
以到z为心，作一个包含在D内的圆盘，设其半径为，边界为圆。
在上，挖去以为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域。
在上，的函数以及解析，所以有
其中，沿曲线C的积分是按关于D的正向取的，沿的积分是按反时针方向取的。
因此，结论成立。
注解1、对于某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。
注解2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。
注解3、柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义。
第六节解析函数的高阶导数
定理（高阶求导公式）设D是以有限条简单闭曲线C为边界的有界区域。
设f（z）在D及C所组成的闭区域上解析，那么f（z）在D内有任意阶导数
注解1、以上讨论表明，函数在一个区域内的解析性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异；
注解2、任意阶导数公式是柯西公式的直接推论；
注解3、设函数f（z）在区域D内解析，那么f（z）在D内有任意阶导数。
第四章级数
第一节复数项级数
复数序列就是：
在这里，是复数，一般简单记为。
按照是有界或无界序列，我们也称为有界或无界序列。
设是一个复常数。
如果任给，可以找到一个正数N，使得当n>N时
那么我们说收敛或有极限，或者说是收敛序列，并且收敛于，记作
。
如果序列不收敛，则称发散，或者说它是发散序列。
令，其中a和b是实数。
由不等式
容易看出，等价于下列两极限式：
因此，有下面的注解：
注解1、序列收敛（于）的必要与充分条件是：
序列收敛（于a）以及序列收敛（于b）。
注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列收敛于，或者说有极限点的定义用几何语言可以叙述为：
任给的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N，使得当n>N时，在这个邻域内。
注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。
复数项级数就是
或记为，或，其中是复数。
定义其部分和序列为：
如果序列收敛，那么我们说级数收敛；如果的极限是，那么说的和是，或者说收敛于，记作
，
如果序列发散，那么我们说级数发散。
注解1、对于一个复数序列，我们可以作一个复数项级数如下
则序列的敛散性和此级数的敛散性相同。
注解2、级数收敛于的定义可以叙述为：
，
注解3、如果级数收敛，那么
注解4、令
，我们有
因此，级数收敛（于）的必要与充分条件是：
级数收敛（于a）以及级数收敛（于b）。
注解5、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：
柯西收敛原理（复数项级数）：
级数收敛必要与充分条件是：
任给，可以找到一个正整数N，使得当n>N，p=1,2,3,…时，
柯西收敛原理（复数序列）：
序列收敛必要与充分条件是：
任给，可以找到一个正整数N，使得当m及n>N，
对于复数项级数，我们也引入绝对收敛的概念：
如果级数
收敛，我们称级数绝对收敛。
注解1、级数绝对收敛必要与充分条件是：
级数以及绝对收敛：
事实上，有
注解2、若级数绝对收敛，则一定收敛。
例、当时，绝对收敛；并且有
我们有，当时，
如果复数项级数及绝对收敛，并且它们的和分别为，那么级数
也绝对收敛，并且它的和为。
第二节幂级数
一、幂级数的概念
幂级数：
本节研究一类特别的解析函数项级数，即幂级数
其中z是复变数，系数是任何复常数。
注解1、这类级数在复变函数论中有特殊重要的意义；
注解2、一般幂级数在一定的区域内收敛于一个解析函数；
注解3、在一点解析的函数在这点的一个邻域内可以用幂级数表示出来，因此一个函数在某个点解析的必要与充分条件是，它在这个点的某个邻域内可以展开成一个幂级数。
首先研究幂级数的收敛性，我们有阿贝尔第一定理：
定理1如果幂级数在收敛，那么对满足的任何z，它都不仅收敛，而且绝对收敛。
二、收敛圆与收敛半径
定理2设的收敛半径是R，那么按照不同情况，我们分别有：
（1）、如果，那么当时，级数绝对收敛，当时，级数发散；
（2）如果，那么级数在复平面上每一点绝对收敛；
（3）如果R=0，那么级数在复平面上除去外每一点发散。
注解1、当时，对于，级数的敛散性不定。
注解2、和数学分析中一样，定理3.2中的称为此级数的收敛半径；而称为它的收敛圆盘。
当时，我们说此级数的收敛半径是，收敛圆盘扩大成复平面。
当R=0时，我们说此级数的收敛半径是0，收敛圆盘收缩成一点。
注解3、因此，求的收敛半径的问题归结成求的收敛半径的问题
三、收敛半径的求法
定理3如果下列条件之一成立：
（1）
（2）
（3）
那么当时，级数的收敛半径；当时，；当时，。
第三节泰勒级数
定理（泰勒级数展开定理）：
设函数f（z）在圆盘内解析，那么在U内，
注解1：
解析函数在其解析点具有泰勒级数展开式；
注解2：
解析函数的泰勒级数展开式是唯一的。
例1、求在z=0的泰勒展式。
解：
由于，所以，因此
同理，有
第四节洛朗级数
考虑级数
这里是复常数。
当级数
都收敛时，我们说原级数收敛，并且它的和等于上式中两个级数的和函数相加。
设上式中第一个级数在内绝对收敛并且内闭一致收敛，第二个级数在内绝对收敛并且内闭一致收敛。
于是两级数的和函数分别及在内解析。
又设，那么这两个级数都在圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛，于是我们说级数在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一个解析函数。
我们称级数为洛朗级数。
因此，洛朗级数的和函数是圆环D内的解析函数，我们也有
定理设函数f（z）在圆环：
内解析，那么在D内
其中，
是圆是一个满足的任何数。
注解1、由于函数f（z）的解析区域不是单连通区域，所以公式
不能写成：
注解2、我们称为f（z）的解析部分，而称为其主要部分。
注解3、我们称为f（z）的洛朗展式。
、
注解4、洛朗级数展开式的唯一性。
第五章留数
第一节孤立奇点
设函数f（z）在去掉圆心的圆盘内确定并且解析，那么我们称为f（z）的孤立奇点。
在D内，f（z）有洛朗展式
其中
是圆。
例如，0是的孤立奇点。
一般地，对于上述函数f（z），按照它的洛朗展式含负数幂的情况
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