平面向量的数量积及其应用教案.doc

平面向量的数量积及其应用教案.doc

《平面向量的数量积及其应用教案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面向量的数量积及其应用教案.doc（10页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

教师助手学生帮手家长朋友

5.3　平面向量的数量积及其应用

1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．

2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．

4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．

5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．

1．两个向量的夹角

（1）定义

已知两个__________向量a和b，作＝a，＝b，则__________称作向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．

（2）范围

向量夹角〈a，b〉的范围是__________，且__________＝〈b，a〉．

（3）向量垂直

如果〈a，b〉＝__________，则a与b垂直，记作__________．

2．平面向量的数量积

（1）平面向量的数量积的定义

__________叫做向量a和b的数量积（或内积），记作a·b＝__________.可见，a·b是实数，可以等于正数、负数、零．其中|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影．

（2）向量数量积的运算律

①a·b＝__________（交换律）

②（a＋b）·c＝__________（分配律）

③（λa）·b＝__________＝a·（λb）（数乘结合律）．

3．平面向量数量积的性质：

已知非零向量a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）

性质

几何表示

坐标表示

定义

a·b＝|a||b|cos〈a，b〉

a·b＝a1b1＋a2b2

模

a·a＝|a|2或|a|＝

|a|＝

若A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1）

||＝

a⊥b的充要条件

a·b＝0

a1b1＋a2b2＝0

夹角

cos〈a，b〉＝（|a||b|≠0）

cos〈a，b〉＝

|a·b|与|a||b|的关系

|a·b|≤|a||b|

|a1b1＋a2b2|≤

1．已知下列各式：

①|a|2＝a2；

②＝；

③（a·b）2＝a2b2；

④（a－b）2＝a2－2a·b＋b2，其中正确的有（　　）．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．设向量a＝（1,0），b＝，则下列结论中正确的是（　　）．

A．|a|＝|b| B．a·b＝

C．a∥b D．a－b与b垂直

3．已知a＝（1，－3），b＝（4,6），c＝（2,3），则（b·c）a等于（　　）．

A．（26，－78） B．（－28，－42）

C．－52 D．－78

4．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为，则|a＋b|＝__________.

5．已知|a|＝2，|b|＝4且a⊥（a－b），则a与b的夹角是__________．

一、平面向量数量积的运算

【例1】

（1）在等边△ABC中，D为AB的中点，AB＝5，求·，||；

（2）若a＝（3，－4），b＝（2,1），求（a－2b）·（2a＋3b）和|a＋2b|.

方法提炼

平面向量的考查经常有两种：

一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理；二是考查数量积，此时注意应用平面向量基本定理，选择恰当的基底，以简化运算过程．坐标形式时，运算要准确．

提醒：

向量数量积与实数相关概念的区别：

1．表示方法的区别

数量积的记号是a·b，不能写成a×b，也不能写成ab.

2．相关概念及运算的区别

（1）若a，b为实数，且ab＝0，则有a＝0或b＝0，但a·b＝0却不能得出a＝0或b＝0.

（2）若a，b，c∈R，且a≠0，则由ab＝ac可得b＝c,但由a·b＝a·c及a≠0却不能推出b＝c.

（3）若a，b，c∈R，则a（bc）＝（ab）c（结合律）成立，但对于向量a，b，c，而（a·b）c与a（b·c）一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的．

（4）若a，b∈R，则|a·b|＝|a|·|b|，但对于向量a，b，却有|a·b|≤|a||b|，等号当且仅当a∥b时成立．

请做演练巩固提升2

二、两平面向量的夹角与垂直

【例2】已知|a|＝4，|b|＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61.

（1）求a与b的夹角θ；

（2）若＝a，＝b，求△ABC的面积．

方法提炼

1．求两非零向量的夹角时要注意：

（1）向量的数量积不满足结合律；

（2）数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角就是钝角．

2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系．

请做演练巩固提升1

三、求平面向量的模

【例3－1】（2012江西高考）设单位向量m＝（x，y），b＝（2，－1）．若m⊥b，则|x＋2y|＝__________.

【例3－2】已知向量a＝，b＝，且x∈.

（1）求a·b及|a＋b|；

（2）若f（x）＝a·b－|a＋b|，求f（x）的最大值和最小值．

方法提炼

利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：

（1）|a|2＝a2＝a·a；

（2）|a±b|2＝（a±b）2＝a2±2a·b＋b2；

（3）若a＝（x，y），则|a|＝.

请做演练巩固提升5

四、平面向量的应用

【例4－1】已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的（　　）．

A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心

C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心

【例4－2】已知向量＝a＝（cosα，sinα），＝b＝（2cosβ，2sinβ），＝c＝（0，d）（d＞0），其中O为坐标原点，且0＜α＜＜β＜π.

（1）若a⊥（b－a），求β－α的值；

（2）若＝1，＝，求△OAB的面积S.

方法提炼

向量与其他知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题．

请做演练巩固提升3

忽视对直角位置的讨论致误

【典例】已知平面上三点A，B，C，向量＝（2－k,3），＝（2,4）．

（1）若三点A，B，C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；

（2）若△ABC为直角三角形，求k的值．

错解：

（1）由三点A，B，C不能构成三角形，

得A，B，C在同一条直线上，即向量与平行．

∵∥，

∴4（2－k）－2×3＝0.

∴k＝.

（2）∵＝（2－k,3），

∴＝（k－2，－3）．

∴＝＋＝（k,1）．

∵△ABC为直角三角形，

∴⊥，·＝0.

∴2k＋4＝0，解得k＝－2.

错因：

因和已知，则可得（含k的式子），若三点不能构成三角形，则有三点共线；若△ABC为直角三角形，则有一个角为直角，即某两边构成的角成直角，转化为某两个向量垂直，此时应根据直角顶点不同而进行分类讨论，求得符合条件的k的值．

正解：

（1）由三点A，B，C不能构成三角形，得A，B，C在同一条直线上，即向量与平行，

∵∥，

∴4（2－k）－2×3＝0，解得k＝.

（2）∵＝（2－k,3），∴＝（k－2，－3），

∴＝＋＝（k,1）．

∵△ABC为直角三角形，

则当∠BAC是直角时，

⊥，即·＝0，

∴2k＋4＝0，解得k＝－2；

当∠ABC是直角时，

⊥B，即·＝0，

∴k2－2k－3＝0，解得k＝3或k＝－1；

当∠ACB是直角时，

⊥，即·＝0，

∴16－2k＝0，解得k＝8.

综上得k的取值为－2，－1,3,8.

答题指导：

1．用向量研究平面几何问题，是向量的一个重要应用，也是高考的热点．本题难度不大，属中档题．

2．本题的错误非常典型．造成错误的主要原因就是思维定势所致．第

（1）问，三点不能构成三角形，从构成三角形的条件直接否定，转化成求解不等式，从而使问题变得复杂，无法进行下去．第

（2）问，由于思维定势，误认为∠A一定为直角，从而使解答不完整．

3．考生书写格式不规范，不完整，也是失分的一个重要因素．

1．（2012福建高考）已知向量a＝（x－1,2），b＝（2,1），则a⊥b的充要条件是（　　）．

A．x＝－ B．x＝－1

C．x＝5 D．x＝0

2．（2012天津高考）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足＝λ，＝（1－λ），λ∈R.若·＝－2，则λ＝（　　）．

A. B. C. D．2

3．（2012湖南高考）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，·＝1，则BC等于（　　）．

A. B. C．2 D.

4．在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为__________．

5．给出以下四个命题：

①对任意两个向量a，b都有|a·b|＝|a||b|；

②若a，b是两个不共线的向量，且＝λ1a＋b，＝a＋λ2b（λ1，λ2∈R），则A，B，C共线λ1λ2＝－1；

③若向量a＝（cosα，sinα），b＝（cosβ，sinβ），则a＋b与a－b的夹角为90°；

④若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝，则a，b的夹角为60°.

以上命题中，错误命题的序号是__________．

6．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝（1,2）．

（1）若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；

（2）若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.

参考答案

基础梳理自测

知识梳理

1．

（1）非零　∠AOB　

（2）[0，π]　〈a，b〉（3）　a⊥b

2．

（1）|a||b|cos〈a，b〉　|a||b|cos〈a，b〉

（2）①b·a　②a·c＋b·c　③λ（a·b）

基础自测

1．B　解析：

②错，向量不能约分；

③中（a·b）2＝|a|2·|b|2·cos2θ不一定与a2·b2相等，∴③错．

2．D

3．A　解析：

a（b·c）＝（1，－3）×（4×2＋6×3）＝（26，－78）．

4．　解析：

|a＋b|2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2

＝12＋2×1×2×cos＋22＝7.

∴|a＋b|＝＝.

5．　解析：

∵a⊥（a－b），

∴a·（a－b）＝0，

即a2－a·b＝0，∴a·b＝4，

∴cosθ＝＝＝（θ是a与b的夹角），

∴θ＝.

考点探究突破

【例1】解：

（1）如图，向量，的夹角为120°，

∴·＝||·||·cos120°

＝5×5×＝－.

∵＝（＋），

∴||2＝（＋）2

＝（||2＋2·＋||2）

＝×（25＋2×5×5×cos60°＋25）＝，∴||＝.

（2）a－2b＝（3，－4）－2（2,1）＝（－1，－6），

2a＋3b＝2（3，－4）＋3（2,1）＝（12，－5），

∴（a－2b）·（2a＋3b）＝（－1）×12＋（－6）×（－5）＝－12＋30＝18.

∵a＋2b＝（3，－4）＋2（2,1）＝（7，－2），

∴|a＋2b|＝＝.

【例2】解：

（1）∵（2a－3b）·（2a＋b）＝61，

∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.

又|a|＝4，|b|＝3，

∴64－4a·b－27＝61，

∴a·b＝－6.

∴cosθ＝＝＝－.

又0≤θ≤π，∴θ＝.

（2）∵与的夹角θ＝，

∴∠ABC＝π－＝.

又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，

∴S△ABC＝||||sin∠ABC

＝×4×3×＝3.

【例3－1】　解析：

因为m⊥b，

所以m·b＝2x－y＝0.①

又因为m为单位向量，

所以x2＋y2＝1.②

由①②解得或

所以|x＋2y|＝.

【例3－2】解：

（1）a·b＝coscos－sinsin＝cos2x.

|a＋b|＝

＝＝2|cosx|，

∵x∈，∴cosx＞0，

∴|a＋b|＝2cosx.

（2）f（x）＝cos2x－2cosx

＝2cos2x－2cosx－1

＝22－，

∵x∈，∴≤cosx≤1.

∴当cosx＝时，f（x）取得最小值－，

当cosx＝1时，f（x）取得最大值－1.

【例4－1】C　解析：

如图，∵＋＋＝0，∴＋＝.

依向量加法的平行四边形法则，知||＝2||，故N为重心．

∵·＝·，

∴（－）·＝·＝0.

同理·＝0，·＝0，

∴点P为△ABC的垂心．

由||＝||＝||，知O为△ABC的外心．

【例4－2】解：

（1）由a⊥（b－a）a·（b－a）＝0a·b－a2＝0，

又|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝|α－β|，

∴2cos|α－β|＝1cos|α－β|＝.

由0＜α＜＜β＜π，得β－α＝.

（2）∵||＝1，||＝2，

记〈，〉＝θ1，〈，〉＝θ2，

∵＝（0，d），d＞0，

∴θ1＝β－，θ2＝－α，且θ1，θ2∈.

由＝||·cosθ1＝1cosθ1＝得β－＝.

由＝||·cosθ2＝cosθ2＝得－α＝，

∴∠AOB＝β－α＝，

∴S＝×2×1＝1.

演练巩固提升

1．D　解析：

∵a＝（x－1,2），b＝（2,1），a⊥b，∴a·b＝（x－1,2）·（2,1）＝2（x－1）＋2×1＝2x＝0，即x＝0.

2．B　解析：

设＝a，＝b，

∴|a|＝1，|b|＝2，且a·b＝0.

·＝（－）·（－）

＝[（1－λ）b－a]·（λa－b）

＝－λa2－（1－λ）b2＝－λ－4（1－λ）＝3λ－4＝－2，

∴λ＝.

3．A　解析：

∵·＝||||cos（π－B）

＝2·||（－cosB）＝1，

∴cosB＝.

又∵cosB＝

＝

＝，

∴||2＝3.

∴BC＝||＝.

4．北偏西30°　解析：

如图，渡船速度为，水流速度为，船实际垂直过江的速度为，依题意知，||＝12.5，||＝25，由于四边形OADB为平行四边形，

则||＝||，又OD⊥BD，

∴在Rt△OBD中，∠BOD＝30°，∴航向为北偏西30°.

5．①②④　解析：

①错，

|a·b|＝|a||b|·|cosθ|≤|a||b|.

②错．∵A，B，C共线，∴＝k.

∴∴λ1λ2＝1.

④错，∵|a＋b|2＝13，

∴|a|2＋|b|2＋2a·b＝13，

即a·b＝|a||b|·cosθ＝－6，

∴cosθ＝－.∴θ＝120°.

6．解：

（1）设c＝（x，y），由c∥a和|c|＝2可得

∴或

∴c＝（2,4）或c＝（－2，－4）．

（2）∵（a＋2b）⊥（2a－b），

∴（a＋2b）·（2a－b）＝0，

即2a2＋3a·b－2b2＝0.

∴2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，

∴2×5＋3a·b－2×＝0.

∴a·b＝－，

∴cosθ＝＝＝－1，

∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.

教师助手学生帮手家长朋友