第七章-缝隙流动.doc

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第7章缝隙流动

一、学习目的和任务

1．掌握求解平行平板间缝隙流动、同心圆环缝隙流动问题的方法，分析缝隙大小对流量泄漏和功率损失的影响。

2．掌握平行圆盘间缝隙流动的特性以及圆盘对缝隙的作用力的计算。

3．了解变间隙宽度缝隙流动。

二、重点、难点

重点：

平行平板间缝隙流动、平行圆盘间缝隙流动

难点：

平行圆盘间缝隙流动求解方法、偏心圆盘缝隙流动

在机械和液压装备中存在着充满油液的各种缝隙，如滑板与导轨间的缝隙、活塞与缸筒间的缝隙、轴与轴承间缝隙、齿轮泵中齿顶与泵壳之间的缝隙等。

这些缝隙流动对机械性能有很大的影响，特别是在液压传动中的影响更为显著。

液压泵、液动机、换向阀等液压元件处处存在着缝隙流动的问题。

缝隙过小则增大了摩擦，缝隙过大又会增加泄漏，所以缝隙大小的选择在液压元件设计中是一个重要问题。

本章主要介绍平行平板间的缝隙流、环形缝隙流、变间隙宽度中的流动、两平行圆盘间的缝隙流以及球面缝隙流。

由于缝隙一般很小，缝隙流动的雷诺数都不大，在大多数情况下缝隙流动可看作是层流。

7.1平行平板间的缝隙流

平行平板间流体运动微分方程导出方法有两种，一是由N－S方程简化而来，二是基于牛顿力学的动力平衡分析，并且因坐标系选择不同，得出速度分布方程也有所不同，但结论在本质上无差异。

7.1.1由N－S方程简化分析

图7-1平行平面缝隙流

平行平板间的缝隙流动是其他各种缝隙流动的基础，通常把流体两边的平面简化成水平放置的无限大平板。

如图7-1所示；设一平行平板缝隙流的平板长为L，宽为B，缝隙高度为h。

下面s首先应用N－S方程来讨论平行平板间流体运动，首先粘性力处于主导地位，故惯性力可不计，即；因缝隙甚小，质量力可不计；假定流动为一维流，即，。

在上述条件下，由N－S方程可得如下方程。

（7.1-1）

对于不可压缩流体，又，则，则上式进一步简化为

（7.1-2）

由式（7.1-2）知，压力p仅为x的函数，与y和z无关；即；另外对于平行平面，单位长度上的压力损失是相同的，或者说压力减小服从线性分布规律，即（其中）；再者，对于充分宽的平行平面，任意宽度坐标z处的流动状态都是相同的，即。

根据上式条件和式（7.1-2）等价为

（7.1-3）

7.1.2牛顿力学分析法

同样取坐标系如图7－1所示，在流体中任意取一边长为和的平行六面体微小系统，设六面体左右两个面的压强分别为和，上下两个面上形心点上的切应力分别为和，考虑到流体流动是定常、连续，不可压缩的，所以沿方向的力平衡方程为

（7.1-4）

化简后则有

（7.1-5）

y方向同样可以得到

（7.1-6）

由于只是y的函数，则上式中的，并且缝隙中重力的影响可以忽略不计，所以

（7.1-7）

可见在平面缝隙流动中，压强p只是x的函数，可以写成，即，切应力只是y的函数，可以写成，即式（7.1-5）可写成

（7.1-8）

缝隙流动一般都是层流，切应力与速度之间满足牛顿内摩擦定律，代入上式则有

（7.1-9）

这就是平板中层流运动的常微分方程，这和N-S方程推导出的式（7.1-3）一致。

对上式积分得

（7.1-10）

积分常数和由边界条件决定。

7.1.2.1在x方向压强作用下固定平板之间的缝隙流动

上下平面均固定不动，由于两端压力差的作用使流体在方向流动。

由边界条件，；，，可以得到积分常数

，

代入式（7.1-10）得到

（） （7.1-11）

这就是平行平板间的速度分布规律，在压强差的作用下，速度与之间是二次抛物线规律。

如图7-2所示，这种流动称为压差流，也称为伯肃叶流。

图7-2压差流

最大速度发生在两平行平面中线处，把代入式（7.1-11）得

（7.1-12）

缝隙宽度为B时，平行平面间的流量q为

（7.1-13）

缝隙断面上的平均流速为

（7.1-14）

比较式（7.1-14）和式（7.1-12）则有

（7.1-15）

切应力分布为

（7.1-16）

图7-3切应力

从上式可知，当在两平行平面中线处，即时，。

切应力分布图如7-3所示。

7.1.2.2零压强差情况下，上板均速运动带动得间隙流动

在压力差条件下，若下平面固定，上平面以速度在x向匀速运动，边界条件为，；，。

可定，；由于，则代入式（7.1-10）得

（） （7.1-17）

因平行平面间的相对运动产生的流动称剪切流，也称为库埃特（Couette）流（如图7-4）。

由式（7.1-17）可求剪切流条件下流量q

图7-4剪切流

（7.1-18）

切应力分布为

（7.1-19）

该情况下的切应力为常数。

图7-5压差－剪切流

7.1.2.3在压强差和上板运动共同作用下的间隙流动

如图7-5所示，压差流和剪切流的叠加称压差剪切流（或剪切压差流）。

其速度u和流量q可按线性叠加原理求出；式（7.1-11）和式（7.1-17）相加，确定速度u分布规律，进而求出流量q。

则压差剪切流的速度和流量方程为

（）（7.1-20）

（7.1-21）

其切应力为前两种流动切应力的叠加

（7.1-22）

在上式公式中，当压差流和剪切流的方向相同时用“＋”号，反则用“—”号。

例题

7.2环形缝隙流

环形缝隙可以分为同心环形缝隙和偏心环形缝隙两种，现分别介绍如下：

7.2.1同心环形缝隙流

图7-6同心圆环缝隙

如图7-6所示为同心环形缝隙，其在平面上展开以后也就是平行平板缝隙流的问题，只需将平行平板缝隙中的宽度B用环形长度来代替，即。

则流量公式为

（7.2-1）

但环形缝隙这一结论有很大局限性，其计算误差比较大，现根据同心环形缝隙流的基本方程重新导出结论。

在上图7-6中，取圆柱坐标系，引用圆柱坐标系中的N－S方程，在不计惯性力，质量力的条件下，假定液体不可压缩和x向一维流及轴流对称条件，可得环形缝隙中的流体运动微分方程（参看圆管层流内容）

（7.2-2）

因，积分上式则有

（7.2-2）

根据边界条件：

，；，可定

（7.2-3）

将和代入式（5.4-2），则有

（7.2-4）

则通过环形缝隙流的流量为

（7.2-5）

引入平均半径及间隙，并对作一阶线性近似，则有

（7.2-6）

式中——平均直径

对于圆管层流，，则有

（7.2-7）

通过以上分析及结论可以看出，如果以作为同心环形缝隙流的公式，比引用平行平面缝隙理论更准确，并且在理论上可将环形缝隙流与圆管层流统一起来。

例题

7.2.2偏心环形缝隙流

实际上，在机械和液压装置中，由于制造和安装等原因，更多碰到的是偏心环形缝隙。

因此研究偏心环形缝隙流更有实际意义。

图7-7偏心环形缝隙

偏心环形缝隙如图7-7所示，偏心距，取，图7-7偏心环形缝隙与x轴成角为，过O作，则间隙为

（7.2-8）

式中――同心时间隙，。

――偏心率。

再作OD使，取微弧长；根据式（5.5-6）知，单位弧长上的流量为：

（7.2-9）

再作OD使，取微弧长；则微弧长上的微流量为

（7.2-10）

则偏心环形缝隙流的流量为

（7.2-11）

式中——同心环形缝隙流量。

从上面可以看出，在压差的情况下，偏心环形缝隙流比同心环形缝隙流的流量大倍，相对偏心距越大，则偏心流量越大。

如果偏心距，则为同心流；当偏心距达到最大值时，流量最大，为

（7.2-12）

上式表明在同样情况下，偏心流最大流量为同心流的2.5倍。

7.3变间隙宽度中的流动

前面的内容介绍了间隙不变的缝隙流动，在实际中，很多原因都会造成间隙变化的流动，下面主要介绍倾斜平板间隙流动的情况。

图7-8倾斜平板间隙流动

如图7-8所示，两平板并不平行，而是倾斜成角，即它们之间的间隙成为楔形，即间隙h随着x而变化，平板间的油液在平板两端有压差或平板间有相对移动时，都会出现倾斜平板间隙的流动，这种情况在液压技术中很常见。

在实际问题中，倾斜角一般都比较小。

应用研究平行平板间缝隙流的方法同样可以得出

（7.3-1）

上式（7.3-1）中的不能写成，是因为在倾斜平板缝隙中沿流动方向的压强变化率不是常数，即不能用表示，这就是倾斜平板间隙流动和平行平板缝隙压差流速公式的区别。

若平板宽度为B，则流过平板的体积流量为

（7.3-2）

即

（7.3-3）

又，代入上式并整理得

（7.3-4）

积分上式得

（7.3-5）

代入积分常数，x＝0（）时，得

（7.3-6）

将C以及代入，得

（7.3-7）

这就是倾斜缝隙中的压强分布规律，表明了压强p与间隙h的关系呈抛物线分布。

如图7-8可见，当x＝L时，，，并有或代入上式得

（7.3-8）

由此可求得流量q

（7.3-9）

以上就是倾斜平板间隙流的基本公式。

7.4两平行圆盘间缝隙流

在实际工程中，经常能碰到两平行圆盘间缝隙的径向流动。

如端面推力轴承、柱塞泵转子与配油盘边缘的密封层等处的缝隙流。

因此很有必要讨论这种流动的一般特性。

7.4.1两圆盘固定的情况

如图7-9所示，流体从两平行圆盘的间隙沿径向向外流动，设圆盘内径和外径分别为和，内外压强分别为和，两平行圆盘间的距离为。

在任意半径处取一个微小宽度为的环形缝隙，展开可得长度为、宽度为、高度为得平行平板缝隙。

由前面介绍的平行平板缝隙流量公式（7.1-13）可得

（7.4-1）

图7-9平行圆盘缝隙

式中，上式可改写成

（7.4-2）

即

（7.4-3）

两边积分得

（7.4-4）

把代入上式，得

（7.4-5）

同理代入，得

（7.4-6）

式（7.4-5）减去式（7.4-6），得

（7.4-7）

压强差即为

（7.4-8）

上式就是圆盘内外的压强差公式。

由此就可以求出圆盘缝隙流的流量公式为

（7.4-9）

7.4.2上圆盘固定，下圆盘等角速度旋转的情况

图7-8旋转圆盘缝隙流

如图7-8所示，上圆盘固定，下圆盘以等角速度旋转，设上圆盘出流的压力为，圆盘出流口处的压力，上下圆盘的内径分别为和。

则流量、缝隙内径向压力分布p及作用于下圆盘的总压力P分别为

本章小结

1．平行平板间缝隙流动

速度分布：

（）

流量：

切应力：

当时，为剪切流，当时，为压差流。

2．环形缝隙流动：

速度分布：

流量：

3．倾斜平板间缝隙流动

压强分布：

流量：

4．平行圆盘缝隙流动：

压强公式：

流量：

思考与练习

7-1两固定平行平板，其间隙为0.01mm其中充满运动粘度为0.01cm2/s。

的水流。

若平板两端压降为一个大气压，试求通过的流量和平均速度。

已知平板宽度为5cm，长度为10cm。

7-2两平行平板，长cm，宽度cm，间隙cm。

若上平板以m/s的速度沿正向平移，压差bar，液体的动力粘度为，试求通过的液体流量。

7-3已知某工作油缸的活塞直径mm，长度cm，环行间隙mm。

当压差为Pa时，测得得泄漏流量为。

其偏心值为何？

（油的动力粘度为）

题7-2图题7-3图题7-5图

7-4mm的活塞在N作用下下落，油液通过高mm，长mm的间隙从油缸中排出到周围的空间。

设活塞与油缸同心，试确定当活塞下降m时所需要的时间，油的动力粘度Paás

7-5轴向柱塞泵滑履与斜盘间隙mm,mm,mm。

工程大气压，工业大气压，油的动力粘度Paás，若不计进口起始段影响，试确定斜盘与滑履间隙的流量和压强分布。

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