高等代数北大版课件3.3线性相关性.ppt

高等代数北大版课件3.3线性相关性.ppt

《高等代数北大版课件3.3线性相关性.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等代数北大版课件3.3线性相关性.ppt（32页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

一、线性组合,二、向量组的等价,3.3线性相关性,三、线性相关性,四、极大无关组,设,一、线性组合,定义,和,称为向量组的一个线性组合.,若向量可表成向量组的一个线性组,合，则称向量可由向量组线性表出.,注：

1）若，也称向量与成比例.,2）零向量0可由任一向量组的线性表出.,3）一向量组中每一向量都可由该向量组线性表出.,4）任一维向量都是向量组,也称为n维单位向量组,的一个线性组合,事实上，有对任意皆有,若能，写出它的一个线性组合,解：

设，即有方程组,

（1）,例1判断向量能否由向量组线性表出.,对方程组

（1）的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵,所以方程组

（1）有解它的一般解为,得

（1）的一个解，,令,从而有,1、定义,二、向量组的等价,向量组等价.,若向量组中每一个向量,若两个向量组可以互相线性表出，则称这两个,可以经向量组线性表出；,向量组之间的等价关系具有：

1）反身性,2）对称性,3）传递性,2、性质,三、线性相关性,1、线性相关,注：

特殊情形,2）任意一个含零向量的向量组必线性相关.,定义1：

如果向量组中有一向量,称为线性相关的.,可经其余向量线性表出，则向量组,1）向量组线性相关成比例.,定义1：

向量组称为线性相关,如果存在P上不全为零的数,线性相关的,使,在时，定义1与定义1是等价的.,注：

例2判断下列向量组是否线性相关.,定义2：

若向量组不线性相关，则称,若不存在P中不全为零的数，使,向量组为线性无关的.,2、线性无关,即,则称向量组为线性无关的.,必有,换句话说，,则称向量组为线性无关的.,1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量；,3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一,单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量.,个向量可由其余向量线性表出.,3、线性相关性的有关性质,2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量,组一定线性相关.,线性表出.（习题3）,都线性无关.,4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向,量组也线性相关；,一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组,线性无关的充要条件是齐次线性方程组,只有零解；,的充要条件是齐次线性方程组

（2）有非零解.,6）向量组,

（2）,特别地，对于n个n维向量,行列式,行列式,线性无关.,线性相关；,的缩短组.,7）若向量组,线性无关，则向量组,也线性无关.,的延伸组；,注：

8）向量组线性相关的基本性质定理,定理2设与为两个,i）向量组可经线性表出；,则向量组必线性相关.,ii）,向量组，若,要证线性相关，即证有不全为零的数,使,证：

由i），有,作线性组合,中，方程的个数s未知量的个数r，,所以（3）有非零解.,则也使,推论2任意n1个n维向量必线性相关.,推论3两个线性无关的等价向量组必含相同个数,的向量.,（任意个n维向量必线性相关.）,例2判断向量组,是否线性无关？

若线性相关，求一组非零数,使,解：

设,即有方程组,解之得,为任意数,所以线性相关.,令,则有,使,设,即,解之得,证：

1、极大线性无关组,极大线性无关组，简称极大无关组.,定义,线性表出；,四、极大线性无关组秩,1）一个向量组的极大无关组不是唯一的.,注,3）一个线性无关的向量组的极大无关组是其自身.,4）一个向量组的任意两个极大无关组都等价.,5）一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量.,2）向量组和它的任一极大无关组等价.,（根据定理2的推论1即得）,定义向量组的极大无关组所含向量个数称为这个,性质：

一个向量组线性相关的充要条件是,它的秩与它所含向量个数相同；,它的秩它所含向量个数.,向量组的秩.,2、向量组的秩,1）一个向量组线性无关的充要条件是,2）等价向量组必有相同的秩.,（习题10）,例4设,1）证明：

线性无关.,2）把扩充成一个极大无关组.,1）证：

由于不成比例，,2）解：

线性无关.,由,即,线性相关.,即可经线性表出.,由,解得,线性无关.,即不能由线性表出.,即,知，,再由行列式,存在不全为零的数使,线性相关.,故即为由扩充的一个极大无关组.,例5求向量组,的极大无关组.,解：

作矩阵,对矩阵A作初等行变换化阶梯形,由矩阵B知线性无关且为极大无关组.,附,求向量组的极大无关组的一般步骤：

则就是一个极大无关组.,第一步：

作矩阵,或,为列向量时,为行向量时,第二步：

用初等行变换化矩阵A为阶梯阵J.,若J中有r个非零行，则秩,设J中第i个非零行第一个非零元所在列标号为,