高等代数北大版课件5.4正定二次型.ppt

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第五章二次型,5.1二次型的矩阵表示,5.2标准形,5.3唯一性,5.4正定二次型,章小结与习题,5.4正定二次型,一、正定二次型,二、正定矩阵,三、n元实二次型的分类,5.4正定二次型,四、小结,5.4正定二次型,、正定二次型,则称f为正定二次型.,5.4正定二次型,2、正定性的判定,1）实二次型正定,2）设实二次型,f正定,证：

充分性显然.下证必要性，若f正定，取,则,5.4正定二次型,经过非退化线性替换XCY化成,则，,3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.,任取一组不全为零的数令,证明：

设正定二次型,5.4正定二次型,所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性.,同理，若正定，则正定.,5.4正定二次型,秩n（的正惯性指数）.,变成标准形,由2）,正定,即，的正惯性指数pn秩.,5.4正定二次型,规范形为,5）正定二次型的标准形为,5.4正定二次型,二、正定矩阵,1、定义设A为实对称矩阵，若二次型,正定二次型的规范形为,是正定的，则称A为正定矩阵.,2、正定矩阵的判定,2）实对称矩阵A正定,1）实对称矩阵A正定A与单位矩阵E合同.,A与E合同,即存在可逆矩阵C，使,可见，正定矩阵是可逆矩阵.,存在可逆矩阵C，使,5.4正定二次型,3）实对称矩阵A正定A与任一正对角矩阵合同.,即，D与E合同.,为任一正对角矩阵，则,若,5.4正定二次型,例1、设A为n阶正定矩阵，证明,（5）若B亦是正定矩阵，则AB也是正定矩阵；,

（2）是正定矩阵；,

（1）是正定矩阵；,（3）是正定矩阵；,（4）是正定矩阵（m为任意整数）；,5.4正定二次型,证：

（1）由于A正定，则存在可逆矩阵P，使,于是有，,故，正定.,

（2）由于A正定，对都有,因此有,令,故，正定.,即，与单位矩阵E合同.,则Q可逆，且,5.4正定二次型,，由

（1）

（2）即得正定.,当m2k时，,即，与单位矩阵E合同，所以正定.,（4）由于A正定，知为n阶可逆对称矩阵，,5.4正定二次型,（5）由于A、B正定，对都有,因此有,故，AB正定.,当m2k1时，,即，与正定矩阵A合同，而A与单位矩阵E合同，,所以与E合同，即正定.,5.4正定二次型,3、正定矩阵的必要条件,1）实对称矩阵正定,取,正定.,证：

若A正定，则二次型,则,5.4正定二次型,反之不然.即，为对称矩阵，且,但A未必正定.如,所以A不是正定的.,注意,当时，有,5.4正定二次型,2）实对称矩阵A正定,但不是正定二次型.,如,注意,证：

若A正定，则存在可逆矩阵C，使,从而,反之不然.即实对称矩阵A，且A未必正定.,5.4正定二次型,4、顺序主子式、主子式、,称为A为第k阶顺序主子矩阵;,设矩阵,称为A的第k阶顺序主子式.,5.4正定二次型,3）k级行列式,称为A的一个k阶主子式.,即行指标与列指标相同的k阶子式,5.4正定二次型,5、（定理6）,A的顺序主子式Pk全大于零.,证:

必要性.设正定，对每一个k,令,5.4正定二次型,是正定的，从而正定.,对任意一不全为零的数有,充分性：

对n作数学归纳法.,n1时，正定.结论成立.,假设对于n1元二次型结论成立，下证n元的情形.,5.4正定二次型,又A的顺序主子式全大于零，所以A1的顺序主子式,由归纳假设，A1正定，即存在可逆矩阵G，使,令,则,也全大于零.,设,5.4正定二次型,则,令,再令,则,5.4正定二次型,由判定充要条件3）.知A正定，所以正定.,再令,则有,两边取行列式，得,又0，,即为正对角矩阵.,5.4正定二次型,例2、判定下面二次型是否正定.,其顺序主子式,正定.,解：

的矩阵,5.4正定二次型,解：

的矩阵,A的第k阶顺序主子式Pk,（习题7）,5.4正定二次型,正定.,5.4正定二次型,例3、证明：

若实对称矩阵A正定，则A的任意一个,k阶主子式,证：

作二次型,（习题9）,5.4正定二次型,其中，,对任意一不全为零的数,有,从而，,由于A正定，有正定，即有,行列式大于零，即,即，是正定二次型，因此其矩阵的,5.4正定二次型,三、n元实二次型的分类,设n元二次型,，则称为半正定二次型.,，则称为半负定二次型.,则称为负定二次型.,既不是半正定，也不是半负定，则称为,1定义,不定二次型.,5.4正定二次型,注：

正定矩阵负定矩阵半正定矩阵半负定矩阵不定矩阵,相应于二次型的分类，n级实对称矩阵可分类为：

5.4正定二次型,1）实二次型正定,负定；,实对称矩阵A正定A负定.,半负定；,2）实二次型半正定,实对称矩阵A半正定A半负定.,2、判定,5.4正定二次型,3）定理7,半正定；,（或A半正定；）,秩=秩（A）=（正惯性指数）；,A合同于非负对角阵，即存在可逆阵C，使,则下列有条件等价：

存在，使,A的所有主子式皆大于或等于零.（补充题9）,由此可得，A半正定,（习题14）,设n元实二次型,5.4正定二次型,四、小结,1、正定（负定、半正定、半负定、不定）二次型；,基本概念,2、顺序主子式、主子式,正定（负定、半正定、半负定、不定）矩阵；,基本结论,1、非退化线性替换保持实二次型的正定（负定、,半正定、半负定、不定）性不变.,5.4正定二次型,负定（半负定）.,2、实二次型正定（半正定）,3、实二次型f（x1,x2,xn）XAX正定,A与E合同，即存在可逆阵C，使ACC.,f的正惯性指数p等于n,A的各级顺序主子式全大于零.,实对称矩阵A半正定,4、实对称矩阵A正定,5.4正定二次型,存在，使,5、实二次型f（x1,x2,xn）XAX半正定,A与非负对角阵合同，即存在可逆矩阵C，使,秩f=秩（A）=p（正惯性指数）,A的所有主子式全大于或等于零.,