二次函数与实际问题Word版.docx
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二次函数与实际问题Word版
实际问题与二次函数
一、利用函数求图形面积的最值问题
一、围成图形面积的最值
1、
只围二边的矩形的面积最值问题
例1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。
（1）设矩形的一边长为米），面积为y（平方米），求y关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？
最大面积是多少？
解：
（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18-x）（米），
根据题意，得：
；
又∵
（2）∵
中，a=-1＜0，∴y有最大值，
即当
时，
故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。
2、只围三边的矩形的面积最值
例2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。
问如何围，才能使养鸡场的面积最大？
解：
设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（
）（米），
根据题意，得：
；
又∵
∵
中，a=
＜0，∴y有最大值，
即当
时，
故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为
平方米。
3、围成正方形的面积最值
例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?
若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
（1）解：
设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm
由题意得：
解得：
当
时，20-x=4；当
时，20-x=16
答：
这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。
（2）不能
理由是：
设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为
cm，围成两个正方形的面积为ycm2，
根据题意，得：
，
∵
中，a=2＞0，∴y有最小值，
即当
时，
=12.5＞12,故两个正方形面积的和不可能是12cm2.
练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）正方形EFGH有没有最大面积？
若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.
答
（1）y=2x2-2ax+a2
（2）有.当点E是AB的中点时，面积最大.
二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题
例题1如图
（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图
（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是
.
.
练习1某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图
（1）所示.图
（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是
.请回答下列问题：
（1）柱子OA的高度是多少米？
（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？
答
（1）
（2）
（3）
2．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.
（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.
①求抛物线的解析式；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?
（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.
①求圆的半径；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过
多少米?
答
（1）①
；②10；
（2）①14.5；②
．
三、利用抛物线解决最大利润问题
例题1某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看做一次函数：
y＝－10x＋500.
（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（6分）
（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（3分）
（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？
（成本＝进价×销售量）（3分）
答案：
（1）35；
（2）30或40；（3）3600.
练习1．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．
（1）平均每天的销售量y（只）与销售价x（元／只）之间的函数关系式为；
（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售只x（元／只）之间的函数关系式；
（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？
最大利润是多少元
答
（1）y=-3x+240；
（2）w=-3x2+360x-9600；（3）定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.
2，一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：
.设这种产品每天的销售利润为w元.
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？
最大利润是多少元？
答
（1）
；
（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元
3．某公司营销
两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：
销售
种产品所获利润
（万元）与所售产品
（吨）之间存在二次函数关系
.当
时，
；当
时，
．
信息2：
销售
种产品所获利润
（万元）与所售产品
（吨）之间存在正比例函数关系
．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求二次函数解析式；
（2）该公司准备购进
两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售
两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
答二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x；
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，
则W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，∵-0.1＜0，
∴当m=6时，W有最大值6.6，
∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．
4．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：
由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量
（件）与销售单价
（元）之间的关系近似满足一次函数：
．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为
（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
答
（1）政府这个月为他承担的总差价为600元；
（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000；（3）销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
5．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：
以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个.设销售价为x元/个.
（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为个（用含x的式子表示）；
（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；
（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？
最大利润是多少元？
答
（1）（220－10x）；
（2）
（３）当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元．
6．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：
x
3000
3200
3500
4000
y
100
96
90
80
（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.
（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x（x≥3000）的代数式填表:
租出的车辆数
未租出的车辆数
租出每辆车的月收益
所有未租出的车辆每月的维护费
（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？
请求出公司的最大月收益是多少元．
．解：
（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，设其解析式为
，
将（3000，100），（3200，96）代入得
，解得：
。
∴
。
将（3500，90），（4000，80）代入检验，适合。
∴y与x间的函数关系是
。
（2）填表如下：
租出的车辆数
未租出的车辆数
租出每辆车的月收益
所有未租出的车辆每月的维护费
（3）设租赁公司获得的月收益为W元，依题意可得：
当x=4050时，Wmax=307050，
∴当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元
4，二次函数与几何图形
类型1 二次函数与相似三角形的存在性问题
1．（2017·襄阳）边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F.当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？
（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，
N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）过点E作EG⊥x轴于G点。
抛物线的解析式为y=13（x−2）2+23；
（2）：
t=1或t=52时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；
（3）存在，
四边形MDEN是平行四边形时,M1（2,1）,N1（4,2）；
四边形MNDE是平行四边形时,M2（2,3）,N2（0,2）；
四边形NDME是平行四边形时,M3（2,13）,N3（2,23）.
类型2 二次函数与平行四边形的存在性问题
2．（2018·曲靖）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴分别交于A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，D是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）F是抛物线对称轴上一点，且tan∠AFE＝
，求点O到直线AF的距离；
（3）点P是x轴上的一个动点，过P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形？
若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
解
（1）抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
（2）点O到AF的距离为65√5.
（3）存在，符合条件的点P有三个，即：
P1（-22√，0），P2（22√，0），P3（-2，0）.
类型3 二次函数与直角三角形的存在性问题
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx＋n（k≠0）经过B、C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC＝5.
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解
（1）抛物线解析式为y=34x2−154x+3；
（2）存在。
P1（52,193）,P2（52,−2）,P3（52,3+26√2）,P4（52,3−26√2）.
类型4 二次函数与等腰三角形的存在性问题
4．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）交于x轴于A（－1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积；
（3）连接AC，在x轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形；若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解
（1）y=−25x2+85x+2；
（2）S△BCM=SOBMN−S△OBC−S△MNC=12（2+5）×185−12×5×2−12×（185−2）×2=6；
（3）存在P1、P2、P3、P4四个点,它们的坐标分别是P1（−1−5√,0）、P2（5√−1,0）、P3（32,0）、P4（1,0）.
类型5 二次函数与图形面积问题
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于点A（－2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动．其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．当△PBQ存在时，求运动多少秒使△
PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2，求K点坐标．
解
（1）抛物线的解析式为：
y=38x2−34x−3;
（2）运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是910；
（3）K1（1,−278）,K2（3,−158）.
类型6二次函数与最值问题
6．如图，顶点为A的抛物线y＝a（x＋2）2－4交x轴于点B（1，0），连接AB，过原点O作射线OM∥AB，过点A作AD∥x轴交OM于点D，点C为抛物线与x轴的另一个交点，连接CD.
（1）求抛物线的解析式（关系式）；
（2）求点A，B所在的直线的解析式（关系式）；
（3）若动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线OM运动，设点P运动的时间为t秒，问：
当t为何值时，四边形ABOP分别为平行四边形？
解
（1）y=49x2+169x−209.
（2）y=43x−43.
（3）（3）当t=195时，四边形ABOP为等腰梯形。
类型7 二次函数与根的判别式问题
7．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM、BM.
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（2）把抛物线与直线y＝x的交点称为抛物线的不动点．若将
（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点？
解
（1）抛物线解析式为y=x2-1；
（2）略
（3）当m<
时，平移后的抛物线总有两个不动点．
类型8 二次函数与圆
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，－2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y＝ax2＋c（a≠0）与x轴分别交于C、D两点，且CD＝4.点P为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE＝2，求点P的坐标；
（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．
解
（1）抛物线得解析式为y=14x2−1.
（2）P的坐标为（−22√,1）或（22√,1）或（0,−1）.
（3）直线l与圆P相切。
（注：
可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!
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