学年江苏省常州市八年级上期末数学试卷.doc
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2016-2017学年江苏省常州市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题
1．（2分）4的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．16
2．（2分）在平面直角坐标系中，点（1，﹣2）关于x轴的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2分）下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（ ）
A．刘徽 B．赵爽 C．祖冲之 D．秦九韶
4．（2分）如果一次函数y=（a﹣1）x+b的图象如图所示，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0
5．（2分）下列说法正确的是（ ）
A．两个等边三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等
6．（2分）如图，数轴上点A表示的数是0，点B表示的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC=1，以A为圆心，AC的长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为（ ）
A．1.4 B． C． D．2
7．（2分）如图，直线y=﹣x+c与直线y=ax+b的交点坐标为（3，﹣1），关于x的不等式﹣x+c≥ax+b的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x≥3 D．x≤3
8．（2分）两个圆柱形薄玻璃杯（杯身、杯底厚度不计），大杯直径是小杯直径的2倍，把小杯放入大杯中组合成一个容器，其主视图如图所示，现往小杯口中匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映该容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）比较大小：
﹣ ﹣1.5．
10．（2分）若正比例函数的图象过点A（1，2），则该正比例函数的表达式为 ．
11．（2分）如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端1.5m，则梯子的顶端与地面的距离为 m．
12．（2分）等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为 ．
13．（2分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，AD=CD，若∠ACD=40°，则∠B= °．
14．（2分）如图，已知∠ACD=∠BCE，AC=DC，如果要得到△ACB≌△DCE，那么还需要添加的条件是 ．（填写一个即可，不得添加辅助线和字母）
15．（2分）已知点A（2a+3b，﹣2）与点B（﹣8，3a+2b）关于坐标原点对称，则a+b= ．
16．（2分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（m，2），（2m﹣1，2），若直线y=2x+1与线段AB有公共点，则m的取值范围是 ．
三、解答题（17,18每题5分，19-24每题8分，25题10分，共68分）
17．（5分）计算：
﹣+（）2．
18．（5分）已知1+（x﹣1）3=﹣7，求x的值．
19．（8分）如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．
（1）求证：
△ABD≌△ACE；
（2）若∠B=40°，AB=BE，求∠DAE的度数．
20．（8分）已知一次函数y=kx+b的图象经过点（﹣1，﹣5），且与正比例函数y=x的图象相交于点（2，a）．
（1）求a的值；
（2）求一次函数的表达式；
（3）求函数y=kx+b的图象、函数y=x的图象和x轴所围成的三角形的面积．
21．（8分）如图，△ABC中，AB=5，BC=6，边BC上的中线AD=4．
（1）AD与BC互相垂直吗？
为什么？
（2）求AC的长．
22．（8分）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点A（3，4）、C（4，2），则点B的坐标为 ；
（2）图中格点△ABC的面积为 ；
（3）判断格点△ABC的形状，并说明理由．
23．（8分）甲、乙两个仓库要向A，B两地调运小麦，已知甲库可以调出80吨，乙库可以调出40吨，A地需要小麦50吨，B地需要70吨．甲，乙两库运往A，B两地的费用如下表：
A地（元/吨）
B地（元/吨）
甲库
10
40
乙库
20
30
（1）设甲库运往A地x吨，求总运费y（单位：
元）与x之间的函数表达式；
（2）哪种方案总运费最省？
并求最省的运费．
24．（8分）如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的距离y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）①A，B两地的距离为 千米；②货车的速度是 千米/小时；
（2）求点E的坐标，并说明点E的实际意义．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点B从坐标原点O出发，沿x轴负半轴运动，以AB为边作等边三角形ABC（A，B，C按逆时针顺序排列），当点B在原点O时，记此时的等边三角形为△AOC1．
（1）求点C1的坐标；
（2）连接CC1，求证：
△AOB≌△AC1C；
（3）求动点C所在图象的函数表达式．
2016-2017学年江苏省常州市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）（2017•路北区二模）4的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．16
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：
∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
故选：
C．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．（2分）（2016秋•常州期末）在平面直角坐标系中，点（1，﹣2）关于x轴的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用平面内两点关于x轴对称时：
横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解．
【解答】解：
由题意，得
点（1，﹣2）关于x轴的对称点是（1，2），
故选；A．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．（2分）（2016秋•常州期末）下列数学家中，用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是（ ）
A．刘徽 B．赵爽 C．祖冲之 D．秦九韶
【分析】根据“弦图”判断即可．
【解答】解：
用如图所示的“弦图”证明了勾股定理的是数学家赵爽，
故选B．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，熟悉用“弦图”证明了勾股定理的是数学家赵爽是关键．
4．（2分）（2012•开平区一模）如果一次函数y=（a﹣1）x+b的图象如图所示，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0
【分析】根据一次函数y=kx+b（k≠0）的图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
【解答】解：
根据图象知，关于x的一次函数y=（a﹣1）x+b的图象经过第一、三、四象限，
又∵由k＞0时，直线必经过一、三象限，
∴a﹣1＞0，
即a＞1；
故选A．．
【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：
直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
5．（2分）（2016秋•常州期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个等边三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等
C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等
【分析】根据全等图形的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：
A、两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误；
B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误；
C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查的是全等图形，熟知全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．
6．（2分）（2016秋•常州期末）如图，数轴上点A表示的数是0，点B表示的数是1，BC⊥AB，垂足为B，且BC=1，以A为圆心，AC的长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为（ ）
A．1.4 B． C． D．2
【分析】首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AD=AC，即可得出答案．
【解答】解：
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴AC==，
∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点D，
∴AD=AC=，
∴点D表示的数是；
故选：
B．
【点评】此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出AC的长．
7．（2分）（2016秋•常州期末）如图，直线y=﹣x+c与直线y=ax+b的交点坐标为（3，﹣1），关于x的不等式﹣x+c≥ax+b的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x≥3 D．x≤3
【分析】观察函数图象，写出直线y=﹣x+c在直线y=ax+b上方所对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：
当x≤3时，﹣x+c≥ax+b，
即x的不等式﹣x+c≥ax+b的解集为x≤3．
故选D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：
一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8．（2分）（2016秋•常州期末）两个圆柱形薄玻璃杯（杯身、杯底厚度不计），大杯直径是小杯直径的2倍，把小杯放入大杯中组合成一个容器，其主视图如图所示，现往小杯口中匀速注水，注水过程中杯子始终竖直放置，则下列能反映该容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象．
【解答】解：
一注水管向小玻璃杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向大桶内流，这时水位高度不变，
因为杯子和桶底面半径比是1：
2，则底面积的比为1：
4，在高度相同情况下体积比为1：
4，杯子内水的体积与杯子外水的体积比是1：
3，所以高度不变时，杯外注水时间是杯内注水时间的3倍，当桶水面高度与小杯一样后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比开始慢．
故选：
C．
【点评】此题主要考查了函数图象，关键是问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）（2016秋•常州期末）比较大小：
﹣ ＜ ﹣1.5．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：
=3，（﹣1.5）2=2.25，
∵3＞2.25，
∴﹣＜﹣1.5．
故答案为：
＜．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小，两个负数平方大的反而小．
10．（2分）（2016秋•常州期末）若正比例函数的图象过点A（1，2），则该正比例函数的表达式为 y=2x ．
【分析】设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），然后把A点坐标代入求出k即可．
【解答】解：
设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），
把A（1，2）代入得2=k，解得k=2，
所以正比例函数解析式为y=2x．
故答案为：
y=2x．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式：
此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
11．（2分）（2016秋•常州期末）如图，长2.5m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙的底端1.5m，则梯子的顶端与地面的距离为 2 m．
【分析】直接根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：
∵AC=2.5m，BC=1.5m，
AB===2（m）．
故答案为：
2．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解答此题的关键．
12．（2分）（2013•崇左）等腰三角形的两边长分别是3和7，则其周长为 17 ．
【分析】因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：
分两种情况：
当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；
当3为腰时，其它两边为3和7，3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，
所以等腰三角形的周长为17．
故答案为：
17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
13．（2分）（2016秋•常州期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，AD=CD，若∠ACD=40°，则∠B= 70 °．
【分析】先在△ADC中由AD=CD，根据等边对等角得出∠A=∠ACD=40°，然后在△ABC中由AB=AC，根据等边对等角的性质以及三角形内角和定理得出∠B=∠C=（180°﹣∠A）=70°．
【解答】解：
∵AD=CD，∠ACD=40°，
∴∠A=∠ACD=40°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=（180°﹣∠A）=70°．
故答案为70．
【点评】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质以及三角形内角和定理，求出∠A的度数是解题的关键．
14．（2分）（2016秋•常州期末）如图，已知∠ACD=∠BCE，AC=DC，如果要得到△ACB≌△DCE，那么还需要添加的条件是 ∠A=∠D ．（填写一个即可，不得添加辅助线和字母）
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是∠B=∠E或BC=EC，根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】解：
∠A=∠D，
理由是：
∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCB=∠BCE+∠DCB，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ACB和△DCE中
∴△ACB≌△DCE（ASA），
故答案为：
∠A=∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，能求出全等的三个条件是解此题的关键，注意：
全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
15．（2分）（2016秋•常州期末）已知点A（2a+3b，﹣2）与点B（﹣8，3a+2b）关于坐标原点对称，则a+b= 2 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于a，b的等式进而求出答案．
【解答】解：
∵点A（2a+3b，﹣2）与点B（﹣8，3a+2b）关于坐标原点对称，
∴，
故5a+5b=10，
则a+b=2．
故答案为：
2．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
16．（2分）（2016秋•常州期末）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（m，2），（2m﹣1，2），若直线y=2x+1与线段AB有公共点，则m的取值范围是 ≤m≤ ．
【分析】将y=2代入y=2x+1求出x值，由直线y=2x+1与线段AB有公共点即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：
当y=2x+1=2时，x=，
∵直线y=2x+1与线段AB有公共点，
∴或，
解得：
无解或≤m≤．
故答案为：
≤m≤．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题以及一次函数图象上点的坐标特征，根据直线y=2x+1与线段AB有公共点找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
三、解答题（17,18每题5分，19-24每题8分，25题10分，共68分）
17．（5分）（2016秋•常州期末）计算：
﹣+（）2．
【分析】原式第一项利用二次根式性质计算，第二项利用立方根定义计算，最后一项利用平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：
原式=2﹣（﹣2）+3=2+2+3=7．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（5分）（2016秋•常州期末）已知1+（x﹣1）3=﹣7，求x的值．
【分析】移项、合并后根据立方根的定义得出关于x的一元一次方程，解之可得．
【解答】解：
∵（x﹣1）3=﹣8，
∴x﹣1=﹣2，
解得：
x=﹣1．
【点评】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
19．（8分）（2016秋•常州期末）如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．
（1）求证：
△ABD≌△ACE；
（2）若∠B=40°，AB=BE，求∠DAE的度数．
【分析】
（1）根据SAS即可证明．
（2）由AB=BE，推出∠BAE=∠BEA，由∠B=40°，推出∠BAE=∠BEA=70°，由△ABD≌△ACE，推出AD=AE，推出∠ADE=∠AED=70°，推出∠DAE=180°﹣70°﹣70°=40°．
【解答】
（1）证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE．
（2）解：
∵AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA，
∵∠B=40°，
∴∠BAE=∠BEA=70°，
∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=70°，
∴∠DAE=180°﹣70°﹣70°=40°．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于基础题，中考常考题型．
20．（8分）（2016秋•常州期末）已知一次函数y=kx+b的图象经过点（﹣1，﹣5），且与正比例函数y=x的图象相交于点（2，a）．
（1）求a的值；
（2）求一次函数的表达式；
（3）求函数y=kx+b的图象、函数y=x的图象和x轴所围成的三角形的面积．
【分析】
（1）将x=2代入正比例函数解析式中求出y值，此时的y值即为a；
（2）根据点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（3）分别找出两函数图象与x轴的交点坐标，结合两函数图象的交点坐标利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：
（1）∵点（2，a）在正比例函数y=x的图象上，
∴a=×2=1．
（2）将（﹣1，﹣5）、（2，1）代入y=kx+b中，
，解得：
，
∴一次函数的表达式为y=2x﹣3．
（3）设两函数的交点为A，一次函数y=2x﹣3与x轴的交点为B，如图所示．
正比例函数y=x与x轴交于原点O，
两函数图象的交点为A（2，1），
一次函数y=2x﹣3与x轴交于点B（，0）．
∴S△AOB=OB•yA=××1=．
∴函数y=kx+b的图象、函数y=x的图象和x轴所围成的三角形的面积为．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：
（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出a值；
（2）根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数关系式；（3）找出围成的三角形的三个顶点坐标．
21．（8分）（2016秋•常州期末）如图，△ABC中，AB=5，BC=6，边BC上的中线AD=4．
（1）AD与BC互相垂直吗？
为什么？
（2）求AC的长．
【分析】
（1）根据中线的性质及勾股定理的逆定理即可求出∠ADC的度数，判定AD与BC互相垂直；
（2）利用勾股定理求得AC的长即可．
【解答】解：
（1）AD与BC互相垂直，．
∵AB=5，BC=6，BC边上的中线AD=4，
∴BD=3，
∵32+42=52，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴AD⊥BC．
（2）在直角△ADC中，
AC===5．
【点评】此题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的实际运用，掌握定理是解决问题的关键．
22．（8分）（2016秋•常州期末）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点A（3，4）、C（4，2），则点B的坐标为 （0，0） ；
（2）图中格点△ABC的面积为 5 ；
（3）判断格点△ABC的形状，并说明理由．
【分析】
（1）由已知点的坐标即可得出点B为坐标原点，即可得出结果；
（2）图中格点△ABC的面积=矩形的面积减去3个直角三角形的面积，即可得出结果；
（3）由勾股定理可得：
AB2=25，BC2=20，AC2=5，得出BC2+AC2=AB2，由勾股定理的逆定理即可得出结论．
【解答】
（1）解：
∵点A（3，4）、C（4，2），
∴点B的坐标为（0，0）；
故答案为：
（0，0）；
（2）解：
图中格点△ABC的面积=4×4﹣×4×2﹣×4×3﹣×2×1=5；
故答案为：
5；
（3）解：
格点△ABC是直角三角形．理由如下：
由勾股定理可得：
AB2=32+42=25，BC2=42+22=20，AC2=22+12=5，
∴BC2+AC2=20+5=25，AB2=25，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、坐标与图形性质；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
23．（8分）（2016秋•常州期末）甲、乙两个仓库要向A，B两地调运小麦，已知甲库可以调出80吨，乙库可以调出40吨，A地需要小麦50吨，B地需要70吨．甲，乙两库运往A，B两地的费用如下表：
A地（元/吨）
B地（元/吨）
甲库
10
40
乙库
20
30
（1）设甲库运往A地x吨，求总运费y（单位：
元）与x之间的函数表达式；
（2）哪种方案总运费最省？
并求最省的运费．
【分析】
（1）根据总运费=甲库运往A地需要的费用+甲库运往B地需要的费用+乙库运往A地需要的费用+乙库运往B地需要的费用，经过化简得出y与x的关系式；
（2）根据函数的性质求出运费最省的方案．
【解答】解：
（1）已知甲库运往A地x吨，
则从甲库运往B地（80﹣x）吨，由乙库运往A地（50﹣x）吨，运往B地（x﹣10）吨．
所以y=10x+40（80﹣x）+20（50﹣x）+30（x﹣10）=3900﹣20x；
（2）根据已知可知10≤x≤50，
∵k=﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=50时，总运费最省，为2900元；
【点评】本题考查了一次函数的应用，一次函数的性质的运用，一次函数的解析式的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
24．（8分）（2016秋•常州期末）如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的距离y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．
（1）①A，B两地的距离为 440 千米；②货车的速度是 40 千米/小时；
（2）求点E的坐标，并说明点E的实际意义．
【分析】
（1）利用A，B两地的距离为A，B
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