高中数学同步导学新课标立体几何初步专题三 空间点线面之间的位置关系答案解析.docx

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高中数学同步导学新课标立体几何初步专题三空间点线面之间的位置关系答案解析

学习目标

1．理解空间直线、平面位置关系的定义．

2．了解可以作为推理依据的公理和定理．

3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

本节内容在高考中常以几何体为载体，考查平面的基本性质、空间两直线的位置关系的判定及运用，特别是异面直线的概念、所成角的计算等．题型多以选择、填空的形式出现，有时也出现在解答题中，以此考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力．

知识点梳理

1．平面的基本性质

（1）公理1：

如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．它的作用是可用来证明点在平面内或__________________．

（2）公理2：

过____________上的三点，有且只有一个平面．

公理2的推论如下：

①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；

②经过两条相交直线，有且只有一个平面；

③经过两条平行直线，有且只有一个平面．

公理2及其推论的作用是可用来确定一个平面，或用来证明点、线共面．

（3）公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线．它的作用是可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线、三线共点等问题．

2．空间两条直线的位置关系

（1）位置关系的分类

（2）异面直线

①定义：

不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．

注：

异面直线定义中“不同在任何一个平面内的两条直线”是指“不可能找到一个平面能同时经过这两条直线”，也可以理解为“既不平行也不相交的两条直线”，但是不能理解为“分别在两个平面内的两条直线”．

②异面直线的画法：

画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交，也不共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性．

③异面直线所成的角：

已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．异面直线所成角的范围是____________．若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线__________，所以空间两条直线垂直分为相交垂直和__________．

3．平行公理

公理4：

平行于____________的两条直线互相平行（空间平行线的传递性）．它给出了判断空间两条直线平行的依据．

4．等角定理

等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角____________．

【自查自纠】

1．

（1）两点　直线在平面内　

（2）不在一条直线

（3）有且只有一条

2．

（1）一个公共点　没有公共点　没有公共点

（2）③

　互相垂直　异面垂直

3．同一条直线

4．相等或互补

基础自测

1　在下列命题中，不是公理的是（　　）

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

2　若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是（　　）

A．OB∥O1B1且方向相同

B．OB∥O1B1

C．OB与O1B1不平行

D．OB与O1B1不一定平行

解：

两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，如圆锥的母线与轴的夹角．故选D.

3　若点P∈α，Q∈α，R∈β，α∩β＝m，且R

m，PQ∩m＝M，过P，Q，R三点确定一个平面γ，则β∩γ是（　　）

A．直线QRB．直线PR

C．直线RMD．以上均不正确

解：

∵PQ∩m＝M，m⊂β，∴M∈β.

又M∈平面PQR，即M∈γ，故M是β与γ的公共点．又R∈β，R∈平面PQR，即R∈γ，

∴R是β与γ的公共点．∴β∩γ＝MR.故选C.

4　给出下列命题：

①空间四点共面，则其中必有三点共线；

②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；

③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；

④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．

其中正确命题的序号是____________．

解：

易知②③正确．故填②③.

5　在空间四边形ABCD中，已知E、F分别是AB、CD的中点，且EF＝5，又AD＝6，BC＝8，则AD与BC所成角的大小是____________．

类型一　基本概念与性质问题

例一　如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（　　）

A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

解：

由线面垂直关系知AC⊥SB.由线面平行判定知AB∥平面SCD.由图形对称性知C也正确．对于选项D，AB与SC所成的角为∠SCD，DC与SA所成的角为∠SAB＝90°，∴D错．故选D.

【评析】此题虽是小题，但对空间中的线与线和线与面的关系的考查却很深刻，除用常规的方法证明垂直与平行外，对运用线面角、异面直线所成角和二面角的定义证题的方法也要熟练掌握，否则此题若建系求解，就会造成“小题大作”，浪费时间．

变式　如图，已知正方体ABCDA′B′C′D′.

（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？

（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？

（3）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？

类型二　点共线、线共点问题

例二　如图，E，F，G，H分别是空间四边形内AB，BC，CD，DA上的点，且EH与FG交于点O.

求证：

B，D，O三点共线．

证明：

∵点E∈平面ABD，点H∈平面ABD，

∴EH⊂平面ABD.

∵EH∩FG＝O，

∴点O∈平面ABD.

同理可证点O∈平面BCD.

∴点O∈平面ABD∩平面BCD＝BD.

即B，D，O三点共线．

【评析】

（1）本题是一道经典的点共线问题，它体现了证明点共线的基本思路：

首先由其中的两个点B和D确定一条直线，然后证明点O也是直线BD上的点，也就是证明点O是两个平面的交线上的点．在证明点O也是直线BD上的点时，运用了公理1以及公理3，这种方法是证明点共线的通用方法．

（2）证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上，如变式2.

变式　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．

求证：

（1）EF∥D1C；

（2）CE，D1F，DA三线共点．

证明：

（1）连接A1B，则EF∥A1B，

A1B∥D1C.∴EF∥D1C.

类型三　共面问题

例三　如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊

AD，BE綊

FA，G、H分别为FA、FD的中点．

（1）证明：

四边形BCHG是平行四边形；

（2）C、D、F、E四点是否共面？

为什么？

解：

（1）证明：

∵GH是△AFD的中位线，

∴GH綊

AD.又BC綊

AD，∴GH綊BC，

∴四边形BCHG为平行四边形．

（2）C、D、F、E四点共面．

理由：

BE綊

AF，

【评析】点共面的证明方法和点共线的证明方法类似，即先由部分点或者线确定一个平面，再证明其余的点或者在该平面内，或者由另外一部分点确定另一个平面，再证明这两个平面是同一个平面．无论是点共线、线共点问题，还是共面问题，我们基本上是运用公理及其推论来进行演绎推理，其演绎推理的基本步骤是：

首先由部分点或者线确定一条直线或者一个平面，再运用公理或者推论，证明剩余的点、线也在这条直线或者这个平面内．

变式　下列如图所示的正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是____________．（填所有满足条件图形的序号）

解：

易知①③中PS∥QR，∴四点共面．在②中构造如图所示的含点P，S，R，Q的正六边形，易知四点共面．在④中，由点P，R，Q确定平面α，由图象观察知点S在平面α外，因此四点不共面．综上知，故填①②③.

类型四　异面直线问题

例四　如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°.

（1）求四棱锥的体积；

（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成的角的余弦值．

解：

（1）在四棱锥PABCD中，∵PO⊥平面ABCD，∴∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，且PO⊥OB.在Rt△AOB中，∵AB＝2，∴BO＝AB·sin30°＝1.在Rt△POB中，PO＝BO·tan60°＝

，∵底面菱形面积S＝2

，∴四棱锥PABCD的体积VPABCD＝

×2

×

＝2.

（2）取AB的中点F，连结EF，DF.∵E为PB中点，∴EF∥PA.∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）．在Rt△POA中，PA＝

，∴EF＝

.

∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为

.

【评析】探求常规的异面直线所成角的问题，首先要理清求角的基本步骤为“一作，二证，三求”，通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角，其中空间选点任意但要灵活，如常选择“端点，中点，等分点”，通过三角形的中位线平行于底边，长方体对面上的平行线进行平移等．这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题．

变式　已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成角的余弦值为（　　）

A.

B.

C.

D.

解：

设BC的中点为D，连接A1D，AD，易知θ＝∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角或其补角．

在△A1AB内，由A1在底面ABC上的射影为BC的中点，得Rt△A1AD

Rt△BAD，从而A1D＝BD＝

AB，所以A1B＝

AB，在△A1AB中，设AB长为a，则A1B＝

a.由余弦定理得：

cos∠A1AB＝

＝

.故选D.

名师点睛

1．公理1，2，3是进一步学习和研究立体几何的基石，也是解题中进行逻辑推理和演绎推理的基础，在这些公理基础之上，我们产生了直线和平面平行、垂直以及平面和平面平行、垂直的一些判定定理和性质定理，这些判定定理和性质定理是我们将立体几何转化为平面几何的桥梁，特别是公理2的三个推论，是实现立体问题平面化的重要工具．

2．判断两条直线为异面直线的方法有：

（1）定义法；

（2）反证法：

要证明两条直线是异面直线，只需证明它们既不相交，也不平行即可；（3）判定定理：

与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．

3．求两条异面直线所成角的步骤是：

先作图，再证明，后计算．作图，往往过其中一条直线上一点作另外一条直线的平行线，或过空间一特殊点分别作两条直线的平行线；证明，即证明作图中所产生的某个角是异面直线所成的角；计算，一般在一个三角形中求解，这往往需要运用正弦定理或余弦定理来解决，如果计算出来的角度是钝角，则需要转化为相应的锐角，因为异面直线所成角的范围是

.

4．证明“线共面”或者“点共面”问题时，运用同一法，可以先由部分直线或者点确定一个平面，再证明其余的直线或者其余的点也在这个平面内．

5．证明“点共线”问题时，可以将这些点看做是两个平面的交线上的点，只要证明这些点是两个平面的公共点，根据公理3就可以确定这些点都在同一条直线上，即点共线．

6．空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力．主要表现为识图、画图和对图形的想象能力．识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志，我们在解决立体几何问题时，要养成勤画图、准确画图的好习惯，从而为解题提供直观的模型，提高解题速度．

针对训练

1．若空间中三条直线a、b、c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（　　）

A．一定平行B．一定相交

C．一定是异面直线D．一定垂直

2．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（　　）

解：

A，B中PQ綊RS，D中直线PQ与RS相交（或RP∥SQ），即直线PQ与RS共面，均不满足条件；C中的直线PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，即直线PQ与RS是异面直线．故选C.

3．设a，b是异面直线，那么（　　）

A．必然存在惟一的一个平面同时平行于a，b

B．必然存在惟一的一个平面同时垂直于a，b

C．过a存在惟一的一个平面平行于b

D．过a存在惟一的一个平面垂直于b

解：

A错，可以存在无数个平面同时平行于a，b；B错，一定不存在平面和a，b同时垂直；D错，过a也不一定存在平面垂直于b.综上所述C正确．故选C.

4．直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

5．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列结论错误的是（　　）

A．A1C1∥平面ABCD

B．AC1⊥BD

C．AC1与CD成45°角

D．A1C1与B1C成60°角

解：

由A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面ABCD，知A1C1∥平面ABCD，A正确；由BD⊥平面ACC1A1知BD⊥AC1，B正确；由A1D∥B1C可知，∠DA1C1为A1C1与B1C所成的夹角，又∵△DA1C1为等边三角形，∴∠DA1C1＝60°.故选C.

6．过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作（　　）

A．1条　　　　　B．2条

C．3条　　　　　D．4条

解：

显然正方体的体对角线AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，将该正方体以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为坐标轴建立空间直角坐标系，则可以得到8个象限，其中在平面ABCD上方的四个象限内的每一个象限内均有一条与AC1相似的对角线与此三条棱成等角，即这样的直线l有4条．故选D.

7．已知a，b，c是直线，给出下列命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；

③若a∥b，b⊥c，则a⊥c；

④若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．

其中真命题是______________（写出所有正确命题的序号）．

8．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为____________．

解：

如图，连接D1A，D1E，可知∠D1AE为两异面直线所成的角或其补角，可求得AD1＝

，D1E＝

，AE＝

，据余弦定理易得：

cos∠D1AE＝

，故填

.

9．如图，设E，F，G，H，P，Q分别是正方体ABCDA1B1C1D1所在棱上的中点，求证：

E，F，G，H，P，Q共面．

证明：

连接A1C1，GQ，EH，∵E，F，G，Q分别是A1D1，D1C1，C1C，A1A的中点，∴EF∥A1C1∥QG.

同理FG∥EH.

设E，F，G，Q确定平面α，F，G，H，E确定平面β，

由于α与β都经过不共线的三点E，F，G，故α与β重合，

所以E，F，G，H，Q五点共面．

同理可证E，F，G，P，Q五点共面．

所以E，F，G，H，P，Q共面．

10．在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AA1＝2，AB＝3，AD＝a（a>0）．

（1）求异面直线B1C与BD1所成角的余弦值；

（2）当a为何值时，使B1C⊥BD1?

B（a，3，0），D1（0，0，2），B1（a，3，2），C（0，3，0），所以

＝（－a，－3，2），

＝（－a，0，－2）．

从而

cos〈

，

〉＝

＝

.

所以异面直线B1C与BD1所成角的余弦值为

（a>0）.

（2）由

（1）知，当a＝2时，B1C⊥BD1.

11．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB＝12，AD＝5，BC＝4

，DE＝4.现将△ADE，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合于点G，得到多面体CDEFG.

（1）求证：

平面DEG⊥平面CFG；

（2）求多面体CDEFG的体积．

解：

（1）证明：

由已知可得AE＝3，BF＝4，则折叠完后EG＝3，GF＝4，而EF＝5，所以可得EG⊥GF.

又因为CF⊥底面EGF，可得CF⊥EG，CF∩GF＝F，即EG⊥面CFG，EG⊂平面DEG，所以平面DEG⊥平面CFG.

（2）过G作GO垂直EF于点O，GO＝

＝

.

因为平面CDEF⊥平面EFG，得GO⊥平面CDEF，

所以所求体积为

S长方形DEFC·GO＝

×4×5×

＝16.

12.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.

（1）证明：

平面ADB⊥平面BDC；

（2）设E为BC的中点，求异面直线AE与DB所成角的余弦值．

设AB＝a，由已知得AC＝

a，AD＝

a，

BD＝

a，DC＝

a，∴EF＝

BD＝

a，

AF＝

＝

＝

a.

∴在Rt△AEF中，

AE＝

＝

＝

，

cos∠AEF＝

＝

＝

.