测量不确定度.doc
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测量误差与测量不确定度
一、测量误差
测量误差被定义为“测量结果与被测量真值之差”。
以公式表示为：
测量误差＝测量结果－真值。
测量结果是量的实验表现，通常只是对测量所得被测量值的近似或估计。
显然它是人们认识的结果，不仅与量值本身有关，而且与测量方法、计量器具或装置、测量环境以及测量人员等有关。
真值是量的定义的完整体现，是与量的定义完全一致的值。
它是通过完善的或完美无缺的测量，才能获得的值。
所以，真值反映了人们力求接近的理想目标或客观真理，本质上是不能确定的，实际上用的是约定真值，须以测量不确定度来表征其所处的范围。
因而作为测量结果与真值之差的测量误差，也是不能确定或确切获知的，它是一个定性概念。
随着科学技术水平和人们认识水平的提高，可以控制和尽量减小测量误差，但不可能完全消除。
从理论上和实践上研究测量误差，分析其来源、表现形式及性质，正确处理测量的数据，目的是设法抵偿和减少误差，使其处于允许范围之内，从而保证测量结果具有实用价值。
关于测量误差的来源，通常从被测对象、方法误差、装置或器具误差、环境误差以及人员误差等方面考虑分析；分析时要求既不遗漏，也不重复。
关于测量误差的表现形式及其性质，迄今依然存在着或可分为随机误差、系统误差以及疏失或粗大误差三类。
在实际测量中，某些误差的性质是难以判断的，有时在判断上认识不一。
随机误差在同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量。
测量误差中以不可预知方式变化的分量，是指相同条件下多次测量时误差的绝对值和符号变化不定的分量，它时大时小，时正时负，不可预定。
事实上，多次测量时的条件不可能绝对地完全相同，多种因素的起伏变化或微小差异综合在一起，共同影响而致使每个测得值的误差以不可预定的方式变化。
随机误差按其本质被定义为测得值与对同一被测量进行大量重复测量所得结果的平均值之差。
这里的重复测量，是在“重复性条件”下进行的。
所以就单个随机误差而言，它没有确定的规律；但就误差的整体而言，却服从一定的统计规律，故可用统计方法估计其界限或它对测量结果的影响。
随机误差大抵来源于影响量的变化，这种变化在时间上和空间上是不可预知的或随机的，它会引起被测量重复观测值的变化，故称之为“随机效应”。
由此造成的测量结果的随机误差，不能通过修正予以补偿，但因其期望值为零，故常常可以通过增加观测次数使之减少。
随机误差的统计规律性，可归纳为对称性、有界性和单峰性三条：
对称性是指绝对值相等而符号相反的误差。
出现的次数大致相等，也即测得值是以它们的算术平均值为中心而对称分布的。
由于所有误差的代数和趋近于零，故随机误差又具有抵偿性，这个统计特性是最为本质的；换言之，凡是具有抵偿性的误差，原则上均为可按随机误差处理。
有界性是指测得值误差的绝对值不会超过一定的界限，也即不会出现绝对值很大的误差。
单峰性是指绝对值小的误差比绝对值大的误差数目多，也即测得值是以它们的算术平均值为中心而相对集中地分布。
系统误差在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量。
测量误差中保持恒定的分量，是指相同条件下多次测量时误差的绝对值和符号保持固定不变的分量，它可以通过替代测量法、交换测量法或反向测量法等予以抵偿。
在相同误差中，有时会同时含有恒定不变和规律性变化的分量。
从对系统误差识别或掌握的程度来看，通常又分为已定和未定两种：
已定系统误差是指符号和绝对值已经确定的系统误差，又称为表面系统误差；未定系统误差是指符号或（和）绝对值尚未确定的系统误差，通常可以估计其界限。
系统误差按其本质被定义为：
对同一被测量进行大量重复测量所得结果的平均值，与被测量真值之差。
这里的重复测量，是在“重复性条件”下进行的。
系统误差及其原因，如同真值或随机误差一样，是不能完全认知的。
因而系统误差不能完全消除，但是经常可以减少或抵偿。
系统误差大抵来源于影响量，它对测量结果的影响若已识别并可定量表述，则称之为“系统效应”。
该效应的大小若与准确度相比是显著的，则可通过估计的修正值予以补偿。
另外，为了尽可能消除系统误差，计量器具经常地用计量标准或标准物质进行调整或校准；但是同时须考虑的是：
这些标准本身仍带着不确定度。
粗大误差
明显超出规定条件下预期的误差。
粗大误差明显歪曲了测量结果，它往往是由于粗心大意而错误读取示值（诸如读错、记错、算错），使用有缺陷的计量器具，计量器具使用不当，或过大的环境干扰（例如测量过程中受到突然冲击、振动、气流、温变）等原因所致，也称为疏失误差、寄生误差或粗差。
对含有粗差的异常值，应从测控数据中剔除。
在测量过程中，若发现有的测量条件不符合规定的要求，可将该测量数据从记录中划去，但须注明原因。
在测量完成后，为判断某个测得值是否异常，可利用粗差剔除准则，例如格拉布斯标准、狄克逊标准及3σ准则等。
所以，要估计的误差实际上只有系统误差和随机误差两类。
测量准确度
表示测量结果与被测量的（约定）真值之间的一致程度。
准确度是一个定性的概念，反映了测量结果中系统误差与随机误差的综合，即测量结果既不偏离真值，测得值之间又不分散的程度。
所谓定性的即性质上的或品质上的概念，意味着可以用准确度的高低表示测量的品质或测量的质量，即准确度高指其不确定度小，准确度低指其不确定度大。
特别应注意，不要用术语“精密度”来表示“准确度”，因为前者仅反映分散性，不能替代后者。
多次对同一量测量所得的分散性可能很小，但若测得值与真值都差同一个较大的值，则测量“正确度”显然不高，故测量准确度仍然是低下的。
测量重复性
在实际相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量时，其测量结果之间的一致性。
实际相同测量条件下是指下述所有的条件：
相同的测量程序；
相同的观测者；
在相同条件下使用相同的计量器具；
相同的地点；
在短时间内重复测量；
这些条件也可称为“重复性条件”。
测量重复性的完整称呼应当是“测量结果的重复性”，它可以用测量结果的分散性来定量地表示。
通俗的说，就是用在尽量相同的条件（程序、人员、装置、环境等）下和在尽量短的时间内（以致随时间变化可以忽略）所得测量结果的分散性，来表示测量结果的重复性。
计量器具的误差
基本误差
计量器具在标准条件下所具有的误差。
基本误差也称为固有误差。
它是在标准条件下工作的计量器具的误差，主要来源于计量器具自身的缺陷，诸如机械的、光学的或电气的性能不完善等固有的因素。
因此，在评价计量器具的性能时，比方在划分准确度等级时，主要以基本误差作为衡量的依据。
允许误差
技术标准、检定规程等对计量器具所规定的允许的误差极限值。
由于规定的是误差极限值，所以这里的允许误差实际上是最大允许误差，它可以用绝对误差或相对误差表示。
引用误差
计量器具的绝对误差与其特定值之比。
特定值一般称为引用值，它可以是计量器具的量程、标称范围的最高值或测量范围的上限值等等。
例如：
某台标称范围为0－150V的电压表，当在示值为100.0V处，用标准电压表校准所得到的实际值为99.4V，故该处的引用误差为：
而该处的相对误差则为：
当用测量范围的上限值作为引用值时，也可称之为满量程误差或满度误差，并在误差数字后附以FullScale的缩写符号F.S或FS。
例如：
某测力传感器的满量程误差为0.05%F.S等。
由相对误差的表达式可知：
对于示值的绝对误差δ在量程内大致相等的计量器具，当测量点靠近测量范围上限时，相对误差δR小，而靠近下限时δR大，即相对误差是随示值而变化的。
为了便于计算和划分准确度等级，有必要选择某一特定值为分母，从而引入了“引用误差”的概念，实际上它是实用而方便的相对误差。
例如：
压力表的准确度等级0.4级，通常表明其引用误差不会超过0.4%，即引用误差的极限值为0.4%，即当测量范围为0－10Mpa时，测量点X附近的示值允许误差为：
绝对允许误差δ≤10×0.4%
相对允许误差δR≤
从引用误差的观点看，X接近满量程10Mpa时，测量的准确度趋高，而远离满量程时趋低。
因此，以引用误差表示的计量器具，应尽量在其测量范围上限的邻近或者量程的75％以上使用。
即在选择这类计量器具时，应兼顾准确度等级及测量范围上限或量程。
五、【计量器具】的准确度
计量器具给出接近于被测量真值的示值的能力。
测量准确度是一个定性的概念，而这里的准确度是指计量器具给出准确示值的能力；换言之，可用它来定性地表示计量器具的品质或特性。
例如：
准确度为某级的压力表，准确度为某等的标准砝码，准确度等级为某一代号的称重传感器，等等。
准确度尽管是定性的概念，但具体来讲，还是可以定量表征的。
例如：
准确度为0.1级的压力表，其满量程误差为±0.1%FS，所以，计量器具的准确度往往用误差来表征，但误差和准确度属于不同的概念，两者之间不能划等号。
值得提醒的是，测量准确度是针对测量结果来说的，而这里的准确度是针对计量器具性能来说的。
六、【计量器具的】重复性和重复性误差
计量器具的重复性被定义为：
在规定的使用条件下，重复用相同的激励，计量器具给出非常相似相应的能力。
规定的使用条件是指下述所有的条件：
由观测者带来的变化减至最小；
在相同的地点；
在相同的工作条件下；
在短时间内重复；
计量器具的重复性，可以用计量器具示值的分散性来定量地表示。
值得强调的是，测量重复性是针对测量结果来说的，而计量器具的重复性是针对计量器具性能而言。
计量器具的重复性误差则是“计量器具的随机误差分量”。
重复性误差是指计量器具示值的随机误差，它可以用规定的使用条件下示值的分散性来定量地表示，即用计量器具的重复性表示。
显然，它是衡量计量器具性能的指标之一。
事实上，重复性误差与重复性的含义类似，只是定义的角度不同，习惯上叫法不一。
从误差的角度，对应于计量器具示值的系统误差，人们还定义了偏移误差。
值得强调的是，这里的重复性误差和偏移误差都是针对计量器具示值而言的，而测量重复性、测量误差及其系统误差或随机误差等，都是针对测量结果而言的，它们都可定量表示。
七、测量不确定度
表征被测量的真值所处量值范围的评定。
这里的评定指的是估计或估计值，这就是说，测量不确定度是一个估计值，用它来表征被测量真值所处的量值范围。
换言之，它表示测量结果附近的一个范围或区间，而被测量真值以一定的概率落于其中。
所以，它是对测量结果质量优劣的一种评定：
测量结果愈接近真值，其质量愈高，则测量不确定度愈小，反之，测量结果愈远离真值，其质量愈低，则测量不确定度愈大。
从计量学的观点看，一切测量结果不但要附有计量单位，而且还必须附有测量不确定度，才算是完整的测量报告，没有单位的数据不能表征被测量的大小，没有不确定度的测量结果不能判定测量技术的水平和测量结果的质量，从而失去或减弱测量结果的可比性。
“测量不确定度”是合理地表征被测量分散程度的一个参数。
它与误差紧密相连但却有区别：
测量误差定义为测量结果与其真值之差，这是一个理想化的概念，因它的真值常常不能确切地知道，假如知道它的修正值（或更精确的近似值），则可修正该测量结果，使其更接近真值。
测量不确定度是对影响产生误差的分散性的估计，即它是用以表示测量结果分散区间的量值，也就是描述未定误差特征的量值，是可以用估计方法求出的。
“不确定度”不是指具体的、确切的误差值，虽可估计出，但却不能用于修正量值。
注意：
一个量值用修正值修正后，可能会更靠近真值，但由于增加了运算环节，其不确定度不但不减小，有时反而会更大。
这主要还是因为我们不能确切知道真值为多少，仅对测量结果靠近真值程度或离开真值程度所作的估计而已。
先介绍几个名词的含义
标准不确定度：
用标准偏差表示的测量结果的不确定度，称为标准不确定度。
按照估计方法的不同，它可分为两类：
用统计方法计算者，称为A类标准不确定度，或称为标准不确定度的A类估算法；不同于A类的其它方法计算者，称为B类标准不确定度，或称为标准不确定度的B类估算法。
将标准不确定度区分为A类和B类的目的，只说明计算方法的不同，以便于研究，并非表明两种方法得到的分量在本质上存在差异，两种方法均基于概率分布。
合成标准不确定度：
根据其它一些量值的测量结果的标准不确定度求出被测结果的标准不确定度，它等于各项分量标准不确定度的平方和的正平方根，即通常所说的方和根。
扩展不确定度，又称总不确定度：
是指定义测量结果区间的有关量，即被测量的值以某一可能性（即置信水平）落入该区间中。
扩展不确定度一般是该区间的半宽，我们过去常说误差界限与此类似。
覆盖因子：
为获得控制不确定度，作为合成标准不确定度乘数的数字因子。
亦可以说，它是扩展不确定度与合成标准不确定度的比值，过去用3σ表示极限误差，其中的“3”有些类似于覆盖因子。
测量不确定度的来源可能有：
被测量的不完整的定义；
被测量定义复现的不理想；
取样被测样品不能代表定义的被测量；
没有充分了解环境条件对测量过程的影响，或环境条件的不完善；
模拟仪表读数时有人为的固定系统误差；
仪器分辨率或鉴别阈值；
赋予测量标准或标准物质的值；
根据外部来源获得并在数据简化计算中使用的常数及其它参数值；
测量方法和测量过程中引入的近似值及假设；
在相同条件下被测量重复观测值的变化。
未被认识的系统影响也会导致误差的出现。
标准偏差的计算
正态分布
用均值和方差所定义的钟形概率分布密度函数或曲线，称为正态分布。
其密度函数表达式为：
可简单等价表示为：
X－N（a,σ2）
式中：
a为无穷多个测得值的算术平均值，σ2和σ分别称为测得值或其误差的方差和标准偏差，指数函数exp（z）=e2，π≈3.1416和e≈2.7183为数学常数，X为随机变量，N表示正态分布。
A和σ2两个参数一经确定，正态密度函数也就确定了。
统计特征
【数学】期望【值】是指对同一量的无穷多测得值的算术平均。
方差是指无穷多个误差平方的算术评平均。
标准偏差σ为方差的正平方根。
随机变量X的期望、方差和标准偏差也常用下列数学符号表示为:
Ex＝a， Dx＝σ2，＋
对应误差，则有
，＋
（分布曲线图）
常用术语
如图所示：
称为置信水平，置信概率，置信度。
它表示随机变量或误差落在区间中的可能性。
α称为显著形水平，显著度；Ca称为置信因子，分位数、百分点临界值；Caσ称为置信限；称为置信区间。
正态分布置信因子
表2正态分布置信因子
d
P
Ca
0.5
0.5
0.6745
0.3173
0.6827
1
0.05
0.95
1.96
0.0455
0.9545
2
0.01
0.99
2.58
0.0027
0.9973
3
误差绝对值大于3σ的概率仅为0.0027≈0.3%，粗略地说，在1000个误差中，只有3个超过3σ。
100个误差中，只有0.3个（0.3≈0）超过3σ。
故测量次数不多的测量，其误差没有一个超过3σ是正常的。
如果有超过3σ的误差，则出现了异常。
由此，可建立粗大误差或异常值的剔除准则。
我国常常采用3σ作为正常的误差界限的依据，在国外也有用2σ的。
置信因子的重要作用在于：
当已知误差限时，用此限除以置信因子，可得到标准偏差；当已知标准偏差时，用此标准偏差乘以置信因子，可获得对应的误差限。
t分布或学生分布
贝赛尔公式
在实际相同的条件下，对某一稳定的是进行几次测量，值得X1，……，Xn。
可求得：
算术平均值：
残余误差：
，I=1,…..n
残余平方和：
自由度：
标准偏差（估计值）：
（此式称贝赛尔公式）
的标准偏差：
何谓自由度？
自由度是残余误差平方和中独立项的数目。
因为：
………..
可求得：
亦即，若已知，则通过上述条件可求得，故独立的残余误差只有n-1个。
请注意：
在n个测量值中，确定一个被测量值为，自由度为n-1。
在更广义的情况下，如果n个测量值用最小二乘法确定出m个不同的被测量值，则其自由度为n-m。
例：
对某量等精度测量5次得：
29.18,29.24,29.27,29.25,29.26，求平均值及标准偏差。
，0，0.03，0.01，0.02
从上可见，S与σ是有所不同的，S是在有限的几次测量中求得的，它是σ的估计值，当时，。
所以，称σ为理论或总体标准偏差，S称为样本标准偏差或标准差估计值。
在不发生误解时，简称为标准偏差。
ISO称为标准不确定度。
当时，，可见，正态分布是t分布的极限分布，是t分布的一个特例；而t分布是包含了正态分布的一个更为广义的分布。
t分布置信因子
设自由度为，置信水平为P，对应t分布的置信因子为，该值可从表2中查取。
上例中，，，S=0.035，给定置信水平P＝99％，查表，对应置信限为：
。
即被测量以99％的概率落在以下区间：
29.24±0.072或[29.168,29.312]
自由度
置信水平P％
67.28
90
95
95.45
99
99.73
1
1.84
6.31
12.71
13.97
63.66
235.80
2
1.32
2.92
4.30
4.53
9.92
19.21
3
1.20
2.35
3.18
3.31
5.84
9.22
4
1.14
2.13
2.78
2.87
4.60
6.62
…..
1
1.90
2
3
函数的标准偏差或方差
线性函数
已知线性函数，a，b，c为常数，x，y，z的标准偏差为，求的标准偏差。
通过求偏微分，由分项标准偏差计算总的标准偏差的式子称为误差传递式。
当x，y，z（或）之间独立或无关时，可以导得方差传递式为：
如果仅知方差估计值S2，则对应有：
非线性函数
已知
可以将非线性函数转换为线性函数，而得到误差得传递式：
对应的系数a，b，c，可采用求偏导数方法求出：
系数a，b，c称为误差的传递系数，ISO称为灵敏度系数。
它具有两个作用：
若x为温度，为力值，则a起着将温度转变为力值的作用。
即转变量纲的作用；
起着放大或缩小误差的作用
方差传递定理
由上可知，，由于误差较小而可得到，这也包括了线性函数的情况，其中系数可用偏导数求出。
当之间独立时，可以得到方差传递公式。
这一公式可以应用到许许多多方面：
如数据合理处理，误差分配，测量设计，最佳实验条件选择，微小误差准则、误差的误差、限差，合成标准不确定度等等。
如果令，，则可得
这一公式称为方差合成定理。
无论x，y，z各是什么分布，该定理依然成立，它已成为方差或不确定度合成的基础公式。
从该公式可见，的方差是由方差分量所组成，而这些方差分量已包含误差的传递系数（灵敏度系数）――偏导数的值。
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