函数方程上上线.docx

函数方程上上线.docx

《函数方程上上线.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数方程上上线.docx（4页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

函数方程上上线

第十三讲函数方程

本讲概述

函数方程问题一般将它独立地划为竞赛六大板块之一，其解法灵活多变，形式往往出人意料.本讲假定大家已经具备函数方程与函数迭代的基础知识，如代值法，换元法，柯西法，爬坡法等等,并完成过一些基础到中等难度的函数方程问题.

例题精讲

【例1】（热身问题）解函数方程：

（1）

【例2】设b是一个正实数，试求所有函数

，使得

成立

【例3】设

为定义在实数集R上的单调连续函数，试解函数方程

。

【例4】试求定义在有理数集并且在有理数集上取值的函数

，满足

（1）

（2）

。

求函数

。

【例5】求所有的函数

使得

①

【例6】如果对任意实数

，

，均有

①

则称

为“强凸”函数.

取

为

的正整数，对任意整数

，定义“差分”

②

（Ⅰ）在①中取

，试证：

③

（Ⅱ）证明:

④

（Ⅲ）证明：

满足①的“强凸”函数不可能存在．

【例7】求所有的函数

满足对所有的正实数

，x,y,z，

都有：

【例8】求定义域为正实数集，值域为实数集的函数f，满足：

，

，其中x、y为任意实数。

大显身手

1．求解函数方程：

。

2．设

，找出

使：

．

3．试求所有的函数

，使得对任意

，都有

4．设有界函数

满足：

求