黑龙江自考“工程数学线性代数复变函数”考试大纲.doc

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黑龙江省高等教育自学考试

采矿工程（独立本科段）B080109专业

工程数学考试大纲

（课程代码10053）

黑龙江省高等教育自学考试委员会办公室

二○一○年五月

工程数学自学考试大纲

课程中文名称：

工程数学

课程英文名称：

EngineeringMathematics

学时数：

100学时

一、课程性质与设置目的

《工程数学》课程是黑龙江省高等教学自学考试工科各专业开设的公共必修课，主要讲授线性代数、概率论、复变函数、傅里叶变换和拉普拉斯变换等内容。

学习本门课程的目的是使学生掌握工程数学的基本理论、思想和方法，进一步培养学生的逻辑思维能力。

《工程数学》是一门公共基础课，通过学习本门课程，要使学生具备良好的数学基础，为学生后续的学习、实践及今后的工作与发展打下良好基础。

二、课程内容与考核目标

第一章行列式

（一）学习目的和要求

通过本章的学习，要掌握行列式及其相关概念，会计算低阶行列式。

（二）课程内容

第一节行列式的概念

本节主要介绍行列式的概念，二阶、三阶行列式以及n阶行列式。

第二节行列式的性质

本节主要介绍行列式的性质。

第三节行列式的计算

本节主要介绍如何利用行列式的性质计算行列式。

第四节克拉默法则

本节主要介绍解线性方程组的克拉默法则。

（三）考核知识点

1．行列式的概念；

2．行列式的性质；

3．利用行列式的性质计算行列式；

4．克莱默法则及其推论。

（四）考核要求

1.了解行列式的定义，了解余子式、代数余子式的概念，会求余子式和代数余子式；

2.掌握利用行列式的性质计算二、三阶字母行列式的计算方法及三阶、四阶数字行列式的计算方法；

3.了解克莱默法则的条件、结论，掌握克莱默法则关于齐次线性方程组的推论。

第二章矩阵

（一）学习目的和要求

通过本章的学习，要掌握矩阵及相关概念，会求矩阵的秩及逆矩阵。

（二）课程内容

第一节矩阵的概念

本节主要介绍矩阵以及相关的概念。

第二节矩阵的运算及其性质

本节阐述的内容有：

矩阵的加法与数乘、矩阵的乘法、矩阵的转置以及方阵的行列式。

第三节可逆矩阵

本节主要介绍的内容有：

可逆矩阵的概念及性质，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵。

第四节分块矩阵

本节介绍的内容有：

分块矩阵的概念、运算，以及准对角矩阵。

第五节矩阵的初等变换

本节介绍的内容有：

矩阵的初等行变换，初等矩阵，以及用初等行变换求逆矩阵。

第六节矩阵的秩

本节介绍的内容有：

矩阵的秩的概念和性质，用初等行变换求矩阵的秩。

第七节矩阵的应用

本节主要介绍矩阵的两个应用：

密码问题和人口流动问题。

（三）考核知识点

1．矩阵的定义，矩阵的相等；

2．矩阵的加法，数乘矩阵及其矩阵代数运算的性质，矩阵的乘法，矩阵的转置，方阵的行列式；

3．可逆矩阵的概念及性质，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵；

4．分块矩阵的概念，分块矩阵的加法，数乘分块矩阵，分块矩阵的乘法，转置，简单可逆分块矩阵的逆矩阵；

5．矩阵初等行变换的定义，初等矩阵及其作用，用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵。

（四）考核要求

1.理解矩阵的概念，了解矩阵相关的概念；

2.掌握矩阵的加法，数乘矩阵，矩阵的乘法，转置的运算及其运算规律；

3.了解方阵的幂，掌握方阵乘积的行列式；

4.理解逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的性质及矩阵可逆的充分必要条件，会用伴随矩阵求可逆矩阵的逆矩阵，会解矩阵方程；

5.了解分块矩阵的概念，会做分块矩阵的加法、数乘、乘法、转置等运算，会求简单可逆分块矩阵的逆矩阵；

6.理解矩阵的初等行变换、初等矩阵的概念及其之间的关系，掌握用初等行变换求逆矩阵的方法。

第三章线性方程组

（一）学习目的和要求

通过本章的学习，要掌握向量组相关、无关及秩等概念，会解齐次、非其次线性方程组。

（二）课程内容

第一节高斯约当消元法

本节主要介绍解线性方程组的高斯约当消元法。

第二节线性方程组解的判定

本节主要介绍的内容是：

线性方程组有解的充分必要条件，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。

第三节n维向量的概念与线性运算

本节主要介绍的内容是：

n维向量的相关概念及其线性运算。

第四节向量组的线性相关性

本节主要介绍的内容是：

线性组合与线性表示，线性相关与线性无关。

第五节向量组的秩

本节主要介绍的内容是：

向量组的等价和极大线性无关组，向量组的秩以及它与矩阵的秩的关系。

第六节线性方程组解的结构

本节主要介绍的内容是：

齐次线性方程组解的结构，非齐次线性方程组解的结构。

（三）考核知识点

1．线性方程组的高斯约当消元法；

2．n维向量的定义，向量的线性运算，向量的线性组合，线性表示，判断一个向量是否为另一些向量的线性组合，向量的线性组合系数的求法；

3．向量组线性相关、线性无关的定义、性质及判别方法；

4．向量组等价和极大线性无关组的概念，向量组的秩的定义及其求法；

5．齐次线性方程组解的结构，非其次线性方程组解的结构。

（四）考核要求

1.掌握求解线性方程组的高斯约当消元法；

2.了解n维向量的定义及其线性运算，了解向量的线性组合、线性表示的概念；

3.会判别一个向量能否表示为另一些向量的线性组合及向量的线性组合系数的求法；

4.理解向量组线性相关、线性无关的定义，会判别向量组线性相关或线性无关；

5.理解向量组的极大线性无关组的定义，向量组的秩的定义；

6.理解矩阵秩的概念，掌握用初等行变换的方法求矩阵的秩，理解矩阵的秩和向量组的秩的关系；

7.理解线性方程组的相容性定理，理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；

8.掌握齐次线性方程组解的性质，理解齐次线性方程组解的结构，掌握基础解系、通解的求法；

9.掌握非齐次线性方程组解的性质，理解非齐次线性方程组解的结构，掌握基础解系、通解的求法。

第四章随机事件及其概率

（一）学习目的和要求

通过本章的学习，要掌握概率的定义和相关概念及计算概率的几个公式。

（二）课程内容

第一节随机事件

本节介绍的主要内容是：

随机试验与随机事件，样本空间，事件间的关系与运算。

第二节随机事件的概率与概率加法公式

本节主要介绍的内容是：

概率的统计定义，概率的古典定义，概率加法公式。

第三节条件概率与概率乘法公式

本节主要介绍的内容是：

条件概率，概率乘法公式，事件的相互独立性。

第四节重复独立试验

本节主要介绍的内容是：

重复独立试验的定义，伯努利概型的计算。

第五节全概率公式与贝叶斯公式

本节主要介绍的内容是：

全概率公式，贝叶斯公式。

（三）考核知识点

1．随机事件与样本空间，事件之间的关系与运算；

2．概率的定义，概率的基本性质，概率的加法公式；

3．条件概率，概率的乘法公式，事件的相互独立性；

4．伯努利概型计算；

5.全概率公式与贝叶斯公式。

（四）考核要求

1.理解随机事件的概念，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算；

2.了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算；

3.理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式，乘法公式，全概率公式，贝叶斯公式，以及应用这些公式进行概率计算；

4．掌握伯努利概型的计算；

5.理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。

第五章随机变量及其概率分布

（一）学习目的和要求

通过本章的学习，要掌握离散型随机变量、连续型随机变量的概念，以及几个重要分布。

（二）课程内容

第一节随机变量

本节主要介绍的内容是：

随机变量的定义及举例。

第二节随机变量的分布函数

本节将阐述的内容是：

随机变量的分布函数的定义。

第三节离散型随机变量及其典型分布

本节主要介绍的内容是：

离散型随机变量概念，二项分布，泊松分布。

第四节连续型随机变量及其典型分布

本节主要介绍的内容是：

连续型随机变量概念，均匀分布，正态分布。

第五节随机变量函数的分布

本节主要介绍的内容是：

离散型随机变量的函数的分布，连续型随机变量函数的分布。

（三）考核知识点

1．随机变量的概念；

2．随机变量的分布函数；

3．离散型随机变量的分布律及其性质，二项分布，泊松分布；

4．连续型随机变量的概率密度及其性质，正态分布，均匀分布；

5．随机变量函数的分布。

（四）考核要求

1.理解随机变量的概念；

2.理解离散型随机变量的分布律及其性质；

3.掌握二项分布，泊松分布；

4.理解连续型随机变量的概率密度及其性质，掌握正态分布和均匀分布；5.掌握随机变量函数的分布。

第六章随机变量的数字特征

（一）学习目的和要求

通过本章的学习，要掌握随机变量的数学期望与方差，了解大数定律及中心极限定理。

（二）课程内容

第一节离散型随机变量的数学期望

本节的主要内容是：

离散型随机变量的数学期望的定义、性质，几个常用离散型随机变量的数学期望举例。

第二节连续型随机变量的数学期望

本节的主要内容是：

连续型随机变量的数学期望的定义、性质，几个常用连续型随机变量的数学期望举例。

第三节随机变量函数的数学期望

本节主要介绍随机变量函数的数学期望的计算方法。

第四节方差与标准差

本节主要介绍了随机变量方差与标准差的概念。

第五节随机变量数字特征的性质

本节主要介绍了随机变量数字特征的性质。

第六节重要分布的数学期望与方差

本节主要介绍了二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布等的期望与方差。

第七节切比雪夫不等式

本节主要介绍了切比雪夫不等式及其应用。

第八节大数定律

本节主要介绍了几个大数定律。

第九节中心极限定理

本节主要介绍了中心极限定理。

（三）考核知识点

1．离散型随机变量的数学期望；

2．连续型随机变量的数学期望；

3．随机变量函数的数学期望；

4．方差与标准差；

5．随机变量数字特征的性质；

6．重要分布的数学期望与方差；

7．切比雪夫不等式；

8．大数定律；

9．中心极限定理。

（四）考核要求

1.会求离散型随机变量的数字期望；

2.会求连续型随机变量的数学期望；

3.了解随机变量函数的数学期望；

4.会求随机变量的方差；

5.了解随机变量数字特征的性质；

6.掌握重要分布的数学期望与方差；

7.了解切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理。

第七章复变函数

（一）学习目的和要求

通过本章的学习，要掌握复变函数的极限、连续、导数和积分等相关概念，以及级数、留数的概念。

（二）课程内容

第一节复数与复变函数

本节的主要内容是：

复数，区域，复变函数，复变函数的连续与极限。

第二节解析函数

本节介绍了复变函数的导数及解析函数。

第三节复变函数的积分

本节的主要内容是：

复变函数积分的概念及其性质，柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数的高阶导数。

第四节级数

本节的主要内容是：

幂级数，泰勒级数，洛朗级数。

第五节留数

本节的主要内容是：

孤立奇点，留数。

（三）考核知识点

1．复数、区域、复变函数及复变函数的极限与连续；

2．复变函数的导数，解析函数；

3．复变函数积分的概念与性质，柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数的高阶导数；

4．幂级数、泰勒级数及洛朗级数；

5．孤立奇点和留数。

（四）考核要求

1.了解复数和区域的概念，理解复变函数及与之相关的概念，如复变函数的极限与连续性、复变函数与映射的关系等；

2.理解复变函数的导数与解析函数这两个重要概念，掌握判断复变函数可导与解析的方法；

3.理解复变函数积分的定义和性质以及原函数的概念；

4.理解和掌握柯西积分定理和柯西积分公式，并能利用它们计算复积分，了解解析函数的高阶导数的概念；

5.理解复数项级数及其收敛的概念，掌握计算幂级数的收敛半径和收敛域；

6.能用直接方法和间接方法将解析函数在指定区域内展开成泰勒级数；

7.理解洛朗级数的概念，掌握将函数在指定的圆环或某点的去心邻域内展开成洛朗级数的方法；

8.理解孤立奇点的定义，掌握复变函数留数的概念、留数定理。

第八章傅里叶变换

（一）学习目的和要求

通过本章的学习，要掌握傅里叶级数、傅里叶积分和傅里叶变换的相关概念及运算，掌握傅里叶变换的性质及应用。

（二）课程内容

第一节傅里叶级数

本节的主要内容是：

傅里叶级数的定义，将函数展开成傅里叶级数。

第二节傅里叶积分

本节的主要内容是：

傅里叶积分的复数形式，傅里叶积分公式。

第三节傅里叶变换的概念

本节的主要内容是：

傅里叶变换的定义，单位脉冲函数及其傅里叶变换。

第四节傅里叶变换的性质

本节主要介绍傅里叶变换的性质。

第五节卷积

本节的主要内容是：

卷积的概念。

第六节傅里叶变换的应用

本节主要介绍傅里叶变换的两个应用：

周期函数与离散频谱，非周期函数与连续频谱。

（三）考核知识点

1．傅里叶级数；

2．傅里叶积分的复数形式，傅里叶积分公式；

3．傅里叶变换的概念与性质；

4．卷积；

5．傅里叶变换的应用。

（四）考核要求

1.理解和掌握周期函数的傅里叶级数的复指数形式及相关概念；

2.掌握傅里叶积分、傅里叶变换定义，能用定义求函数的傅里叶积分和傅里叶变换，了解对函数进行傅里叶变换所需的条件；

3.掌握单位脉冲函数的定义性质及其傅里叶变换；

4.掌握函数卷积的定义、性质及其计算；

5.了解傅里叶变换的性质及其应用。

第九章拉普拉斯变换

（一）学习目的和要求

通过本章的学习，要掌握拉普拉斯变换的概念、性质及应用。

（二）课程内容

第一节拉普拉斯变换的概念

本节的主要内容是：

拉普拉斯变换的定义，拉普拉斯变换的存在定理。

第二节拉普拉斯变换的性质

本节主要介绍拉普拉斯变换的性质。

第三节拉普拉斯逆变换

本节主要介绍拉普拉斯逆变换的定义。

第四节拉普拉斯变换的卷积

本节主要介绍拉普拉斯变换的卷积。

第五节拉普拉斯变换的应用

本节主要介绍拉普拉斯变换的两个应用：

微分方程的拉氏变换解法，线性系统的传递函数。

（三）考核知识点

1．拉普拉斯变换的定义及存在定理；

2．拉普拉斯变换的性质；

3．拉普拉斯逆变换；

4．拉普拉斯变换的卷积；

5．拉普拉斯变换的应用。

（四）考核要求

1.掌握拉普拉斯变换、拉普拉斯逆变换及其性质，并能利用定义求函数的拉普拉斯变换；

2.掌握卷积定理、反演积分公式，并能进行相应的计算；

3.了解利用拉普拉斯变换求解常微分方程的方法。

三、有关说明与实施要求

为了使本大纲的规定在个人自学、社会助学和考试命题中得到贯彻与落实，现对有关问题作如下说明，并进而提出具体的实施要求。

（一）关于“课程内容与考核目标”中有关提法的说明

为使考试内容具体化和考试要求标准化，本大纲在列出考核内容的基础上，对各章规定了考核目标，包括考核知识点和考核要求。

明确考核目标，使自学应考者能够进一步明确考试内容和要求，更有目的地系统学习教材；使考试命题能够更加明确范围，更准确地安排试题的知识能力层次和难易程度。

考试要求分为两个层次，其中有关概念、理论方面要求较高的用“理解”一词表述，要求较低的用“了解”一词表述；有关方法、运算方面要求较高的用“掌握”一词表述，要求较低的用“会”，或“了解”来表述。

（二）关于学习教材

教材：

《工程数学》

作者：

周忠荣

出版社：

化工出版社

版次：

2006年版

（三）自学方法指导

在全面系统学习的基础上，掌握相关概念、基本理论、基本方法。

本课程内容涉及范围广泛。

自学应考者应首先全面系统的学习各章内容，记忆应当识记的基本概念和观点，深入理解基本理论，较为熟练的掌握基本运算。

其次，弄清楚各章内容之间的内在联系和逻辑关系，注重融会贯通。

再次，在全面系统学习的基础上，掌握重点，有目的的深入学习重点章节的内容。

但切忌在没有全面学习教材的情况下孤立地去抓重点。

（四）对社会助学的要求

1．社会助学者应根据本大纲规定的考试内容和考核目标，认真钻研指定的教材，明确本课程与其他课程不同的特点和学习要求，对自学应考者进行切实有效的辅导，引导他们防止自学中的各种偏向，把握社会助学的正确方向。

2．要正确处理重点和一般的关系。

课程内容有重点与一般之分，但考试内容是全面的，而且重点与一般是相互联系的，不是截然分开的。

社会助学者应指导自学应考者全面系统的学习教材，掌握全部考试内容和考核知识点，在此基础上再突出重点。

总之，要将重点学习与兼顾一般结合起来，切勿孤立的抓重点，把自学应考者引向猜题押宝的歧途。

（五）关于考试命题的若干梦轩阁要求

1．本课程的命题考试，应根据本大纲规定的考试内容来确定考试范围和考核要求，不要任意扩大或缩小考试范围，提高或降低考核要求。

考试命题要覆盖到各章，并适当突出重点章节，体现本课程的内容重点。

2．试题的难易程度需要合理，试题的难度分为“易”、”较易”、“较难”和“难”四个层次，不同难度的试题在试卷中的分数比例约为易30％左右、较易30％左右、较难30％左右百万读、难10％左右。

3．本课程考试试卷采用的题型，一般有：

选择型、填空题、计算题、证明题。

各种题型的具体形式参见本大纲附录。

附录：

考试题型举例

一、选择题（在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分）

1．设A，B，C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立的是（　　　）

A．（A+B）T=AT+BT B．|AB|=|A||B|

C．A（B+C）=BA+CA D．（AB）T=BTAT

2．已知=3，那么=（　　　）

A．-24 B．-12

C．-6 D．12

3．若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（　　　）

A．A=A* B．|A|=0

C．（A2）-1=（A-1）2 D．（3A）-1=3A-1

4．若A=，B=，C=，则下列矩阵运算的结果为3×2的矩阵的是（　　　）

A．ABC B．ACTBT

C．CBA D．CTBTAT

5．设有向量组A：

，其中1，2，3线性无关，则（　　　）

A．1，3线性无关 B．1，2，3，4线性无关

C．1，2，3，4线性相关 D．2，3，4线性无关

6．若四阶方阵的秩为3，则（　　　）

A．A为可逆阵 B．齐次方程组Ax=0有非零解

C．齐次方程组Ax=0只有零解 D．非齐次方程组Ax=b必有解

7．在下列所指明的各向量组中，（）中的向量组是线性无关的。

A.向量组中含有零向量

B.任何一个向量都不能被其余的向量线性表出

C.存在一个向量可以被其余的向量线性表出

D.向量组的向量个数大于向量的维数

8.下面结论正确的是（）

A．可逆矩阵一定是对称矩阵

B．可逆矩阵中一定没有0元素

C．可逆矩阵与可逆矩阵之和仍是可逆矩阵

D．可逆矩阵与可逆矩阵之积仍是可逆矩阵

9．设矩阵A=仅有零解的充分必要条件是（）

A.A的行向量组线性无关

B.A的行向量组线性相关

C.A的列向量组线性无关

D.A的列向量组线性相关

10.若，则秩（）=（　）

A.1B.2C.3D.4

11.若是的两个特解（B≠0），则（）

A．是的一个解

B.是的一特解

C.是的一个解

D.是的一特解

12.向量组，则（）是极大无关组。

A.B.

C.D.

13．设随机事件A与B互不相容，P（A）=0.2，P（B）=0.4，则P（B|A）=（）

A．0 B．0.2

C．0.4 D．1

14．已知事件A，B相互独立，且P（A）>0，P（B）>0，则下列等式成立的是（）

A．P（AB）=P（A）+P（B） B．P（AB）=1-P（）P（）

C．P（AB）=P（A）P（B） D．P（AB）=1

15．某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为（）

A．0.002 B．0.04

C．0.08 D．0.104

16．已知随机变量X的分布函数为

F（x）=，则P=（）

A． B．

C． D．1

17．设事件A与B互不相容，且P（A）>0，P（B）>0，则有（）

A．P（）=l B．P（A）=1-P（B）

C．P（AB）=P（A）P（B） D．P（A∪B）=1

18．设A、B相互独立，且P（A）>0，P（B）>0，则下列等式成立的是（）

A．P（AB）=0 B．P（A-B）=P（A）P（）

C．P（A）+P（B）=1 D．P（A|B）=0

19．同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝上的概率为（）

A．0.125 B．0.25

C．0.375 D．0.50

20．设随机变量X的概率密度为f（x）=，则P（0.2

A．0.5 B．0.6

C．0.66 D．0.7

21．设在三次独立重复试验中，事件A出现的概率都相等，若已知A至少出现一次的概率为19／27，则事件A在一次试验中出现的概率为（）

A． B．

C． D．

22．已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量X的方差为（）

A．-2 B．0

C． D．2

23.设为复数，则方程的解为（）

A、B、C、D、

24.设在区域内为的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是（）

A、B、

C、D、

25.若幂级数在处收敛，则该级数在处的敛散性为（）

A、绝对收敛B、条件收敛

C、发散D、无法确定其敛散性

26．函数在内的奇点个数为（）

A、1B、2C、3D、4

二、填空题（请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

）

1．设A=（1，3，-1），B=（2，1），则ATB=__________.

2．若=0，则k=__________.

3．若ad≠bc，A=，则A-1=__________.

4．向量组α1=（1，1，0，2），α2=（1，0，1，0），α3=（0，1，-1，2）的秩为__________.

5．两个向量α=（a,1,-1）和β=（b,-2,2）线性相关的充要条件是__________.

6.行列式的值为______________________.

7.已知矩阵，，则A•B=______________.

8.已知，则_______________.

9.设是2阶矩阵，且，　　　　．A

10．向量组是线性　　　　　的．

11．矩阵的秩为　　　　　　．

12．一口袋装有3只红球，2只黑球