一元二次方程的应用.docx
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一元二次方程的应用
要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
审（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）；
设（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）；
列（根据题目中的等量关系，列出方程）；
解（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）；
验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）
答（写出答案，切忌答非所问）.
要点诠释：
列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确解方程并检验解的合理性.
要点二、黄金分割及其应用
在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果
那么称线段AB被点C黄金分割（goldensection）,点C叫做线段AB的黄金分割点， AC与AB的比叫做黄金比.其中
≈0.618.由
得AC2=AB·BC, AC叫做AB与BC的比例中项.
要点诠释：
（1）黄金分割的几何作法：
已知线段AB，按照如下方法作图：
①经过点B作BD⊥AB，使BD=
.
②连接AD，在DA上截取DE=DB.
③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
（2）黄金分割点是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点，线段上有两个这样的点.利用线段上的两个黄金分割点，可以作出正五角星，正五边形等.
要点三、一元二次方程应用题的主要类型
1.数字问题
（1）任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：
个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：
1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：
一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：
100c+10b+a.
（2）几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：
三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差2.如：
三个连续偶数（奇数），设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
2.平均变化率问题
列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
（1）增长率问题：
平均增长率公式为
（a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.）
（2）降低率问题：
平均降低率公式为
（a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.）
3.利息问题
（1）概念：
本金：
顾客存入银行的钱叫本金.
利息：
银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和：
本金和利息的和叫本息和.
期数：
存入银行的时间叫期数.
利率：
每个期数内的利息与本金的比叫利率.
（2）公式:
利息=本金×利率×期数
利息税=利息×税率
本金×（1+利率×期数）=本息和
本金×[1+利率×期数×（1-税率）]=本息和（收利息税时）
4.利润（销售）问题
利润（销售）问题中常用的等量关系：
利润=售价-进价（成本）
总利润=每件的利润×总件数
5.形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
要点诠释：
列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想——方程思想.
类型一、数字问题
1．已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少．
答案与解析举一反三
【思路点拨】设其中一个数为x，那么另一个数可表示为（12-x），依题意可列方程.
【答案与解析】
设其中一个数为x，那么另一个数可表示为（12-x），依题意得x（12-x）＝32，
整理得x2-12x+32＝0
解得x1＝4，x2＝8，
当x＝4时12-x＝8；
当x＝8时12-x＝4．
所以这两个数是4和8．
【总结升华】 数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x，那么另一个数便可以用x表示出来，然后根据题目条件建立方程求解．
【变式】有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字少2，求这个两位数.
答案与解析
【答案】
设个位数字为x，则十位数字为（x-2）.
由题意，得：
10（x-2）+x=3x（x-2）
整理，得：
3x2-17x+20=0,
解方程，得：
（3x-5）（x-4）=0,
∴
经检验，
不合题意,舍去（注意根的实际意义的检验）
∴当x=4时,x-2=2
∴10（x-2）+x=10×2+4=24.
答：
这个两位数为24.
类型二、黄金分割及其应用
2. 如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？
为什么？
答案与解析
【思路点拨】
（1）要求AM的长，只需求得AF的长，又AF=PF﹣AP，PF=PD=
=
，则AM=AF=
﹣1，DM=AD﹣AM=3﹣
；
（2）根据
（1）中的数据得：
=
，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．
【答案与解析】
（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD=
=
=
，
∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=
﹣1，
DM=AD﹣AM=3﹣
．
故AM的长为
﹣1，DM的长为3﹣
；
（2）点M是AD的黄金分割点．
由于
=
，
∴点M是AD的黄金分割点．
【总结升华】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．
类型三、平均变化率问题
3．2010年5月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署．为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元．
（1）求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率；
（2）若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元?
答案与解析举一反三
【答案与解析】
（1）设从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，
由题意得5（1+x）2＝8.45．
解得x1＝30%，x2＝-2.3（不合题意，舍去）．
答：
从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为30%．
（2）这三年共投资5+5（1+x）+8.45＝5+5（1+0.3）+8.45＝19.95（亿元）
答：
预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共19.95亿元．
【总结升华】本题是常见的增长率问题，要理解a（1+x）n＝b（其中a是原来的量，x是平均增长率，n是增长的次数，b是增长到的量）的含义．原来的量经过一次增长后达到a（1+x）；在这个基础上，再增长一次即经过第二次增长后达到a（1+x）（1+x）＝a（1+x）2；在这个基础上，再增长一次即经过三次增长后达到a（1+x）（1+x）（1+x）＝a（1+x）3；…；依次类推．
【变式】某产品原来每件是600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两次降价的百分数相同，求平均每次降价率.
答案与解析
【答案】
设平均每次降价率为x，
则第一次降价为600x，降价后价格为：
600-600x=600（1-x）,
第二次降价为：
600（1-x）×x，降价后价格为：
600（1-x）-600（1-x）×x=600（1-x）2
根据题意列方程，得：
600（1-x）2=384,
∴
不合题意，舍去（注意根的实际意义的检验）
∴
答：
平均每次下降率为20%.
类型四、利润（销售）问题
4．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出（350-10a）件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品?
每件商品售价多少元?
答案与解析
【答案与解析】
设每件商品的售价为a元．
根据题意，得（a-21）（350-10a）＝400．
∴a2-56a+775＝0，
∴（a-25）（a-31）＝0，∴a-25＝0或a-31＝0，
∴a1＝25，a2＝31．
当a＝31时，加价31-21＝10，不合题意，舍去．
∴350-10a＝350-10×25＝100．
答：
每件商品售价为25元，需要卖出100件商品．
【总结升华】
列一元二次方程解应用题往往求出两解，有的解不合实际意义或不合题意．应舍去，必须进行检验
类型五、形积问题
5．如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD，求该矩形草坪BC边的长．
答案与解析
【答案与解析】
设草坪ABCD的BC边长x米，根据题意，得
x×（32-x）÷2＝120
整理得：
x2-32x+240＝0，∴（x-12）（x-20）＝0．
解得：
x1＝12，x2＝20
又由题意知：
BC≤16．∴x＝20（不合题意，舍去）．
∴该矩形草坪BC边的长为12米．
【总结升华】
1．结合图形分析数量关系是解决面积等几何问题的关键；
2．注意检验一元二次方程的两个解是否符合题意．
巩固练习
一、选择题
1．在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）．
A．x2+130x-1400＝0 B．x2-65x-350＝0 C．x2-130x-1400＝0 D．x2+65x-350＝0
2．为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10cm2提高到12.1m2，若每年的年增长率相同，则年增长率为（ ）
A．9% B．10% C．11% D．12%
3．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个，设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）．
A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182
4．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b：
a=
≈0.618，这种矩形给人以美感称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：
0.5980.6250.6280.5950.639
乙批次：
0.6180.6130.5920.6220.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（ ）
A．甲批次的总体平均数与标准值更接近
B．乙批次的总体平均数与标准值更接近
C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
5．为执行“两免一补”政策，某地区2010年投入教育经费2500万元，预计2012年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）．
A．2500（1+x）2＝3600 B．2500x2＝3600
C．2500（1+x%）＝3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3600
6．一个跳水运动员从距离水面10米高的跳台向上跳起0.5米，开始做翻滚动作，它在空中每完成一个动作需要时间0.2秒，并至少在离水面3.5米处停止翻滚动作准备入水，最后入水速度为14米/秒，该运动员在空中至多做翻滚动作（ ）．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题
7．某商场销售额3月份为16万元，5月份25万元，该商场这两个月销售额的平均增长率是________．
8．若两数的和是2，两数的平方和是74，则这两数为________．
9．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于________厘米.
10．菱形ABCD的一条对角线长6，AB的长是方程x2-7x+12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为________．
11．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了______个人？
12.小明家为响应节能减排号召，计划用两年时间，将家庭每年人均碳排放量由目前的3125kg降至2000kg（全球人均目标碳排放量），则小明家未来两年人均碳排放量平均每年需降低的百分率是________．
三、解答题
13．用长12m的一根铁丝围成长方形．
（1）如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的长是多少?
宽是多少?
如果面积是8m2呢?
（2）能否围成面积是10m2的长方形?
为什么?
（3）能围成的长方形的最大面积是多少?
14.从一块长80cm，宽60cm的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度．
15．常德市工业走廊南起汉寿县太子庙镇，北玉桃源县盘塘镇创元工业园，在这一走廊内的工业企业2008年完成工业总产值440亿元，如果要在2010年达到743.6亿元，那么2008年到2010年的工业总产值年平均增长率是多少?
《常德工业走廊建设发展规划纲要（草案）》确定2012年走廊内工业总产值要达到1200亿元，若继续保持上面的增长率，该目标是否可以完成?
答案与解析
【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】D；
【解析】可列方程（80+2x）（50+2x）＝5400，化简即可．
2.【答案】B；
【解析】10（1+x）2＝12.1，解得x＝0.1．
3.【答案】B；
【解析】四、五、六月份产量之和为182．
4.【答案】A；
【解析】甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613．故甲批次的总体平均数与标准值更接近故选A．
5.【答案】A；
【解析】
由平均增长率公式为
（a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量）可列方程.
6.【答案】D；
【解析】
从10.5米高处到入水过程的平均速度为7米/秒，所用时间为10.5÷7＝1.5秒，速度每秒变化
米/秒
设运动员从最高处到离水面3.5米时用时x秒，那么这段距离的平均速度为x2＝1.5，x≈1.2，1.2÷0.2＝6，
最多做6个翻滚动作．
二、填空题
7.【答案】25%；
【解析】
设商场这两个月销售额的平均增长率是x，则16（1+x）2＝25解得x1＝0.25＝25%,x2＝-2.25（不合题意,舍去）．
8.【答案】-5和7；
【解析】设两数中一个数为x，则另一个数为2-x．根据题意得x2+（2-x）2＝74，解得x1＝-5，x2＝7．
当x＝-5时，另一个数为7；当x＝7时，另一个数为-5，所以这两个数为-5和7．
9.【答案】
；
【解析】
设所求边长为x，由题意，得
，解得x=（
）．故答案为（
）．
10.【答案】16；
【解析】x2-7x+12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，AB不可能等于3，因为有一条对角线长为6，
所以AB＝4，菱形周长为16．
11.【答案】10；
【解析】
设每轮传染中平均一个人传染了
个人．
列方程，得1+x+x（1+x）=121．
解方程，得x1=10,x2=-12.
经检验，x2不合题意，舍去．所以平均一个人传染了10个人
12.【答案】20%；
【解析】设降低的百分率为x，则3125（1-x）2＝2000，
（舍去），
．
三、解答题
13.【解析】
（1）设长方形的宽为xm，则长为
，
根据题意，得
x（6-x）＝5，
即x2-6x+5＝0，x1＝1，x2＝5（舍去）．
∴当长方形的宽为1m，长为6m-1m＝5m时，面积为5m2．
同样，当面积为8m2时，有x（6-x）＝8，即x2-6x+8＝0，x1＝2，x2＝4（舍去）．
∴当长方形的宽为2m，长为6-2＝4m时，面积为8m2．
（2）当面积为l0m2时，x（6-x）＝10，即x2-6x+10＝0，此时b2-4ac＝36-40＝-4＜0，
故此方程无实数根，所以这样的长方形不存在．
（3）设围成的长方形的面积为k，则有x（6-x）＝k，即x2-6x+k＝0，要使该方程有解，
必须有（-6）2-4k≥0，即k≤9．
∴最大的k只能是9，即最大的面积为9m2，此时x＝3m，6-x＝3（m）．
这时所围成的图形是正方形．
14.【解析】
设这个宽度为xcm，根据题意有：
（80-2x）（60-2x）＝80×60÷2．
解这个方程得x1＝10，x2＝60．
因为截去的小长方形的宽60-2x必须大于0，
即60-2x＞0，亦即x＜30，所以x＝10．
答：
宽度为10cm时，截去的小长方形面积是原来铁片面积的一半．
15.【解析】
设2008年到2010年的年平均增长率为x．
则440（1+x）2＝743.6，
化简得：
（1+x）2＝1.69，
解之：
x1＝0.3＝30%，x2＝-2.3（舍去），
743.6×（1+0.3）2＝1256.684（亿元）＞1200亿元．
答：
2008年到2010年的工业总产值年平均增长率为30%，
若继续保持上面的增长率，在2012年将达到1200亿元的目标．
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