春人教版八年级数学下册第18章《平行四边形》专项训练含答案.docx

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春人教版八年级数学下册第18章《平行四边形》专项训练含答案

2017年春人教版八年级数学下册专项训练

第18章平行四边形

专训1.判定平行四边形的五种常用方法

名师点金：

判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程．

利用两组对边分别平行判定平行四边形

1．如图，在▱ABCD中，E，F分别为AD，BC上的点，且BF＝DE，连接AF，CE，BE，DF，AF与BE相交于M点，DF与CE相交于N点．求证：

四边形FMEN为平行四边形．

（第1题）

利用两组对边分别相等判定平行四边形

2．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．

求证：

四边形ADEF是平行四边形．

（第2题）

利用一组对边平行且相等判定平行四边形

3．已知：

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.

求证：

四边形ABCD为平行四边形．

（第3题）

利用两组对角分别相等判定平行四边形

4．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？

请说明理由．

（第4题）

利用对角线互相平分判定平行四边形

5．如图①，▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.

（1）求证：

四边形EGFH是平行四边形；

（2）如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）．

（第5题）

专训2.构造中位线的方法

名师点金：

三角形的中位线具有两方面的性质：

一是位置上的平行关系，二是数量上的倍分关系．因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线．

连接两点构造三角形的中位线

1．如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．

（1）求证：

PM＝PN；

（2）求∠MPN的度数．

（第1题）

利用角平分线＋垂直构造中位线

2．如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求DM的长．

（第2题）

3．如图，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，点E为BC的中点，求DE的长．

（第3题）

倍长法构造三角形的中位线

4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：

ME＝

CF

（第4题）

已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线

5．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，若AB＝10，CD＝8，求MN长度的取值范围．

（第5题）

6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E，F分别为CA，CB上一点，CE＝CF，M，N分别为AF，BE的中点，求证：

AE＝

MN.

（第6题）

已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线

7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证：

AN＝

AC.

（第7题）

参考答案

专训1

1．证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，DE＝BF，∴DE綊BF.

∴四边形BFDE为平行四边形．

∴BE∥DF.

同理，AF∥CE.∴四边形FMEN为平行四边形．

2．证明：

∵△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形，

∴BA＝BD，BC＝BE，∠DBA＝∠EBC＝60°.

∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA，

∴∠ABC＝∠DBE.

∴△ABC≌△DBE.

∴AF＝AC＝DE.

同理，可证△ABC≌△FEC，

∴AD＝AB＝EF.

∴四边形ADEF是平行四边形．

3．证明：

∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.

∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE.

∴∠AEB＝∠CFD.

在△AEB和△CFD中，

∴△AEB≌△CFD，

∴AB＝CD.

又∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．

4．解：

四边形BFDE是平行四边形．理由：

在▱ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C.

∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，

∴∠ABE＝∠CBE＝

∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝

∠ADC.∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF.∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，∴∠DFB＝∠BED.∴四边形BFDE是平行四边形．

5．

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，OA＝OC，

∴∠EAO＝∠FCO.

在△OAE与△OCF中，

∴△OAE≌△OCF，∴OE＝OF.

同理OG＝OH，

∴四边形EGFH是平行四边形．

（2）解：

与四边形AGHD面积相等的平行四边形有▱GBCH，▱ABFE，▱EFCD，▱EGFH.

专训2

1．

（1）证明：

如图，连接CD，AE.由三角形中位线定理可得PM綊

CD，PN綊

AE.∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC.

∴△ABE≌△DBC，

∴AE＝DC.∴PM＝PN.

（2）解：

如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H.由

（1）知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.

∴∠AHD＝∠ABD＝60°，

∴∠FHG＝120°.

易证四边形PFHG为平行四边形，

∴∠MPN＝120°.

（第1题）

2．解：

如图，延长BD，CA交于N.

（第2题）

在△AND和△ABD中，

∴△AND≌△ABD（ASA）．

∴DN＝DB，AN＝AB.

∴DM＝

NC＝

（AN＋AC）＝

（AB＋AC）＝15.

3．解：

如图，延长BD交AC于点F，

　（第3题）

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD.

∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF，

又∵AD＝AD，∴△ADB≌△ADF（ASA）．

∴AF＝AB＝6，BD＝FD.

∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.

∵E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线．

∴DE＝

CF＝

×4＝2.

4．证明：

如图，延长FE至N，使EN＝EF，连接BN，AN.易得ME＝

AN.

∵EF＝EN，∠BEF＝90°，∴BE垂直平分FN.∴BF＝BN.

∴∠BNF＝∠BFN.∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，

∴∠BFN＝45°.∴∠BNF＝45°，

∴∠FBN＝90°，即∠FBA＋∠ABN＝90°.又∵∠FBA＋∠CBF＝90°，

∴∠CBF＝∠ABN.在△BCF和△BAN中，

∴△BCF≌△BAN.

∴CF＝AN.∴ME＝

AN＝

CF.

（第4题）

（第5题）

5．解：

如图，取BD的中点P，连接PM，PN.

∵M是AD的中点，P是BD的中点，

∴PM是△ABD的中位线，

∴PM＝

AB＝5.

同理可得PN＝

CD＝4.

在△PMN中，

∵PM－PN

∴1

6．证明：

如图，取AB的中点H，连接MH，NH，则MH＝

BF，NH＝

AE.

∵CE＝CF，CA＝CB，∴AE＝BF.

∴MH＝NH.

∵点M，H，N分别为AF，AB，BE的中点，

∴MH∥BF，NH∥AE.

∴∠AHM＝∠ABC，∠BHN＝∠BAC.

∴∠MHN＝180°－（∠AHM＋∠BHN）＝180°－（∠ABC＋∠BAC）＝90°.

∴NH＝

MN.

∴AE＝2NH＝2×

MN＝

MN.

（第6题）

（第7题）

7．证明：

如图，取NC的中点H，连接DH，过点H作HE∥AD，交BN的延长线于E.

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴D为BC的中点．

又∵H为NC的中点，

∴DH∥BN.

又∵PD∥EH，∴四边形PDHE是平行四边形．

∴HE＝PD.又∵P为AD的中点，

∴AP＝PD.

∴AP＝EH，

易证△APN≌△HEN，∴AN＝NH.

∴AN＝NH＝HC，∴AN＝

AC.