新平面几何100题160.docx
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新平面几何100题160
1、设𝑰是△𝑨𝑩𝑪的内心，𝑫是边𝑩𝑪上的一点，𝑬是𝑩𝑪延长线上一点，且满足𝑩𝑫=𝑩𝑬.设𝑯是
𝑫到直线𝑰𝑬的垂足，证明：
∠𝑨𝑯𝑬=∠𝑰𝑫𝑬.
𝑫𝑪
𝑬𝑪
A
IH
BDCE
2、设𝑶、𝑯分别是△𝑨𝑩𝑪的外心和垂心，点𝑨关于直线𝑶𝑯的对称点是𝑷，点𝑷和点𝑨不在直线𝑩𝑪的同侧，𝑬、𝑭分别在𝑨𝑩和𝑨𝑪上，满足𝑩𝑬=𝑷𝑪，𝑪𝑭=𝑷𝑩，直线𝑨𝑷、𝑶𝑯相交于点𝑲，证明：
𝑬𝑲⊥𝑭𝑲.
A
BC
P
3、设正△𝑨𝑩𝑪的外接圆和内切圆分别是𝜞、𝝎，𝑷为𝝎上一动点，𝑷𝟏、𝑷𝟐、𝑷𝟑分别为𝑷在𝑩𝑪、𝑪𝑨、
𝑨𝑩上的射影，圆𝝎𝟏、𝝎𝟐、𝝎𝟑分别与𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩切于𝑷𝟏、𝑷𝟐、𝑷𝟑且与𝜞内切（它们的圆心与𝑨、𝑩、𝑪分别在𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩的异侧）.证明：
圆𝝎𝟏、𝝎𝟐、𝝎𝟑两两外公切线的长度之和是一个定值.
A
⊙𝑶上的一点，𝑷𝑫⊥𝑬𝑭于𝑫，交𝑨𝑩于𝑲，作𝑷𝑺⊥𝑩𝑪于𝑺，连接𝑺𝑲并交𝑨𝑶于𝑻.证明：
𝑫𝑺=𝑫𝑻.
T
接圆于点𝑨、𝑷，△𝑨𝑬𝑭的外接圆在𝑨处的切线交△𝑨𝑩𝑪于𝑨、𝑸两点，设𝑵、𝑴分别为𝑨𝑸、
𝑩𝑪的中点.证明：
∠𝑨𝑷𝑫=∠𝑴𝑵𝑸.
Q
𝑶共圆，𝑪、𝑨′、𝑩′、𝑶共圆.以𝑩′为圆心，𝑩′𝑪为半径的圆和以𝑪′为圆心，𝑩𝑪′为半径的圆的根轴为𝒍𝒂.类似定义𝒍𝒃、𝒍𝒄.证明：
直线𝒍𝒂、𝒍𝒃、𝒍𝒄交出的三角形垂心与△𝑨𝑩𝑪的垂心重合.
其中𝑷、𝑸分别在𝑩𝑪、𝑩𝑫内，𝑹在𝑪𝑫的延长线上.记点𝑫在直线𝑨𝑪、𝑩𝑪、𝑨𝑩上的射影分别为𝑿、𝒀、𝒁，其中𝑿、𝒀分别在线段𝑨𝑪、𝑩𝑪内，𝒁在𝑩𝑨的延长线上，设△𝑨𝑩𝑫的垂心为𝑯，证明：
𝑩𝑯的中点在△𝑷𝑸𝑹外接圆和△𝑿𝒀𝒁外接圆的根轴上.
H
B
8、在圆内接四边形𝑨𝑩𝑪𝑫中，𝑨𝑩>𝑩𝑪，𝑨𝑫>𝑫𝑪，𝑰、𝑱分别为△𝑨𝑩𝑪、△𝑨𝑫𝑪的内心.以𝑨𝑪为直径的圆与线段𝑰𝑩交于点𝑿、与𝑱𝑫的延长线交于点𝒀.证明：
若𝑩、𝑰、𝑱、𝑫四点共圆，则点𝑿、𝒀关于直线𝑨𝑪对称.
点𝑷分别在边𝑩𝑪上（𝑵在线段𝑩𝑷上），且满足五边形𝑨𝑴𝑵𝑷𝑸的五条边长相等.记点𝑺为直线
𝑴𝑵和𝑸𝑷的交点，𝒍为∠𝑴𝑺𝑸的角平分线.证明：
𝒍和𝑶𝑰平行.
S
类似定义𝒍𝒃、𝒍𝒄.证明：
直线𝒍𝒂、𝒍𝒃、𝒍𝒄三线共点.
𝑷𝑹、𝑸𝑺把四边形𝑨𝑩𝑪𝑫分为4个四个对角线互相垂直的凸四边形.证明：
𝑷、𝑸、𝑹、𝑺四点共圆.
D
BC
一点𝑴，以𝑫𝑴为直径的圆与𝜴交于除𝑴以外的另一点𝑲，直线𝑴𝑲与𝑩𝑪交于点𝑺，设𝑵为𝑰𝑺的中点，𝑳𝟏、𝑳𝟐为△𝑲𝑰𝑫的外接圆与△𝑴𝑨𝑵的外接圆的交点.证明：
𝑰𝑳𝟏或𝑰𝑳𝟐的中点在𝜴上.
A
I
N
BDCL2S
MK
L1
线（不同于直线𝑩𝑪），交直线𝑬𝑭于点𝑿.类似定义𝒀和𝒁.证明：
𝑿、𝒀、𝒁三点共线.
A
Z
BDC
别交⊙𝑰于𝑴、𝑵，𝑴𝑭与𝑵𝑬交于𝑳.证明：
𝑳在直线𝑩𝑫上.
C
于点𝑱，直线𝑰𝑱不经过点𝑶，且与边𝑨𝑩、𝑪𝑫的延长线分别交于点𝑷、𝑹，与边𝑩𝑪、𝑫𝑨分别交于点𝑸、𝑺.线段𝑷𝑹、𝑸𝑺的中点分别为𝑴、𝑵.证明：
𝑶𝑴⊥𝑶𝑵.
P
R
边𝑩𝑪上的点，满足𝑷𝑩=
𝑩𝑫
𝟐
.设𝑬在𝑷𝑵上的投影是𝑯，证明：
△𝑩𝑬𝑪的外接圆与△𝑴𝑷𝑯的
外接圆相切.
𝑷𝑪
（）
𝑨𝑪
A
N
ED
H
BMPC
于点𝑿、𝒀、𝒁、𝑻.过𝑨、𝑩的圆𝜴与圆𝜞外切于𝑺.证明：
𝑺𝑷⊥𝑺𝑻.
直线𝑫𝑨于𝒀′，交直线𝑨𝑪于𝒁，交直线𝑩𝑫于𝒁′.已知以上六点在𝒍上按照𝑿、𝒀、𝒁、𝑿′、𝒀′、𝒁′的顺序排列.证明：
以𝑿𝑿′、𝒀𝒀′、𝒁𝒁′为直径的三个圆共点.
作与⊙𝑶内切，与线段𝑪𝑫、𝑨𝑫相切的⊙𝑱.证明：
若𝑨、𝑩、𝑰、𝑱四点共圆，则𝑫是三角形𝑨𝑩𝑪中的
∠𝑨𝑪𝑩内旁切圆在𝑨𝑩上的切点.
20、设⊙𝑶𝟏与⊙𝑶𝟐交于𝑷、𝑸两点，过𝑷作两条割线𝑨𝑩、𝑪𝑫，过𝑸作两条平行割线𝑨′𝑩′、𝑪′𝑫′，取△𝑷𝑨𝑪、△𝑷𝑩𝑫、△𝑸𝑩′𝑫′、△𝑸𝑨′𝑪′的九点圆圆心𝑭𝟏、𝑭𝟐、𝑭𝟑、𝑭𝟒.证明：
四边形𝑭𝟏𝑭𝟐𝑭𝟑𝑭𝟒是矩形.
A'
CD'
21、设⊙𝑶是四边形𝑨𝑩𝑪𝑫的内切圆.𝑨𝑪、𝑩𝑫交于𝑷，𝑰、𝑱分别是△𝑨𝑩𝑪、△𝑨𝑫𝑪的内心，
𝑶𝑷，𝑰𝑱交于𝑲，𝑻是𝑲在𝑩𝑫上的射影.证明：
𝑰、𝑱、𝑷、𝑻四点共圆.
B
D
切圆圆心.在𝑨𝑪边上取点𝑬和𝒀，使得∠𝑨𝑩𝒀=∠𝑪𝑩𝒀，𝑩𝑬⊥𝑨𝑪，在𝑨𝑩边上取点𝑭和𝒁，使得∠𝑨𝑪𝒁=∠𝑩𝑪𝒁，𝑪𝑭⊥𝑨𝑩，直线𝑰𝑩𝑭和𝑰𝑪𝑬交于点𝑷.证明：
𝑷𝑶⊥𝒀𝒁.
IB
IC
射影，𝑲𝑷、𝑩𝑪交于𝑿，𝑴是𝑩𝑪的中点，𝑷′是𝑷关于𝑩𝑪的对称点，𝑲′是𝑲关于𝑴的对称点.𝑷′𝑲′
分别交𝑩𝑪于𝒀，交𝑲𝑷于𝒁.证明：
△𝑿𝒀𝒁的外接圆与△𝑸𝑩𝑪的外接圆相切.
D
长线交于点𝑭，𝑲是△𝑪𝑫𝑭的外接圆与△𝑨𝑫𝑬的外接圆的交点（𝑲≠𝑫）.设∠𝑩𝑨𝑫、∠𝑨𝑩𝑪、
∠𝑩𝑪𝑫、∠𝑨𝑫𝑪的外角平分线分别为𝒍𝑨、𝒍𝑩、𝒍𝑪、𝒍𝑫，𝒍𝑨和𝒍𝑩、𝒍𝑩和𝒍𝑪、𝒍𝑪和𝒍𝑫、𝒍𝑫和𝒍𝑨分别交于点𝑮、𝑯、𝑰、𝑱.△𝑪𝑫𝑭的外接圆中，弧𝑫𝑭（不含𝑪）的中点为𝑸，直线𝑬𝑯与△𝑨𝑬𝑫的外接圆交于另一点𝑴.设𝑮𝑱中垂线与𝑰𝑯中垂线（不重合）交于点𝑷.证明：
𝑷、𝑴、𝑸、𝑲四点共圆.
Q
EK
J
A
D
GM
I
B
PCF
H
的直线围成的三角形的外接圆与⊙𝑶相切.
A
𝑨𝑩上，𝑿′、𝒀′、𝒁′分别是𝑿关于𝑼、𝒀关于𝑽，𝒁关于𝑾的对称点，点𝑿、𝒀、𝒁关于△𝑨𝑩𝑪的密克点为𝑺，点𝑿′、𝒀′、𝒁′关于△𝑨𝑩𝑪的密克点为𝑻.证明：
𝑶𝑺=𝑶𝑻.
A
BX'UXC
𝑪𝑬+𝑪𝑭=𝑨𝑩.△𝑨𝑫𝑭、△𝑩𝑫𝑬、△𝑪𝑬𝑭的外接圆与△𝑨𝑩𝑪外接圆的另一个交点分别为𝑨𝟏、
𝑩𝟏、𝑪𝟏，𝑷是𝑫、𝑬、𝑭关于△𝑨𝑩𝑪的密克点，证明：
𝑷为△𝑨𝟏𝑩𝟏𝑪𝟏的垂心.
A
A1
C1
F
DP
BEC
B1
𝑩𝑪、𝑪𝑨、𝑨𝑩上的射影分别是𝑫、𝑬、𝑭，𝑿、𝒀、𝒁分别是𝑨′关于𝑫、𝑩′关于𝑬，𝑪′关于𝑭的对称点.证明：
△𝑿𝒀𝒁∽△𝑨𝑩𝑪.
𝑨𝑩上一点𝑲满足直线𝑲𝑴平行于点𝑷关于△𝑨𝑩𝑪的西姆松线，设𝑸为外接圆上一点满足
𝑸𝑷∥𝑩𝑪.记弦𝑲𝑸交边𝑩𝑪于点𝑱.证明：
𝑲𝑱=𝑴𝑱.
⊙𝑰于另外的点𝑿、𝒀.设𝑱为△𝑨𝑬𝑭外接圆的另一个交点，△𝑿𝑱𝑰外接圆与⊙𝑰的另一个交点为
𝑺，𝑻在⊙𝑰上满足𝑻𝑺⊥𝑨𝑰，连接𝒀𝑻、𝑿𝑺交于𝑷，直线𝑫𝑷与⊙𝑰的另一个交点为𝑸.证明：
𝑲𝑸是⊙
𝑰的直径.
A
C
点，𝑬𝑭、𝑴𝑵交于𝑺，𝑫𝑺与⊙𝑰的另一个交点为𝑱.证明：
𝑱在△𝑨𝑩𝑪的九点圆上.
A
BC
𝑨𝑩的中点分别为𝑫、𝑬、𝑭，直线𝒍分别交△𝑩𝑰𝑪外接圆、△𝑪𝑰𝑨外接圆、△𝑨𝑰𝑩外接圆于另一点𝑫′、𝑬′、𝑭′，过点𝑿、𝒀、𝒁分别作平行于𝑫𝑫′、𝑬𝑬′、𝑭𝑭′的直线𝒍𝟏、𝒍𝟐、𝒍𝟑.证明：
直线
𝒍𝟏、𝒍𝟐、𝒍𝟑交于一点.
于𝑩𝑪的异侧，过点𝑨′作𝑨′𝑫的垂线，分别与𝑨𝑪、𝑨𝑩交于𝑬、𝑭两点.以𝑬𝑭为底，作底角为𝝅的
𝟔
等腰△𝑬𝑻𝑭，并使得𝑨、𝑻位于𝑩𝑪的异侧.证明：
𝑨𝑻经过△𝑨𝑩𝑪的九点圆圆心.
A
F
BA'CET
D
𝑨𝑩𝑪的顶点𝑩、𝑪所对的旁切圆，𝑷、𝑸分别为𝑰𝑩𝑬，𝑰𝑪𝑭的中点，若𝑫𝑬、𝑫𝑭与𝑰𝑩𝑰𝑪交于点𝑲、𝑱，𝑬𝑱与𝑭𝑲交于点𝑴，𝑷𝑬与△𝑷𝑨𝑪的外接圆交于另一点𝑿，𝑸𝑭与△𝑸𝑨𝑩的外接圆交于另一点𝒀.证明：
𝑩𝒀、𝑪𝑿、𝑨𝑴三线共点.
35、已知凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫内两动点𝑷、𝑸满足∠𝑨𝑷𝑩=∠𝑨𝑸𝑩=∠𝑪𝑷𝑫=∠𝑪𝑸𝑫.证明：
动直线𝑷𝑸要么均经过一个定点，要么相互平行.
36、在凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫中，∠𝑨𝑩𝑪=∠𝑨𝑫𝑪<𝝅，∠𝑨𝑩𝑪、∠𝑨𝑫𝑪的平分线交于点𝑷，并分
𝟐
别与𝑨𝑪交于点𝑬、𝑭，𝑴为𝑨𝑪的中点，𝑩𝑴、𝑫𝑴与△𝑩𝑫𝑷的外接圆分别交于另一点𝑿、𝒀，
𝑬𝑿与𝑷𝒀交于点𝑸.证明：
𝑨𝑪⊥𝑷𝑸.
A
B
D
C
37、凸六边形𝑨𝟏𝑨𝟐𝑨𝟑𝑨𝟒𝑨𝟓𝑨𝟔满足𝑨𝟏𝑨𝟐=𝑨𝟑𝑨𝟒=𝑨𝟓𝑨𝟔，𝑨𝟐𝑨𝟑=𝑨𝟒𝑨𝟓=𝑨𝟔𝑨𝟏，点𝑿、𝒀在凸六边形内部且不重合，点𝑿在𝑨𝟏𝑨𝟐、𝑨𝟑𝑨𝟒、𝑨𝟓𝑨𝟔上的投影分别为𝑿𝟏、𝑿𝟐、𝑿𝟑，点𝒀在
𝑨𝟐𝑨𝟑、𝑨𝟒𝑨𝟓、𝑨𝟔𝑨𝟏上的投影分别为𝒀𝟏、𝒀𝟐、𝒀𝟑，且满足𝑿𝑿𝟏=𝑿𝑿𝟐=𝑿𝑿𝟑，𝒀𝒀𝟏=𝒀𝒀𝟐=
𝒀𝒀𝟑.设△𝑿𝟏𝑿𝟐𝑿𝟑、△𝒀𝟏𝒀𝟐𝒀𝟑的欧拉线分别为𝒍𝟏、𝒍𝟐，证明：
𝒍𝟏∥𝒍𝟐.
A4
交于点𝑴，𝑫𝑬与𝑨𝑪相交于点𝑵.证明：
△𝑬𝑴𝑵外接圆与⊙𝑰相切.
A
使𝑨𝑬=𝑩𝑫，𝑪𝑫+𝑪𝑬=𝑨𝑩.记𝑲为𝑩𝑬与𝑨𝑫交点，证明：
𝑲𝑯=𝟐𝑰𝑶.
A
BDC
𝑴为边𝑩𝑪的中点.𝑸、𝑲为圆𝜞上的点，使得∠𝑯𝑸𝑨=∠𝑯𝑲𝑸=𝝅.若点𝑨、𝑩、𝑪、𝑲、𝑸互
𝟐
不相同，且按此顺序排列在𝜞上，证明：
△𝑲𝑸𝑯的外接圆与△𝑭𝑲𝑴的外接圆相切.
𝑨𝑪于𝑬、𝑭，𝑨𝑮交⊙𝑶于𝑲，证明：
𝑨𝑲平分∠𝑬𝑲𝑭.
A
F
E
G
TBC
K
个圆𝝎与射线𝑩𝑨相切（切点不在线段𝑩𝑨上），与射线𝑩𝑪相切（切点不在线段𝑩𝑪上），且与直线𝑨𝑫和直线𝑪𝑫都相切.证明：
圆𝝎𝟏和𝝎𝟐的两条外公切线的交点在圆𝝎上.
𝑨𝑩.延长𝑨𝑷、𝑩𝑷、𝑪𝑷分别交△𝑨𝑩𝑪的外接圆于点𝑫、𝑬、𝑭.证明：
△𝑨𝑷𝑭、△𝑨𝑷𝑬、△𝑩𝑷𝑭、△
𝑩𝑷𝑫、△𝑪𝑷𝑫、△𝑪𝑷𝑬的外接圆圆心六点共圆.
A
D
𝑷𝑨𝑪外接圆的两条外公切线的交点，则
𝑷𝑨
+𝑷𝑩∙𝑷𝑪=𝟏.
（）
𝑿𝒀
𝑨𝑩∙𝑨𝑪
45、在凸四边形𝑨𝑩𝑪𝑫中，∠𝑨𝑩𝑪=∠𝑪𝑫𝑨=𝝅，𝑯是𝑨在𝑩𝑫上的射影，边𝑨𝑩上的𝑺和边𝑨𝑫上
𝟐
的𝑻使𝑯在△𝑺𝑪𝑻内部，∠𝑪𝑯𝑺−∠𝑪𝑺𝑩=𝝅，∠𝑻𝑯𝑪−∠𝑫𝑻𝑪=𝝅，证明：
直线𝑩𝑫和△𝑻𝑺𝑯的
𝟐𝟐
外接圆相切.
A
S
T
HD
B
C
关于点𝑶对称，直线𝑨𝟎𝑴交⊙𝑶于异于点𝑨𝟎的一点𝑿，证明：
△𝑨𝑫𝑿的外接圆与直线𝑩𝑪相切.
X
别与△𝑨𝑷𝑫以及△𝑪𝑷𝑩的内切圆切于点𝑲和𝑳，𝑨𝑪与𝑩𝑫交于点𝑬，𝑨𝑲、𝑩𝑳交于点𝑭.证明：
𝑬、𝑰、𝑭共线.
A
D
B
于点𝑨且与𝝎外切；圆𝜴𝑨与𝜴内切于点𝑨且与𝝎内切.设𝑷𝑨和𝑸𝑨分别是𝝎𝑨和𝜴𝑨的圆心.同样定义𝑷𝑩和𝑸𝑩、𝑷𝑪和𝑸𝑪.证明：
8𝑷𝑨𝑸𝑨∙𝑷𝑩𝑸𝑩∙𝑷𝑪𝑸𝑪≤𝑹𝟑
证明：
𝑫、𝑬、𝑭共线当且仅当𝑶𝑯=𝟐𝑹，其中𝑹为△𝑨𝑩𝑪外接圆半径.
F
O
足𝑷𝑨、𝑷𝑩、𝑷𝑪的长度都保持不变.求△𝑨𝑩𝑪面积的最小值.
A
交𝑪𝑨于𝑴，𝑪𝑲交𝑩𝑨于𝑵.𝑳𝑼切⊙𝑰于𝑼，𝑴𝑽切⊙𝑰于𝑽，𝑵𝑾切⊙𝑰于𝑾.证明：
𝑨𝑼、𝑩𝑽、𝑪𝑾三线共点.
A
BLDC
⊙𝑶于𝑻，𝑴、𝑵分别为𝑨𝑩、𝑨𝑪上一点，使得𝑨𝑴=𝑨𝑵，且𝑴、𝑱、𝑵共线，作△𝑨𝑴𝑵外接圆⊙𝑷，直线𝑩𝑪交⊙𝑷于𝑬、𝑭两点，证明：
∠𝑻𝑴𝑵−∠𝑻𝑵𝑴=∠𝑻𝑬𝑱−∠𝑻𝑭𝑱.
N
53、设△𝑨𝑩𝑪内接于⊙𝑶，𝑯为△𝑨𝑩𝑪的垂心，𝑫为𝑨𝑯上一点，使得∠𝑩𝑫𝑪=𝝅，线段𝑩𝑪中
𝟐
垂线交𝑨𝑩、𝑨𝑪于𝑬、𝑭，𝑷为△𝑨𝑬𝑭外心，𝑲为𝑶𝑷上一点，使得𝑶𝑲=𝑯𝑫，过𝑩、𝑪分别作⊙
𝑶的切线相交于𝑻.证明：
𝑻𝑲=𝑻𝑩+𝑨𝑲.
𝑲𝑷
𝑫𝑨
E
T
𝑩𝑪于另一点𝑮，𝑮𝑳⊥𝑬𝑭交⊙𝑷于另一点𝑳，平面上一点𝑱使得四边形𝑱𝑭𝑲𝑬为平行四边形，𝑯为
△𝑨𝑩𝑪的垂心.证明：
𝑳𝑱平分线段𝑨𝑯.
A
BC
𝑪、𝑫.𝑴、𝑵分别为𝑩𝑪、𝑨𝑫的中点.证明：
𝑸𝑴=𝑩𝑪.
𝑸𝑵𝑨𝑫
L
别切𝑨𝑩、𝑩𝑪于𝑴、𝑵两点，𝑴𝑬、𝑫𝑮交于点𝑳，𝑰为△𝑨𝑩𝑪内心，证明：
𝑨𝑳⊥𝑶𝑰.
D
于𝑻，𝑴为𝑫𝑬中点，以𝑫𝑬为直径作⊙𝑴交⊙𝑶于𝑷、𝑸两点，证明：
∠𝑷𝑻𝑬=∠𝑸𝑻𝑬.
A
OT
P
BC
DF
MQ
E
J
𝑬、𝑭、𝑺、𝑻分别是𝑫𝟏、𝑫𝟐关于直线𝑨𝑩、𝑨𝑪、𝑨𝑷、𝑨𝑸的光路反射点，证明：
𝑬、𝑻、𝑷三点共线当且仅当𝑭、𝑺、𝑸三点共线.
𝑫𝑪𝑷=∠𝑸𝑪𝑩.证明：
√𝑷𝑨∙𝑷𝑪∙𝑸𝑨∙𝑸𝑪+√𝑷𝑩∙𝑷𝑫∙𝑸𝑩∙𝑸𝑫=√𝑨𝑩∙𝑩𝑪∙𝑪𝑫∙𝑫𝑨.
D
A
B
𝑪′𝑩𝟐⊥𝑪𝟏𝑩𝟐.类似定义𝑨′、𝑩′两点.证明：
𝑨𝑨′、𝑩𝑩′、𝑪𝑪′三线共点.
A2
A1
C2B1
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