怎样计算平面图形的面积.docx
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怎样计算平面图形的面积
《数学实验》报告
学院：
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专业班级：
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学号：
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姓名：
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实验名称：
怎样计算平面图形的面积
实验日期：
********
实验四怎样计算平面图形的面积
1．目的：
探索曲线拟合的不同方式，使学生了解泰勒公式的意义，并且对运用定积分计算任意平面图形的面积有更深入的认识。
能初步运用所学数学知识及数学软件工具matlab解决实际问题。
2．任务
1．在同一坐标系内作出区间
上对数函数
及多项式函数
的图像，观察这些多项式函数逼近指数函数的情况。
2．在同一坐标系内作出区间
上正弦函数
及多项式函数
3．假定某天的天气变化，试找出这一天的气温变化规律（求气温关于时间的函数）。
时刻t（x）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
温度oC（y）
15
14
14
14
14
15
16
18
20
22
23
25
28
时刻t（x）
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
温度oC（y）
31
32
31
29
27
25
24
22
20
18
17
16
4．比较这两种方法各自的优点和缺点。
对于给定的数据，运用Matlab及以上两种不同的方法找出相应的多项式，并作出其图像。
你认为哪种方法要好些。
你能不能找到其他的办法解决这个问题。
5．在平面上任意画一条简单光滑闭曲线，求此闭曲线围成的平面图形的面积。
并观察当曲线上取的点逐渐增加时，所求多项式及所求面积值的变化情况。
3．实验过程
1．在同一坐标系内作出区间
上对数函数
及多项式函数
的图像，观察这些多项式函数逼近指数函数的情况。
（1）编制程序绘制出它的图形；
【思路】
使用plot函数在同一坐标中绘出全部曲线，使用legend函数对全部曲线做出注释
【程序】
x=（-1:
0.001:
1）;
y1=log（1+x）;
y2=x;
y3=x-x.^2/2;
y4=x-x.^2/2+x.^3/3;
y5=x-x.^2/2+x.^3/3-x.^4/4;
plot（x,y1,'k',x,y2,'m',x,y3,'g',x,y4,'c',x,y5,'r'）;
legend（'ln（1+x）','x','x-x^2/2','x-x^2/2+x^3/3','x-x^2/2+x^3/3','x-x^2/2+x^3/3-x^4/4'）;
【运行结果】
【分析】
随着多项式级数的增加，多项式逼近拟合的效果越佳
2．在同一坐标系内作出区间
上正弦函数
及多项式函数
【思路】
使用plot函数在同一坐标中绘出全部曲线，使用legend函数对全部曲线做出注释
【程序】
x=（-pi:
0.001:
pi）;
y1=sin（x）;
y2=x-x.^3/factorial（3）;
y3=x-x.^3/factorial（3）+x.^5/factorial（5）;
y4=x-x.^3/factorial（3）+x.^5/factorial（5）-x.^7/factorial（7）;
y5=x-x.^3/factorial（3）+x.^5/factorial（5）-x.^7/factorial（7）+x.^9/factorial（9）;
plot（x,y1,'k',x,y2,'m',x,y3,'g',x,y4,'c',x,y5,'r'）;
legend（'sin（x）','x-x^3/3!
','x-x^3/3!
+x^5/5!
','x-x^3/3!
+x^5/5!
-x^7/7!
','x-x^3/3!
+x^5/5!
-x^7/7!
+x^9/9!
'）;
【运行结果】
【分析】
随着多项式级数的增加，多项式逼近拟合的效果越佳
3．假定某天的天气变化，试找出这一天的气温变化规律（求气温关于时间的函数）。
时刻t（x）
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
温度oC（y）
15
14
14
14
14
15
16
18
20
22
23
25
28
时刻t（x）
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
温度oC（y）
31
32
31
29
27
25
24
22
20
18
17
16
（方法一）拉格朗日插值法
【程序】
%原始数据-下边界曲线
X1=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24;15,14,14,14,14,15,16,18,20,22,23,25,28,31,32,31,29,27,25,24,22,20,18,17,16];
t1=X1（1,:
）;%横坐标
y1=X1（2,:
）;%竖坐标
fori=1:
length（X1）%计算范德蒙矩阵
b（i,1）=1;
forj=2:
length（X1）
b（i,j）=X1（1,i）.^（j-1）;
end;
end
a1=inv（b）*X1（2,:
）';%解方程组
fori=1:
25%调整
h1（i）=a1（26-i）;
end
s=0:
0.1:
24;%绘图-横坐标
k1=polyval（h1,s）;%绘图-竖坐标
plot（s,k1,'b.'）%绘图-拉格朗日插值曲线
holdon
holdon
plot（t1,y1,'r.','MarkerSize',18）
【运行结果】
（方法二）ployfit[]
有专门处理这类问题的函数ployfit[],下面就是用这个函数处理给定数据的结果：
【程序】
X=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24;15,14,14,14,14,15,16,18,20,22,23,25,28,31,32,31,29,27,25,24,22,20,18,17,16];
n=18;
f=polyfit（X（1,:
）,X（2,:
）,n）;
s=X（1,1）:
0.01:
X（1,length（X））;
k=polyval（f,s）;
plot（s,k,'b-'）
holdon
plot（X（1,:
）,X（2,:
）,'r.','MarkerSize',18）
holdoff
【运行结果】
4．比较这两种方法各自的优点和缺点。
对于给定的数据，运用Matlab及以上两种不同的方法找出相应的多项式，并作出其图像。
你认为哪种方法要好些。
你能不能找到其他的办法解决这个问题。
【分析】
1.最小二乘法主要考虑到观测数据受随机误差的影响，
寻求整体误差最小、较好反映观测数据的近似函数，并不保证所得函数一定满足
2.
拉格朗日插值：
要求函数在每个观测点处一定要满足
所以在给定的在所给点较多时选用最小二乘法较好，因为拉格朗日插值法所拟合曲线是由点的个数确定的，点越多其拟合多项式次数越高，但这样可能就越不准确。
而且曲线除了中部拟合得还算可以，在两端会产生振荡。
3.使用polyfit函数法可以比较好地解决以上问题。
5．在平面上任意画一条简单光滑闭曲线，求此闭曲线围成的平面图形的面积。
并观察当曲线上取的点逐渐增加时，所求多项式及所求面积值的变化情况。
【分析】
设下边界的函数为y=（x-4）^2,
上边界的函数设为y=-（x-4）^2+32,
下边界取点
（0,16）,（1,9）,（2,4）,（3,1）,（4,0）（5,1）（6,4）,（7,3,）（8,16）
上边界取点（0,16）,（1,23）,（2,28）,（3,31）（4,32）（5,31）（6,28）（7,23）（8,16）
【程序】
%定以拟合函数对所取的点进行拟合
functionnihe（X,n）
f=polyfit（X（1,:
）,X（2,:
）,n）;
s=X（1,1）:
0.01:
X（1,length（X））;
k=polyval（f,s）;
plot（s,k,'b-'）
holdon
plot（X（1,:
）,X（2,:
）,'r.','MarkerSize',18）
holdoff
【拟合上下边界函数】
在命令窗口输入：
X1=[0,1,2,3,4,5,6,7,8;
16,9,4,1,0,1,4,9,16];
X2=[0,1,2,3,4,5,6,7,8;
16,23,28,31,32,31,28,23,16];
nihe（X1,5）
holdon
nihe（X2,5）
得到如下图形：
计算图形面积代码如下：
f1=inline（'x.^2-8*x+16','x'）
q1=quadl（f1,0,8）
f2=inline（'-x.^2+8*x+16','x'）
q2=quadl（f2,0,8）disp（['图像面积为',num2str（q2–q1）]）
运行结果为：
f1=
Inlinefunction:
f1（x）=x.^2-8*x+16
q1=
42.6667
f2=
Inlinefunction:
f2（x）=-x.^2+8*x+16
q2=
213.3333
图像面积为170.6667
理论计算为128*（-2/3）+256=170.6667=运行结果
经观察，随着点取得越多，拟合效果越好，，计算所得的图形面积越精确。
4．实验总结与思考
经过这次实验，我学会了运用matlab的一些功能去求图形的面积，学会用包括拉格朗日插值法等方法去绘制曲线，也认识到各种方法存在的问题，希望以后继续努力，取得更大的进步。
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