实变函数与复变函数的联系和区别.doc
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学号：
本科毕业论文
学院数学与信息科学学院
专业数学与应用数学
年级2011级
姓名
论文题目实变函数与复变函数的联系和区别
指导教师职称教授
2015年4月30日
目录
摘要 1
关键词 1
Abstract 1
KeyWords 1
0前言 1
1实变函数与复变函数定义、性质的区别和联系 2
1.1实变函数与复变函数二者建立的函数空间的区别和联系 2
1.2实变函数与复变函数关于极限概念的区别和联系 2
1.3实变函数与复变函数中的导数 4
1.4实变函数与复变函数关于可微的关系 5
1.5解析函数零点的孤立性与解析函数的惟一性 6
1.6解析函数的无穷可微性 7
1.7实变函数与复变函数中的初等函数性质 7
2实变函数与复变函数关于定理的区别和联系 8
2.1实变函数与复变函数关于中值定理的区别和联系 8
2.2实变函数与复变函数中的最值原理 9
参考文献 10
实变函数与复变函数的联系和区别
学生姓名：
学号：
数学与信息科学学院数学与应用数学专业
指导老师：
职称：
教授
摘要：
作为《数学分析》的后续课程，《复变函数论》与《实变函数论》是微积分学的深入和发展，是现代数学的基础之一，也是数学专业的重要基础课.尽管实变函数中的许多结论可以推广到复变函数中，但由于复变函数的定义域和值域都是二维平面，因此它们的证明思想和方法有很大的差异.本文就其二者在一些方面的联系和区别进行了总结，从而能更深刻理解知识点.
关键词：
实变函数；复变函数；解析函数；中值定理
TheRelationandDistinctionbetweenRealVariableFunctionandComplexFunction
Abstract:
Assubsequentcoursesofmathematicalanalysisandimportantbasiccoursesofspecializedmathematics,complexvariablefunctiontheoryandrealvariablefunctiontheory,whichisoneofthefoundationofmodernmathematicsaccompanywiththedevelopmentofcalculus.Althoughmanyconclusionsoftherealvariablefunctioncanbeappliedtothecomplexfunction,whosedomainofdefinitionandrangeareaplane,thelineandmethodofproofintheirconclusionshavegreatdifference.Inthispaper,therelationanddistinctionbetweentheminseveralaspectsaresummarized,whichcanbeutilizedformoreprofoundunderstandingrelevantknowledge.
Keywords:
Realvariablefunction;Complexfunction;Analyticfunction;Meanvaluetheorem
0前言
复变函数的研究对象是定义域为复数的函数的微积分，还有幂级数展开等性质，可以理解为复变函数的《数学分析》.实变函数论是一种比较高深精细的理论，其应用很广泛，代表现代数学的特征，同时作为数学分析的基本工具，其观点和方法对拓扑学和泛函分析等分支有着极其重要的影响.实变函数论的研究对象是较可导函数更为广泛的函数类：
可测函数论.二者的函数变量由实数扩充到复数，从对复数的概念及实函数的具体研究来看，复变函数与实变函数的一些定义、性质既有区别又有联系.
1实变函数与复变函数定义、性质的区别与联系
1.1实变函数与复变函数二者建立的函数空间的区别和联系
实变函数是以实数为变量的函数，其值域也是实数，并且可以在同一个二维平面内表示出一元实函数的图像，即表示出函数的定义域和值域；而复变函数是在复数域的基础上研究的另一类函数，其定义域和值域只能在二维空间上表示，且函数图像也不容易表示出来.总之，二者所建立的函数空间不一样.当然对于二元实函数来说，由于,复变函数的实部和虚部都是,的函数，由此可以把复变函数看作是两个二元实变函数的有序组合，从这一点也说明复变函数是实变函数的推广和发展.
1.2实变函数与复变函数关于极限概念的区别和联系
1.2.1实变函数的极限定义
趋于时的函数的极限
设函数在点的某个空心邻域内有定义，为实数.若对任给的>0，存在正数（<），使得当时有
则称函数当趋于时以为极限，记作
或
趋于时函数的极限
设函数为定义在上的函数，为定数.若对任给的>0，存在正数（），使得当时有
，
则称函数当趋于时以为极限，记作
或
1.2.2复变函数的极限定义
趋于时的函数的极限
设函数=于点集上有定义，为的聚点.如存在一复数，使对任给的>0，有>0，只要，，就有
，
则称函数沿于有极限，并记为
或
趋于时函数的极限
设函数在无界区域或闭区域上有定义，为一个有限的复常数，若对任给的>0，可以找到一个复常数，使得当，时，有
则称函数当时极限为，并记为
或
由于复变函数的定义与数学分析中一元实变函数的极限定义相似，因此实变函数中的一些性质可以推广到复变函数中去：
（1）若函数极限存在，其极限必惟一；
（2）若函数、沿点集在点有极限，则它们的和、差、积、商（在商的情形下，必须满足分母的极限不为零）沿点集在点依然有极限，并且其极限值等于函数、在点的极限值的和、差、积、商.
同时，在实函数中：
当时，仅仅沿着的左右两个方向逐渐逼近，从而使得；当时，同样也仅仅沿着实数轴的两个方向逐渐逼近，对充分大的正数而言，当>时，就有.而在复变函数中：
当时，为点集的一个聚点，在点集上，要沿着从四面八方通向的任何路径趋于；当时，同样要沿着从四面八方通向的任何路径趋于.显然对复变函数极限存在的要求相比实变函数要苛刻得多.
不过，无论是二元实变函数还是复变函数，当点或依某一特定方式趋于某一点或时，函数虽有极限存在，但不足以说明它在该点就有极限存在.只有当函数或在一点或的极限存在的条件下，才能使或依某种特定的方式趋于或简单地求得此极限.因与,从复数的实数对形式看，二者是一样的.在这个性质上，单复变函数的极限与二元实函数的极限相似.
1.3实变函数与复变函数中的导数
1.3.1实变函数的导数
设函数=在点的某邻域内有定义，若极限
存在，
则称函数在处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作[2].
1.3.2复变函数的导数
设函数w=在点的邻域内或包含的区域内有定义，考虑比值（）
如果当按任意方式趋于时，即当按任意方式趋于零时，比值的极限都存在，且其值有限，则称此极限为函数在点的导数，并记为，即
这时称函数于点可导[1].
式的极限存在要求与趋于零的方式无关，对于函数的这一限制，要比对于实变量的实值函数的类似限制严的多.事实上，实变函数导数存在性的要求意味着：
当点由左及右两个方向趋于时，比值的极限都存在且相等.而复变函数导数存在性的要求意味着：
当点沿连接点的任意路径趋于点时，比值的极限都存在，并且这些极限都相等.
同时，和导数的情形一样，复变函数的微分定义，形式上与实变函数的微分定义一致.
1.3.3复变函数的微分定义
设[1]函数在点可导，于是
即是
其中为比高阶的无穷小.
称为在点的微分，记为或，此时也称在点可微.即
；
特别，当=时，=.于是式变为，即
由此可知：
在点可导与在点可微是等价的，并且若函数在点可微，则在点连续.但函数在点连续却不一定在点可微.并且在复变函数中，处处连续又处处不可微的函数几乎随手可得，比如=，，及等等.而在实变函数中，要构造一个这样的函数就不是容易的事.
1.4实变函数与复变函数关于可微的关系
一个复变函数可以表示为实部和虚部的形式，即
，.
由复变函数可微的充要条件[1]：
设函数在区域内有定义，则在内一点可微的充要条件是
（1）二元函数，在点可微；
（2），在点满足柯西-黎曼方程（简记为C.-R.）.
若关于可微，可以推到出两个二元实函数，关于可微，但反过来，若的实部和虚部关于可微却不能推出关于可微，还需满足关于及的偏微分方程组，即
，（柯西-黎曼方程）
1.5解析函数零点的孤立性与解析函数的惟一性
复变函数研究的对象为解析函数，即某一区域内点可导的函数.解析性是比可导性更强的性质，复变函数中解析函数零点的孤立性与解析函数的惟一性是较实变函数更强的性质.
1.5.1解析函数的零点孤立性定理
在内的解析函数不恒为零，为其零点，则必有的一个邻域，使得在其中无异于的零点[1].（简单说来就是：
不恒为零的解析函数的零点必是孤立的.）
然而一个实变可微函数的零点不一定是孤立的，例如实变函数[3]
在点可微，在实轴上其他地方也处处可微，且以为一个零点.但也是它的零点，并以为聚点.所以尽管这里函数不恒为零，而却不是一个孤立零点.
1.5.2解析函数的惟一性定理
设[1]在区域内解析函数和在内的某一子区域（或一小段弧）上相等，则它们必在区域内相等.
惟一性定理揭示了解析函数一个非常深刻的性质，函数在区域内的局部值确定了函数在区域内整体的值，即局部与整体之间有着十分紧密的内在联系，然而实变函数却不具备这样的性质.
例如实变函数[6]
,
显然，，都是实数轴上的可导函数，且当时，,
但在整个定义域实数轴上，.
1.6解析函数的无穷可微性
设函数在平面上的区域内解析，则在内具有各阶导数，并且它们也在内解析.由函数在区域内解析（仅只假设其导数在内存在），就推出了其各阶导数在内存在且连续。
对单连通区域内的解析函数来说，具有无穷可微性，但对区间上的一元实可微函数而言，在此区间上不一定有二阶导数，更谈不上有高阶导数了，这一点是难以保障的.
对于刘维尔（Liouville）定理[1]：
有界整函数必为常数也即非常数的整函数必无界，其逆命题也真，但对实变量函数来说，这个性质显然不成立.比如实变函数[4]，等尽管在实数轴上处处可导且有界，但却不是常值函数.
1.7实变函数与复变函数中的初等函数性质
一元实函数的基本初等函数主要包括：
幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数等.其中指数函数和对数函数互为反函数，三角函数和反三角函数互为反函数，并且三角函数有明确的几何意义.对于复变函数来说，复三角函数由复指数函数定义得到，即，，但实指数函数与实三角函数没有这个关系.复指数函数为周期函数，以为基本周期，而实指数函数是单调递增函数.虽然复三角函数仍是以为周期的奇函数，仍是以为周期的偶函数，并遵从通常的三角恒等式：
但在复数域内不能再断言
，
例如，取，则
只要充分大，就可以大于任一预先给定的正数.
对于一些初等多值函数如复对数函数，它是实对数在复数域内的推广，在实数范围内，负数不能取对数，而在复数范围内，任一个非零复数都有无穷多个对数，负数只是没有实对数，在实数域内“负数无对数”的说法，在复数域内是不成立的.但可修改为“负数无实对数，且正实数的复对数也是无穷多值的”.
对数函数的基本性质
很容易像在实数域中证明它们在复数域中成立.
2实变函数与复变函数关于定理的区别和联系
2.1实变函数与复变函数关于中值定理的区别和联系
微（积）分中值定理是微积分学中的重要内容，包括Rolle中值定理，Lagrange中值定理和Cauchy中值定理等.关于中值定理，在实变函数中成立，却在复变函数中不成立.
2.1.1微分中值定理在复数域中不成立
Lagrange中值定理在复数域中不成立[7]
比如设=，，，则有，，显然连接和的线段上的任意一点，都不可能使得等式成立，即Lagrange中值定理不成立.
罗尔（Rolle）中值定理在复数域中不成立
虽然在平面上，（为整数），但，，即不满足罗尔（Rolle）中值定理.
但洛必达法则[4]：
若及在点解析，且，，则，在复平面上却是成立的.
2.1.2积分中值定理在复数域中不成立
比如由
，
而[1]，即可看出：
实变函数的积分中值定理不能直接推广到复积分上来.
2.2实变函数与复变函数中的最值定理
实函数在闭区间上连续，则必可取得最大（小）值，而且最值既可以在区间内部也可以在区间端点处取得，但对于复函数若在区域内解析且恒不为常数，那么、、都不会在区域D内部取得最大值.
参考文献
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高等教育出版社，2004年.
[2]庞学诚，吴畏，柴俊等.数学分析[M].第四版.北京：
高等教育出版社，2009年.
[3]钟玉泉.复变函数学习指导书[M].北京：
高等教育出版社，1995年.
[4]王玉玉，王健波.复变函数论全程导学及习题全解[M].第三版.北京：
中国时代经济出版社，
2008.3
[5]方企勤.复变函数教程[M].北京：
北京大学出版社，1996年
[6]王绵森.复变函数学习辅导与习题选解[M].第四版.北京：
高等教育出版社,2003,5
[7]孙清华,赵德修.西安交通大学复变函数习题解析[M].武汉：
华中科技大学出版社,2001
[8]铁勇.大学生学习实变函数的困音和教学改革的探讨[J].曲靖师范学院学报.2011
[9]兰尧尧.实变函数课程教学初探[J].重庆文理学院学报.2010
9
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