高中数学必修五第三章《不等式》32一元二次不等式及其解法 第2课时.docx
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高中数学必修五第三章《不等式》32一元二次不等式及其解法第2课时
第2课时 一元二次不等式及其解法
学习目标
1.会解可化为一元二次不等式（组）的简单分式不等式.2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.
知识点一 分式不等式的解法
思考
>0与（x－3）（x＋2）>0等价吗？
将
>0变形为（x－3）（x＋2）>0，有什么好处？
答案 等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式.
梳理 一般的分式不等式的同解变形法则：
（1）
>0⇔f（x）·g（x）>0；
（2）
≤0⇔
（3）
≥a⇔
≥0.
知识点二 一元二次不等式恒成立问题
思考 x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是什么？
区间[2,3]与不等式x－1>0的解集有什么关系？
答案 x－1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y＝x－1在区间[2,3]上的图象恒在x轴上方.区间[2,3]内的元素一定是不等式x－1>0的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x－1>0的解集的子集.
梳理 一般地，“不等式f（x）>0在区间[a，b]上恒成立”的几何意义是函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象全部在x轴上方.区间[a，b]是不等式f（x）>0的解集的子集.
恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：
k≥f（x）恒成立⇔k≥f（x）max；
k≤f（x）恒成立⇔k≤f（x）min.
知识点三 含参数的一元二次不等式的解法
思考 解不等式－x2＋3x－2<0第一步需要干什么？
解ax2＋3x－2<0呢？
答案 解－x2＋3x－2<0，第一步先把二次项系数化为正数：
x2－3x＋2>0.
解ax2＋3x－2<0，由于不知道a的正负，故需要分a>0，a＝0，a<0讨论.
梳理 解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R还是∅.
在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论.
1.由于
>0等价于（x－5）（x＋3）>0，故y＝
与y＝（x－5）（x＋3）图象也相同.（×）
2.x2＋1≥2x等价于（x2＋1）min≥2x.（×）
3.对于ax2＋3x＋2>0，当a＝1时与a＝－1时，对应的不等式是两个独立的不等式，所以解集也是相对独立的，不能求并集.（√）
类型一 分式不等式的解法
例1 解下列不等式：
（1）
<0；
（2）
≤1.
考点 分式不等式的解法
题点 分式不等式的解法
解
（1）
<0⇔（2x－5）（x＋4）<0⇔－4，
∴原不等式的解集为
.
（2）∵
≤1，∴
－1≤0，∴
≤0，即
≥0.
此不等式等价于（x－4）
≥0且x－
≠0，
解得x<
或x≥4，
∴原不等式的解集为
.
反思与感悟 分式不等式的解法：
先通过移项、通分整理成标准型
>0（<0）或
≥0（≤0），再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母即可.
跟踪训练1 解下列不等式.
（1）
≥0；
（2）
>1.
考点 分式不等式的解法
题点 分式不等式的解法
解
（1）原不等式可化为
解得
∴x<－
或x≥
，
∴原不等式的解集为
.
（2）方法一 原不等式可化为
或
解得
或
∴－3，
∴原不等式的解集为
.
方法二 原不等式可化为
>0，
化简得
>0，即
<0，∴（2x＋1）（x＋3）<0，
解得－3.
∴原不等式的解集为
.
类型二 不等式恒成立问题
例2 设函数f（x）＝mx2－mx－1.
（1）若对于一切实数x，f（x）<0恒成立，求m的取值范围；
（2）对于x∈[1,3]，f（x）<－m＋5恒成立，求m的取值范围.
考点 一元二次不等式恒成立问题
题点 一元二次不等式在区间上恒成立
解
（1）要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0，满足题意；
若m≠0，则
即－4（2）方法一 要使f（x）<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
就要使m
2＋
m－6<0在x∈[1,3]上恒成立.
令g（x）＝m
2＋
m－6，x∈[1,3].
当m>0时，g（x）在[1,3]上是增函数，
∴g（x）max＝g（3）＝7m－6<0，∴0；
当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g（x）在[1,3]上是减函数，
∴g（x）max＝g
（1）＝m－6<0，得m<6，∴m<0.
综上所述，m的取值范围是
.
方法二 当x∈[1,3]时，f（x）<－m＋5恒成立，
即当x∈[1,3]时，m（x2－x＋1）－6<0恒成立.
∵x2－x＋1＝
2＋
>0，
又m（x2－x＋1）－6<0，∴m<
.
∵函数y＝
＝
在[1,3]上的最小值为
，∴只需m<
即可.
综上所述，m的取值范围是
.
引申探究
把例2
（2）改为：
对于任意m∈[1,3]，f（x）<－m＋5恒成立，求实数x的取值范围.
解 f（x）<－m＋5，即mx2－mx－1<－m＋5，
m（x2－x＋1）－6<0.
设g（m）＝m（x2－x＋1）－6.
则g（m）是关于m的一次函数且斜率
x2－x＋1＝
2＋
＞0.
∴g（m）在[1,3]上为增函数，要使g（m）<0在[1,3]上恒成立，只需g（m）max＝g（3）<0，
即3（x2－x＋1）－6<0，x2－x－1<0，
方程x2－x－1＝0的两根为x1＝
，x2＝
，
∴x2－x－1<0的解集为
，
即x的取值范围为
.
反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种
（1）考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大（小）值，从而建立参变量的不等式.
（2）若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数（如一次函数、二次函数），并结合图象建立参变量的不等式求解.
跟踪训练2 当x∈（1,2）时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________.
考点 一元二次不等式恒成立问题
题点 一元二次不等式在区间上恒成立
答案 （－∞，－5]
解析 构造函数f（x）＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，
则f（x）在[1,2]上的最大值为f
（1）或f
（2）.
由于当x∈（1,2）时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立.
则有
即
可得
所以m≤－5.
类型三 含参数的一元二次不等式
例3 解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1<0.
考点 一元二次不等式的解法
题点 含参数的一元二次不等式的解法
解 当a<0时，不等式可化为
（x－1）＞0，
∵a<0，∴
<1，∴不等式的解集为
.
当a＝0时，不等式可化为－x＋1<0，解集为{x|x＞1}.
当a＞0时，不等式可化为
（x－1）<0.
当0＞1，不等式的解集为
.
当a＝1时，不等式的解集为∅.
当a＞1时，
<1，不等式的解集为
.
综上，当a<0时，解集为
；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当0；
当a＝1时，解集为∅；
当a＞1时，解集为
.
反思与感悟 解含参数的不等式，可以按常规思路进行：
先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论.
跟踪训练3 解关于x的不等式（x－a）（x－a2）<0.
考点 一元二次不等式的解法
题点 含参数的一元二次不等式的解法
解 当a<0或a＞1时，有a当0当a＝0或a＝1时，原不等式无解.
综上，当a<0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a当0当a＝0或a＝1时，解集为∅.
1.若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A.m≥2B.m≤－2
C.m≤－2或m≥2D.－2≤m≤2
考点 一元二次不等式恒成立问题
题点 一元二次不等式在R上恒成立问题
答案 D
解析 由题意，得Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2.
2.不等式
≥0的解集为（ ）
A.[1,2]B.（－∞，1]∪[2，＋∞）
C.[1,2）D.（－∞，1]∪（2，＋∞）
考点 分式不等式的解法
题点 分式不等式的解法
答案 D
解析 由题意可知，不等式等价于
∴x>2或x≤1.
3.当不等式x2＋x＋k>0恒成立时，k的取值范围为________.
考点 一元二次不等式恒成立问题
题点 一元二次不等式在R上恒成立问题
答案
解析 由题意知Δ<0，即1－4k<0，
得k>
，即k∈
.
4.解关于x的不等式：
x2＋（1－a）x－a<0.
考点 一元二次不等式的解法
题点 含参数的一元二次不等式的解法
解 方程x2＋（1－a）x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.
因为函数y＝x2＋（1－a）x－a的图象开口向上，所以
①当a<－1时，原不等式的解集为{x|a②当a＝－1时，原不等式的解集为∅；
③当a>－1时，原不等式的解集为{x|－11.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式（组）求解.当不等式含有等号时，分母不为零.
2.对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然，这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到以下简单结论
（1）若f（x）有最大值f（x）max，则a>f（x）恒成立⇔a>f（x）max；
（2）若f（x）有最小值f（x）min，则a3.含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑
（1）关于不等式类型的讨论：
二次项系数a>0，a<0，a＝0.
（2）关于不等式对应的方程根的讨论：
两根（Δ>0），一根（Δ＝0），无根（Δ<0）.
（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：
x1>x2，x1＝x2，x1一、选择题
1.不等式
≥2的解集是（ ）
A.
B.
C.
D.
考点 分式不等式的解法
题点 分式不等式的解法
答案 D
解析
≥2⇔
⇔
∴不等式的解集为
.
2.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈（0,1]恒成立，则m的最大值为（ ）
A.1B.－1
C.－3D.3
考点 一元二次不等式恒成立问题
题点 一元二次不等式在区间上恒成立
答案 C
解析 由已知可得m≤x2－4x对一切x∈（0,1]恒成立，
又f（x）＝x2－4x在（0,1]上为减函数，
∴f（x）min＝f
（1）＝－3，
∴m≤－3，
∴m的最大值为－3.
3.设a<－1，则关于x的不等式a（x－a）
<0的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
考点 一元二次不等式的解法
题点 含参数的一元二次不等式的解法
答案 A
解析 ∵a<－1，
∴a（x－a）
<0⇔（x－a）·
>0.
又a<－1，∴
>a，
∴x>
或x∴不等式的解集为
.
4.若a＞0，b＞0，则不等式－b<
A.
B.
C.
D.
考点 分式不等式的解法
题点 分式不等式的解法
答案 A
解析 原不等式
即
可得
故不等式的解集为
.
5.不等式mx2－ax－1>0（m>0）的解集可能是（ ）
A.
B.R
C.
D.∅
考点 一元二次不等式的解法
题点 含参数的一元二次不等式解法
答案 A
解析 因为Δ＝a2＋4m>0，
所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，
又m>0，所以原不等式的解集不可能是B，C，D，故选A.
6.对任意a∈[－1,1]，函数f（x）＝x2＋（a－4）x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是（ ）
A.13
C.12
考点 一元二次不等式恒成立问题
题点 一元二次不等式在区间上恒成立
答案 B
解析 设g（a）＝（x－2）a＋（x2－4x＋4），
g（a）＞0恒成立且a∈[－1,1]
⇔
⇔
⇔x<1或x>3.
7.若关于x的方程x2＋（a2－1）x＋a－2＝0的一根比1小且另一根比1大，则a的取值范围是（ ）
A.（－1,1）B.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
C.（－2,1）D.（－∞，－2）∪（1，＋∞）
考点 一元二次不等式的解法
题点 根的分布
答案 C
解析 令f（x）＝x2＋（a2－1）x＋a－2，
依题意得f
（1）<0，即1＋a2－1＋a－2<0，
∴a2＋a－2<0，∴－28.对于任意实数x，不等式（a－2）x2－2（a－2）x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，2）B.（－∞，2]
C.（－2,2）D.（－2,2]
考点 一元二次不等式的解法
题点 含参数的一元二次不等式的解法
答案 D
解析 当a－2≠0时，
即
解得－2当a－2＝0时，－4<0恒成立，
综上所述，－2二、填空题
9.若不等式ax2＋2ax－（a＋2）≥0的解集是∅，则实数a的取值范围是__________.
考点 一元二次不等式的解法
题点 含参数的一元二次不等式的解法
答案 （－1,0]
解析 当a＝0时，－2≥0，解集为∅，满足题意；
当a≠0时，a满足条件
解得－110.不等式
≥1的解集为________.
考点 分式不等式的解法
题点 分式不等式的解法
答案
解析 因为
≥1等价于
≥0，所以
≤0，等价于
解得－4.
11.若不等式（a2－1）x2－（a－1）x－1<0的解集为R，则实数a的取值范围是________.
考点 一元二次不等式恒成立问题
题点 一元二次不等式在R上恒成立问题
答案
解析 ①当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1.
若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立，满足题意.
若a＝－1，则原不等式为2x－1<0，
即x<
，不合题意，舍去.
②当a2－1≠0，即a≠±1时，
原不等式的解集为R的条件是
解得－
综上，a的取值范围是
.
12.若方程x2＋（m－3）x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是________.
考点 “三个二次”间对应关系的应用
题点 由“三个二次”的对应关系求参数值
答案 （0,1]
解析 由题意得
解得0三、解答题
13.已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（α，β），且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.
考点 一元二次不等式的解法
题点 含参数的一元二次不等式的解法
解 方法一 由题意可得a＜0，且α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴由根与系数的关系得
∵a＜0,0＜α＜β，
∴由②得c＜0，
则cx2＋bx＋a＜0可化为x2＋
x＋
＞0.
①÷②，得
＝
＝－
＜0.
由②得
＝
＝
·
＞0.
∴
，
为方程x2＋
x＋
＝0的两根.
又∵0＜α＜β，
∴0＜
＜
，
∴不等式x2＋
x＋
＞0的解集为
，
即不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为
.
方法二 由题意知a＜0，
∴由cx2＋bx＋a＜0，得
x2＋
x＋1＞0.
将方法一中的①②代入，
得αβx2－（α＋β）x＋1＞0，
即（αx－1）（βx－1）＞0.
又∵0＜α＜β，
∴0＜
＜
.
∴所求不等式的解集为
.
四、探究与拓展
14.关于x的不等式组
的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围.
考点 一元二次不等式的解法
题点 含参数的一元二次不等式的解法
解 ∵－2是2x2＋（2k＋5）x＋5k<0的解，
∴2（－2）2＋（2k＋5）（－2）＋5k＝k－2<0.
∴k<2，－k>－2>－
，
∴2x2＋（2k＋5）x＋5k＝（x＋k）（2x＋5）<0的解集为
，
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