高中数学必修五第三章《不等式》32一元二次不等式及其解法 第2课时Word下载.docx

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答案　解－x2＋3x－2<

0，第一步先把二次项系数化为正数：

x2－3x＋2>

0.

0，由于不知道a的正负，故需要分a>

0，a＝0，a<

0讨论.

梳理　解含参数的一元二次不等式，仍可按以前的步骤，即第一步先处理二次项系数，第二步通过分解因式或求判别式来确定一元二次方程有没有根，第三步若有根，区分根的大小写出解集，若无根，结合图象确定解集是R还是∅.

在此过程中，因为参数的存在导致二次函数开口方向、判别式正负、两根大小不确定时，为了确定展开讨论.

1.由于

0等价于（x－5）（x＋3）>

0，故y＝

与y＝（x－5）（x＋3）图象也相同.（×

）

2.x2＋1≥2x等价于（x2＋1）min≥2x.（×

3.对于ax2＋3x＋2>

0，当a＝1时与a＝－1时，对应的不等式是两个独立的不等式，所以解集也是相对独立的，不能求并集.（√）

类型一　分式不等式的解法

例1　解下列不等式：

<

（2）

≤1.

考点　分式不等式的解法

题点　分式不等式的解法

解　

（1）

0⇔（2x－5）（x＋4）<

0⇔－4<

x<

，

∴原不等式的解集为

.

（2）∵

≤1，∴

－1≤0，∴

≤0，即

此不等式等价于（x－4）

≥0且x－

≠0，

解得x<

或x≥4，

反思与感悟　分式不等式的解法：

先通过移项、通分整理成标准型

0（<

0）或

≥0（≤0），再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负，直接去分母即可.

跟踪训练1　解下列不等式.

≥0；

1.

解　

（1）原不等式可化为

解得

∴x<

－

或x≥

（2）方法一　原不等式可化为

或

∴－3<

方法二　原不等式可化为

0，

化简得

0，即

0，∴（2x＋1）（x＋3）<

解得－3<

类型二　不等式恒成立问题

例2　设函数f（x）＝mx2－mx－1.

（1）若对于一切实数x，f（x）<

0恒成立，求m的取值范围；

（2）对于x∈[1,3]，f（x）<

－m＋5恒成立，求m的取值范围.

考点　一元二次不等式恒成立问题

题点　一元二次不等式在区间上恒成立

解　

（1）要使mx2－mx－1<

0恒成立，

若m＝0，显然－1<

0，满足题意；

若m≠0，则

即－4<

m<

0.∴－4<

m≤0.

（2）方法一　要使f（x）<

－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，

就要使m

2＋

m－6<

0在x∈[1,3]上恒成立.

令g（x）＝m

m－6，x∈[1,3].

当m>

0时，g（x）在[1,3]上是增函数，

∴g（x）max＝g（3）＝7m－6<

0，∴0<

；

当m＝0时，－6<

0恒成立；

当m<

0时，g（x）在[1,3]上是减函数，

∴g（x）max＝g

（1）＝m－6<

0，得m<

6，∴m<

综上所述，m的取值范围是

方法二　当x∈[1,3]时，f（x）<

－m＋5恒成立，

即当x∈[1,3]时，m（x2－x＋1）－6<

0恒成立.

∵x2－x＋1＝

又m（x2－x＋1）－6<

0，∴m<

∵函数y＝

＝

在[1,3]上的最小值为

，∴只需m<

即可.

引申探究

把例2

（2）改为：

对于任意m∈[1,3]，f（x）<

－m＋5恒成立，求实数x的取值范围.

解　f（x）<

－m＋5，即mx2－mx－1<

－m＋5，

m（x2－x＋1）－6<

设g（m）＝m（x2－x＋1）－6.

则g（m）是关于m的一次函数且斜率

x2－x＋1＝

＞0.

∴g（m）在[1,3]上为增函数，要使g（m）<

0在[1,3]上恒成立，只需g（m）max＝g（3）<

即3（x2－x＋1）－6<

0，x2－x－1<

方程x2－x－1＝0的两根为x1＝

，x2＝

∴x2－x－1<

0的解集为

即x的取值范围为

反思与感悟　有关不等式恒成立求参数的取值范围，通常处理方法有两种

（1）考虑能否进行参变量分离，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大（小）值，从而建立参变量的不等式.

（2）若参变量不能分离，则应构造关于变量的函数（如一次函数、二次函数），并结合图象建立参变量的不等式求解.

跟踪训练2　当x∈（1,2）时，不等式x2＋mx＋4<

0恒成立，则m的取值范围是________.

答案　（－∞，－5]

解析　构造函数f（x）＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，

则f（x）在[1,2]上的最大值为f

（1）或f

（2）.

由于当x∈（1,2）时，不等式x2＋mx＋4<

则有

即

可得

所以m≤－5.

类型三　含参数的一元二次不等式

例3　解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1<

考点　一元二次不等式的解法

题点　含参数的一元二次不等式的解法

解　当a<

0时，不等式可化为

（x－1）＞0，

∵a<

0，∴

1，∴不等式的解集为

当a＝0时，不等式可化为－x＋1<

0，解集为{x|x＞1}.

当a＞0时，不等式可化为

（x－1）<

当0<

a<

1时，

＞1，不等式的解集为

当a＝1时，不等式的解集为∅.

当a＞1时，

1，不等式的解集为

综上，当a<

0时，解集为

当a＝0时，解集为{x|x＞1}；

1时，解集为

当a＝1时，解集为∅；

当a＞1时，解集为

反思与感悟　解含参数的不等式，可以按常规思路进行：

先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论.

跟踪训练3　解关于x的不等式（x－a）（x－a2）<

0或a＞1时，有a<

a2，此时，不等式的解集为{x|a<

a2}；

1时，有a2<

a，此时，不等式的解集为{x|a2<

a}；

当a＝0或a＝1时，原不等式无解.

0或a＞1时，原不等式的解集为{x|a<

1时，原不等式的解集为{x|a2<

当a＝0或a＝1时，解集为∅.

1.若不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是（　　）

A.m≥2B.m≤－2

C.m≤－2或m≥2D.－2≤m≤2

题点　一元二次不等式在R上恒成立问题

答案　D

解析　由题意，得Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2.

2.不等式

≥0的解集为（　　）

A.[1,2]B.（－∞，1]∪[2，＋∞）

C.[1,2）D.（－∞，1]∪（2，＋∞）

解析　由题意可知，不等式等价于

∴x>

2或x≤1.

3.当不等式x2＋x＋k>

0恒成立时，k的取值范围为________.

答案　

解析　由题意知Δ<

0，即1－4k<

得k>

，即k∈

4.解关于x的不等式：

x2＋（1－a）x－a<

解　方程x2＋（1－a）x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.

因为函数y＝x2＋（1－a）x－a的图象开口向上，所以

①当a<

－1时，原不等式的解集为{x|a<

－1}；

②当a＝－1时，原不等式的解集为∅；

③当a>

－1时，原不等式的解集为{x|－1<

a}.

1.解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式（组）求解.当不等式含有等号时，分母不为零.

2.对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然，这必须以参数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到以下简单结论

（1）若f（x）有最大值f（x）max，则a>

f（x）恒成立⇔a>

f（x）max；

（2）若f（x）有最小值f（x）min，则a<

f（x）恒成立⇔a<

f（x）min.

3.含参数的一元二次型的不等式

在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑

（1）关于不等式类型的讨论：

二次项系数a>

0，a<

0，a＝0.

（2）关于不等式对应的方程根的讨论：

两根（Δ>

0），一根（Δ＝0），无根（Δ<

0）.

（3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：

x1>

x2，x1＝x2，x1<

x2.

一、选择题

1.不等式

≥2的解集是（　　）

A.

B.

C.

D.

解析　

≥2⇔

⇔

∴不等式的解集为

2.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈（0,1]恒成立，则m的最大值为（　　）

A.1B.－1

C.－3D.3

答案　C

解析　由已知可得m≤x2－4x对一切x∈（0,1]恒成立，

又f（x）＝x2－4x在（0,1]上为减函数，

∴f（x）min＝f

（1）＝－3，

∴m≤－3，

∴m的最大值为－3.

3.设a<

－1，则关于x的不等式a（x－a）

0的解集为（　　）

B.

D.

答案　A

解析　∵a<

－1，

∴a（x－a）

0⇔（x－a）·

又a<

－1，∴

a，

或x<

a.

4.若a＞0，b＞0，则不等式－b<

a的解集为（　　）

解析　原不等式

故不等式的解集为

5.不等式mx2－ax－1>

0（m>

0）的解集可能是（　　）

B.R

D.∅

题点　含参数的一元二次不等式解法

解析　因为Δ＝a2＋4m>

所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，

又m>

0，所以原不等式的解集不可能是B，C，D，故选A.

6.对任意a∈[－1,1]，函数f（x）＝x2＋（a－4）x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是（　　）

A.1<

3B.x<

1或x>

3

C.1<

2D.x<

2

答案　B

解析　设g（a）＝（x－2）a＋（x2－4x＋4），

g（a）＞0恒成立且a∈[－1,1]

⇔x<

3.

7.若关于x的方程x2＋（a2－1）x＋a－2＝0的一根比1小且另一根比1大，则a的取值范围是（　　）

A.（－1,1）B.（－∞，－1）∪（1，＋∞）

C.（－2,1）D.（－∞，－2）∪（1，＋∞）

题点　根的分布

解析　令f（x）＝x2＋（a2－1）x＋a－2，

依题意得f

（1）<

0，即1＋a2－1＋a－2<

∴a2＋a－2<

0，∴－2<

8.对于任意实数x，不等式（a－2）x2－2（a－2）x－4<

0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A.（－∞，2）B.（－∞，2]

C.（－2,2）D.（－2,2]

解析　当a－2≠0时，

解得－2<

2.

当a－2＝0时，－4<

综上所述，－2<

a≤2.

二、填空题

9.若不等式ax2＋2ax－（a＋2）≥0的解集是∅，则实数a的取值范围是__________.

答案　（－1,0]

解析　当a＝0时，－2≥0，解集为∅，满足题意；

当a≠0时，a满足条件

解得－1<

0.综上可知，a的取值范围是（－1,0].

10.不等式

≥1的解集为________.

解析　因为

≥1等价于

≥0，所以

≤0，等价于

解得－4<

x≤

11.若不等式（a2－1）x2－（a－1）x－1<

0的解集为R，则实数a的取值范围是________.

解析　①当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1.

若a＝1，则原不等式为－1<

0，恒成立，满足题意.

若a＝－1，则原不等式为2x－1<

即x<

，不合题意，舍去.

②当a2－1≠0，即a≠±

原不等式的解集为R的条件是

解得－

综上，a的取值范围是

12.若方程x2＋（m－3）x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是________.

考点　“三个二次”间对应关系的应用

题点　由“三个二次”的对应关系求参数值

答案　（0,1]

解析　由题意得

解得0<

m≤1.

三、解答题

13.已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（α，β），且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.

解　方法一　由题意可得a＜0，且α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，

∴由根与系数的关系得

∵a＜0,0＜α＜β，

∴由②得c＜0，

则cx2＋bx＋a＜0可化为x2＋

x＋

①÷

②，得

＝－

＜0.

由②得

·

∴

为方程x2＋

＝0的两根.

又∵0＜α＜β，

∴0＜

＜

∴不等式x2＋

＞0的解集为

即不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为

方法二　由题意知a＜0，

∴由cx2＋bx＋a＜0，得

x2＋

x＋1＞0.

将方法一中的①②代入，

得αβx2－（α＋β）x＋1＞0，

即（αx－1）（βx－1）＞0.

∴所求不等式的解集为

四、探究与拓展

14.关于x的不等式组

的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围.

解　∵－2是2x2＋（2k＋5）x＋5k<

0的解，

∴2（－2）2＋（2k＋5）（－2）＋5k＝k－2<

∴k<

2，－k>

－2>

∴2x2＋（2k＋5）x＋5k＝（x＋k）（2x＋5）<