高等数学上册典型例题精选集合doc.docx

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最新高等数学上册典型例题精选集合

第一章函数

例1求函数/（x）

亦+1的定义域。

|X|+兀—1

解:

2x>0

|x|+兀一1工0

解之得5呜，即定义域为:

[0丄）5：

+oo）。

22

例2已知于（兀）,求于[/（兀）]的定义域。

1+X

解：

由W右，得心讣世

1x+l

=■二,

1X+2

1+-

1+x

故所求定义域为兀H—1,兀H-2的全体实数。

例3求函数y=ln吐竺的定义域°

a-bx

解：

解不等式凹£>0,当°,〃同号时吐工>0的解为|x\<^

a-bxa-bxb

当a"异号时兰丈竺〉0的解为|x|<-£・

a-bxb

故所求的定义域为:

|x|<|y|.

b

例4设f（x）=x,g（x）=y[x^,问f（x）和g（x）是否表示同一函数？

解：

值域不同。

当xvO时，对应规律不同，故为不同的函数。

Y~—1一

例5设/（x）=，g（x）=x+1，问f（x）和g（x）是否表示同一函数？

x-\

解：

定义域不同，故表示不同的函数。

例6证明；若函数丿=/（x）,（-oo,-|-oo）的图形关于直线x=a和x二b（b>a）

对称，则f（x）为周期函数。

证明：

由于函数y二f（x）关于直线x=a对称，因此，对于任意的x皆有

/（兀）=f\a+S一x）l=f（2a一兀），

又函数y二f（X）关于直线X=b对称，因此有

f（2a-x）=f[h+（/?

-2^z+x）]=/（[x+2（b-a）],

可知，对于任意的x皆有/（x）=/fx+2（Z>-a）],B卩f（x）是以2（b・a）为周期的函数。

例7设f（x）是以正数g为周期的周期函数，且已知当0vxSa时，f（x）=x\试求周期函数/（X）.

解：

设兀=u+na,其中uw（O,aJ,xe（na,（w4-l）a],（n=0,±1,±2,…）

由周期函数的定义得/（x）=/（u）,u=x-na,且/（«）=于是得

/（x）=（x-（〃0,（川+1）4],（川=0,±1,±2,…）

例8已知定义在[0,4]上的函数/（兀）=3",先把它延拓到卜4,0],使它成为偶函数，然后再把已延拓到卜4,4]上的函数延拓到整个实数轴上，使其成为以8位周期的函数。

解：

由题设，由偶函数的定义，延拓到卜4,4]上的偶函数是

g（x）=

3X

3一'

0

其次,因周期是&故由条件g（x）=g（x-8k）,keZ,知,

当8*

h（x）=g（x-8k）=3x~sk,

而当8k-4

h（x）=g（x-8k）=3~（x-8k）,

（nx-8*

3-

8*

8k-4

1\xx<0

f（x）=-（x+\x\\g（x）=<2求/[g（X）]。

2[x^x>0

解：

x<0

x>0

ftg（x）]=l:

[gM

g（x）vOgW>0

x<0

x>0

例10已知/G）当x>0时的表达式为ex-\,试确定/（兀）当XV0时的

表达式，使它在（-8,+°°）内：

（1）为奇函数。

（2）为偶函数。

解：

（1）由奇函数的定义：

/（x）=-/（-x）,当xvO时，—x>0,于是

/（X）=-/（-X）=—（旷大—1）=—厂+10

（2）rh偶函数的定义：

/（X）=/（-X）,当XV0时，-X>o,于是

/（兀）=/（一兀）=厂一1。

\2x0

例11设/（x）=\g（x）=\nx.0

[x^1

解：

因为B]={x|0

2Inxxe[l,e]n（0,g）J21nxxe[l.e]

In"xxgO,w]c（0,+oo）hrxxe（e.e^]

例12设/（X）=y|x'":

验证f{f[/M]}=i.0|X|>1

解：

由题设，对任意的x,0

例13设函数g（x）=\

x+2

x<0

x>0

/（x）=

"<：

求&[子（兀）]・

x>0

解：

首先写出以f（x）为自变量的函数g[f（x）].得

g[f（x）]=

2-mo

/（x）+2

x<0x>Q"

由f（x）的定义域知，兀》0时，/（x）=-x0,代

入得

g[/（x）]=

2+x

x2+2

x>0x<0"

x<0

x<0

，求

/V（x）]，g[g（x）]J[g（QLg[/（x）]・

W：

g[g（x）]=

0

-rw

g（x）<0

g（X）>0

=O.（vVx,g（x）<0）

0

g（"）

g（x）<0

g（AT）>0

=.0（•・•Vx,g（x）<0）

g[f（x）]=<

0

-/2W

f（x）<0J0f（x）>0~\-x2

x<0

x>0

=gM.

又解：

当x<0时，g（x）=0,从而

/[/（X）]=/（O）=0;g[g（x）]=g（O）=0;

f\g（兀）1=/（o）=0;g\/（x）]=g（0）=0

当兀>0时，/（x）=x,g（x）=-x2,从而

=/（x）=x;g[g（x）]=g（-x2）=0;

=/（-x2）=0;g[/（x）]=g（x）=-x2.

综上所述得同上结果。

XX<1

例15求函数y=lx2l

2X4

解：

由丁=X,—ooV兀V1得兀=”一8

综上所述得其反函数为

XX<1

y=

logj16

例16证明：

若函数j=/（x）,（-ooa）对称，则函数/（兀）是线性函数与周期函数的和，特别地,若Jo=Ji时，于（兀）是周期函数。

证明：

因为y=/（x）,（-oo

/（2a-x）=2j0-/（x）

（1）

又由于y=/（x）,（-oo

（2«-x,2j0-/（x））及

（1）式推得

f[x^2（b-a）]=2y}-[2j0-/（x）]

（2）

设/（兀）=£（兀）+三二色工，⑶

b-a

下面证明g（x）是以2（b-a）为周期的函数。

因为gM=f（x）-y,~y°x,根据

（2）式得

b-a

g[x+2（b-a）]=/[x4-2（b-a）]-牛主“+2（b-a）]

b-a

=2丿1一2几+/（工）一~兀一2（丿]一Jo）

b-a

=fM一y（）x=g（x）.

b-a

由此可见g（Q是以2（*-a）为周期的函数，根据（3）即知函数/（x）是

线性函数与周期函数的和。

特别地，y0=时，/（x）=g（x）是周期函数。

例17容器屮装有A,B,C三个阀，在每分钟内，A,B分别流入20升、25升水，C流出80升水，若A开放5分钟后开放B,B开放10分钟后开放C,求容器中水量与吋间t的函数关系，并绘11!

它的图形。

解：

设阀门A开放t分钟末时容器中的水量为y,则得

20/0

20x5+（20+25）（/-5）5

丿=<100+45x10+（45—80）（/—15）15

20/

0

45/-125）5<^<15

J=1-35/+1075）15

0Z>30-

7

第二章极限与连续

例1对于数列{兀“},若x2jt_1ta,（ktoo）,x2kta,（kt8），证明

无“TCl,（/7T8）

证明：

X/£>0,

因为tq,仗too）,所以存在正整数K「当k>Kx时，有

Ix2k_}-a\<£

（1）

因为X2kTci,伙too）,所以存在正整数K2，当k>K2时，有

|x2k-a\<£

（2）

取N=max{2K|-1,2心},则当斤>N时，

（1）、

（2）同时成立。

若处{2k—l}/>Nn2K]-l>K],-a\

若fiw{2k},n>N>2K2>K2,\xn—a\

所以\/£>0,MN,当n>N时，|兀〃-g|v£成立，

由定义得XriTd,（/2—>g）。

例2设X],X2,••-是使不等式0V兀“V1,（1-％）x“+]>*,（〃二1,2,…）

成立的任何实数，证明：

limxn=—・

“too"2

证明：

因为/?

x（l-x）<一，因此（l-xH）xM<（l-xn）xw+1,又由

4

xnv1知，1-xn>0,所以xn<兀“+|,故数列{兀”}单调递增维向量

有上界1,故limxn存在。

设limxn=a，则rtl（1-xn）xn+i>丄知,a必满

/1T8〃T84

足（\-a）a»丄，于是必有a=—,B|JlimxH=—・

422

vIwx]

仮ij3lim-.

“Toon

解:

因为磁一1v[赵]

nn

i・[nx]

lim二x.

/1T8If

lim

71T8

PT

nl

解：

因为nl<工p!

<（n-2）（n-2）!

+（t?

-1）!

+/:

!

<2（〃-1）!

+〃!

p=l

ZP!

PT

nl

25-1）!

门n\

lim

“Too

/I

2>!

nl

1.

例5利用定义证明limVx+4=3o

兀t5

证明：

任给£>0,因为

|厶+4-3|二

（J兀+4+3）（J兀+4—3）

厶+4+3

丨兀-5|

Jx+4+3

丿兀-5|

_3

（—4

要使|血一32只要号“，即A5Z就可。

故取6=3e,当Ov|x—5|v》时，|Jx+4—3|V£成立。

所以

lim厶+4=3

xt5

例6设/（%）=<

px4-1X〉0

，问Q取何值时，lim/（x）存在?

x+ax<0x->°

解：

因limf（x）=lim（x+a）=a,limf（x）=lim（（?

v+1）=2,xtO~x->0~入tO*xtO*

故当ci=2时，limf（x）=limf（x）,即limf（x）存在。

XT（）-xtO'XTO

例7设lim（fct+b-丄二’）=0,求常数R和b。

XTsX+1

+1

解：

因为lim（也+b——）

XT8兀厶+1

恤伙一1）/+加2+也+—1

XT8+1

按有理分式当XTOO时的计算公式，若要上式右端的极限为零，必须分子中的X3,%2的系数为零，故k=l,b=O。

X+1）

例8设lim（ax-b）=-y求常数a"的值。

心8兀+12

兀+1?

解：

lim（ax-b）=lim（x-ldax-b）

xT8x+1—1+x

=lim[（l一a）x-\_b]

XT81+x

要使上述极限等于丄，必需且只需1一a二0-1-b=-.H卩a二l,b二一。

222

例9已知lim"、+""+〃=2,求a,b°XT2x2-x-2

+z7V+h

解：

因为limU2-x-2）=0且lim—=2,存在，所以

XT2xt2x--x-2

lim（x2+ar+b）=0,即4+2a+b=0（A）

xt2

x1+ax+b（x-2）（x+2+a）兀+2+a4+a

又2=lim=lim=lim=

xt2x2-x-222（x-2）（兀+1）兀t2%+13

得a=2,代入（A）得b=-S.故得a=2,b=-S

例10己知lim

XT8

兀+c、

x

=4（c工0）,求c。

n-c丿

解：

因为

lim

JVT8

"兀+cY

lim（^^£

YT8x-C

）x=lim（1+

2c

上匚）云

x-c丿

x-c

=e2c=4

所以c=ln2

解：

令+则当xt0时，fTl。

Jx+1—1十—1[•/?

+/+]3

lim—t=—=lim—=lim=—

“to"兀+1—1—I厂_i3r+12

例12求亦長一罷+R

XT/

解：

lim仮一严+曲

・TTa+«/“2一八2

x-aI

I—-j=+a/兀一d

lim七+也

J（X+d）（X-d）

x—>a

y!

x-a*]

=lim低+丽二

XT"

Jx+Cl

..y[x-4a+y/x-a

lim1

XT/./□Z?

4x-4ay/x-a

lim/•+lim,•

jVx2-a25

x2-a2

x-a

lim

"T"（V^+V^）v兀彳—a

=+lim/

入"Qx+a

=lim—y=7=―/+lim/=

（心++q2/Qx+a

2cosvxc

例13设/（x）=\f~,其中0c是已知常数，问:

\ax+bx>c

（1）当cHO时，应选g为何值，使/（x）为连续函数?

（2）

若c=0,则a,b应为何值，/（x）为连续函数?

解：

（1）a

2cosc-b

C

（2）b'

=2卫为任意值。

x3-l

例14求函数/（%）=兀’的连续区间、间断点及其类型。

A,x=\.

乂3_i

解：

tlim/（x）=lim-=lim（x2+x+1）=3,

XTlXT1X~\XTl

A=3时，lim/（x）=/（l）,

x->l

F-l

从而/（X）在兀=1处连续。

又因为兀Hl时，/（X）=-—为有理分式，

x-\

在（―,1）及（1,+8）内连续。

所以当A=3时，/（兀）的连续区I'可为

（_oo,+oo）；

当AH3时，vlim/（x）f（x）在兀=1处间断，连续区间为

XT】

（—00,1）及（l,+oo）。

X=1为可去间断点。

（分段函数的分段点是函数可能的间断点）

的连续区间。

例"函数畑（—2）

解:

定义域为（-00,1）U（1,2）0（2,+oo）,即XH1,2.为无穷间断点，故函数的连续区间为:

（-00,1）>（1,2）、（2,+oo）.

（初等函数的连续区间就是有定义的区间）

例16求极限limx[丄].

”T°X

解：

因为—lv[——,

XXX

当x>0时,有1-x

xxto*x

当x<0时,limx[—]=1

x

所以limx[丄]=1.

"TOX

又解:

因为兀[丄]=x[--（-）],（丄）为丄的小数部分，取极限即得。

X兀兀XX

例17设/（x）=sin-,证明对于满足条件-1<«<1的任何a,皆可造出

X

序列xnT0,（n=1,2,…）,使lim/（xn）=a.

〃T8

Jl

解：

Vag[-1,1],令兀。

=arcsina,

o§彳，即有sin"。

令七=-"=12…）显然有七tO"=12…）,并且

+x0

=sin—=sin（2兀龙+x0）=sinx0=a.兀“

因此有

\imf（xn）=a.

〃T8

例18设/（兀）在[a,b]±连续,且f（a）b,证明至少存在一点

ce[a.h],使/（c）=c0

证明：

设F（x）=f（x）-x,

例17己知函数f（x）在[0,1]±非负连续，且f（O）=f（l）=O„则对任一实数

Z,（0vZv1）,必有实数c,（05c51）,使/（c）=/（c+Z）.

证明：

作函数F（x）=/（x）-/（x+Z）,则

F（0）=/（0）-/（/）<0F（l-Z）=/（0）-/（I）=/（1-/）>0

若F（0）=0,则c=0即为所求，若F（l-Z）=0,则c=1一2即为所求。

若F（0）H0,F（l—/）工0,则F（0）v0,F（l—/）>0,对连续函数F（x）,由介值定理，存在0vcvl—Zvl,使F（c）=/（c）—/（c+2）=0,即

存在ce[0,l-Z],使/（c）=/（c+2）.

例18设函数f（x）在[a,b]上连续，且f（a）=f（b）,证明一定存在长度为耳的区间[。

0]u[«,&],使f（a）=/（/?

）,即在区间S,字]上一定存在C,使/（c）=/（c+~）.

b—a

证明：

令F（x）=/（x）-/（x+）.对F（x）用介值定理即可。

2

例19设n为自然数，函数f（x）是[0,n]上的连续函数，且f（0）=f（n）,则一定存

在a,a+lw[0刖,使子（a）=/（a+1）.

证明：

令g（x）=f（x+1）-/（x）,则g（x）是[0,n・l]上的连续函数,且

JI-1

i>（Q=m）-/（o）=o,

k=（）

记M（g）=max[g（x几加（g）=min[g（兀儿则

0

加（g）Wg（R）5M（g）,（R=0」2・・・/一1）

m（g）<—

In—I

gS）=—》g伙）=0,即由g（a）=f（a+1）-/（a）=0,所以

IIk=0

/（a）=/（a+l）.

例20lim寸cosj^xtO*

解：

属于“广”型，令長=$,

1Icosy-1ilimVcosVx=lim（cosy）'=1im[1+（cosy-1）|cosV_1'=e2

xt0・xtO，xt（?

例21lim（sin—+cos—）n

“thnn

n

解：

lim（sin—+cos—）rt=lim[（sin—+cos—）2]"T+oon/I

sin—

2%—2兀sin—

升T+

H—

=lim（1+sin——）2=lim[（1+sin——）八]"n

例22lim（Jx+y[x一J7）

A-»+oo

解：

lim（V%+Vx-Vx）=lim

x—>+cox—>4-00

（Jx+Vx-Vx）（vx+Vx+Vx）

lim.

AT+°°J*坂+VX

例23lim

XT+8

xcosx

=o,

lim^-sinn!

=0,

“T+oo”+l

例24设lim/（x）存在，且/（兀）=x2+2兀lim/（兀）,求/（x）・

XT1兀一＞1

解:

设lim/（x）=A,则/（x）=_?

+2曲,两边取xtI时的极限，得XT1

A=]+2A9可得A=-1,故f（x）=x2-2x.

例25设/（兀）连续可导，且f（x）=Inx+£f{x）dx-/z（l）,求/（兀）・解：

设A=^f（x）dx,B=fX\\则/（x）=lnx+A-B,有

A=£f{x）dx=£（In兀+A-B）dx=1+（A-B）（e-1）,

B=/z（l）=（Inx+A-BY|,=I=1,得A=1,所以/（x）=lnx

例26设当xtO时，与兀“是同阶无穷小，则兀二[5]

例27

第三章导数与微分

例1设/（x）=（x-a）g（x），且g（x）在x=a连续，求f\a）0

解:

因为g（x）在x=a连续，故limg（x）=g（a）,又

x—^a

f\a）二lin/E—弘）二limH-0二恤&⑴二的°

XT。

x—ax—ax^a

注意：

下面的解法是错误的。

因为/'⑴=[（x-a）g（x）]'=g（兀）+（兀一d）g'（x）

所以.厂⑺）=g（d）+（a-d）g'（a）=g（o）。

因为题中并未假定g（x）可导。

例2设f（x）=\8Msm~“°,且g（0）=g'（0）=0,证明0x=0

广（0）=0o

证明：

y'（0）=limfE_=limg（x）-g（0）sin丄=0。

Z）x-0Z）x-0x

例3设/（劝在兀。

可导，证明

lim用。

+弘）-弘。

-旳=（a+b）f（Xo）

力toh

证明：

lim/（xo+^）-/（xo-Z^）

A->0h

=Hm/（兀0+ah）一/（兀。

）+/（心）一/（兀。

一bh）

/?

toh

lim

D

Ilim汕几兀。

+（""）】-/（"（））//-»（）

—b・h

=（Q+/?

）/©（））

例4a,b为何值时，函数/（x）=X~］在兀=1处连续且可导?

ax+bx>1

解：

a=—\.b=2

例5设以2为周期的函数/（X）在（-oo,,+oo）可导，且

XT（）2x

求曲线y=/（X）在点（3,/（3））处切线的斜率。

解：

向『⑴一/（I“）=丄］im/【I+（5一/⑴显门1）=一1,

52x2"-x2

即.厂

（1）=一2,

又因为/（x+2）=/（x）,所以广（兀+2）=广⑴，从而

r（3）=