小学数学思想方法.docx
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小学数学思想方法
小学数学思想方法的梳理（转载三）
七、分类讨论思想
1.分类讨论思想的概念。
人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。
其实质是把问题“分而治之、各个击破、综合归纳”。
其分类规则和解题步骤是：
（1）根据研究的需要确定同一分类标准；
（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗的说就是要做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类逐级进行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。
分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适应于各种科学的研究；同时也是数学领域问题较常用的思想方法。
2.分类讨论思想的具体应用。
分类讨论思想在小学数学的学习中有很多应用，例如从宏观的方面而言，小学数学可以分为数与代数、空间与图形、统计与概率和实践与综合应用四大领域。
从比较具体的知识来说，几大领域的知识又有很多分支，例如小学数学的认知范围实际上是在有理数范围内，有理数可以分为整数和分数，整数又可以分为正整数、零、和负整数、整数根据它的整除性又可以分为偶数和奇数。
正整数又可以分为1、素数和合数。
小学数学中分类讨论思想的应用如下表。
思想方法
知识点
应用举例
分类讨论思想
分类
一年级上册物体的分类，渗透分类思想、集合思想
数的认识
数可以分为整数、0、负数
有理数可以分为整数和分数（小数是特殊的分数）
整数的性质
整数可以分成奇数和偶数
正整数可以分为1、素数和合数
图形的认识
平面图形中的多边形可以分为：
三角形、四边形、五边形、六边形……
三角形按角可以分为：
锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
三角形按边可以分为：
不等边三角形、等腰三角形，其中等腰三角形又可以分为等边三角形和腰与底边不相等的等腰三角形
四边形按对边是否平行可以分为：
平行四边形、梯形和两组对边都不平行的四边形
统计
数据的分类整理和描述
排列组合
分类讨论是小学生了解排列组合思想的基础
概率
排列组合是概率计算的基础
植树问题
先确定是几排树，再确定每排树的情况：
两端都不栽、一端栽一端不栽、两端都栽
抽屉原理
构建抽屉实际上是应用分类标准，把所有元素进行分类
4..分类讨论思想的教学。
如前所述，分类讨论思想在小学数学中占有比较重要的地位，而且应用比较广泛。
在教学中应注意一下几点。
第一，在分类单元的教学中，注意渗透分类思想和集合思想，一方面是一般物体的分类，如柜台上的商品、文具等；另一方面要注意从数学的角度分类，如立体图形、平面图形、数的认识和运算等。
同时注意渗透集合的思想，就是说当把某些属性相同的物体放在一起，作为一个整体，就可以看作一个集合。
第二，在三大领域知识的教学中注意经常性地渗透分类思想和集合思想，如平面图形和立体图形的分类、数的分类。
第三，注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思想，如排列组合、概率的计算、抽屉原理等问题经常运用分类讨论思想解决。
第四，在统计与概率知识的教学中，渗透分类的思想。
现实生活中数据丰富多彩，很多时候需要把收集到的数据进行分类整理和描述，从而有利于分析数据和综合地做出推断。
第五，注意让学生体会分类分类的目的和作用，不要为了分类而分类。
如对商品和物品的分类是为了便于管理和选购，对数学知识和方法进行分类，是为了更深入地研究问题、理解知识、优化解决问题的方法。
第六，注意有关数学规律在一般条件下的适用性和特殊条件下的不适用性。
也就是说有些数学规律在一般情况下成立，在特殊情况下不成立；而这种特殊性在小学数学里往往被忽略，长此以往，容易造成学生思维的片面性。
如在小学里经常有争议的判断题：
如果5a＝2b，那么a:
b=2:
5；有人认为是对的，有人认为是错的。
严格来说，这道题是错的，因为这里没有规定a和b不等于0。
之所以产生分歧，是因为在小学数学里有一个不成为的规定：
在讨论整数的性质时，一般情况下不包括0。
这种约定是为了避免麻烦，有一定道理；但是这样就造成了在解决有关问题时产生分歧，而且不利于培养学生思维的严密性，尤其是学生进入初中后的学习中，经常会因为解决问题不全面、忽略特殊情况而出现低级错误。
案例2：
任意给出4个两两不等的整数，请说明：
其中必有两个数的差是3的倍数。
分析：
任意一个整数除以3，余数只有三种可能：
0、1和2。
运用分类思想，构造这样的三个抽屉：
除以3余数分别是0、1和2的整数。
根据抽屉原理，必有一个抽屉里至少放了两个数。
这两个数除以3的余数相等，设这两个数分别为3m+r和3n+r（m、n都是整数），他们的差事3（m-n），必是3的倍数。
八、统计思想
1．统计思想的概念。
现实生活中有大量的数据需要分析和研究，如人口数量、物价指数、商品合格率、种子发芽率等等。
有时需要对所有的数据进行全面调查，如我国为了掌握人口的真实情况，曾经进行过全国人口普查。
一般情况下不可能也不需要考察所有对象，如物价指数、商品合格率等，就需要采取抽样调查的方法收集和分析数据，用样本来估计总体，从而进行合理的推断和决策，这就是统计的思想方法。
在统计里主要有两种估计方法：
一是用样本的频率分布估计总体的分布，二是用样本的数据特征（如平均数、中位数和众数）估计总体的数据特征。
2．统计思想的具体应用。
在小学数学中，统计思想的应用大体上可分为两种：
一是统计作为四大领域知识中的一类知识，安排了很多独立的单元进行统计知识的教学；二是在学习了一些统计知识后，在其他领域知识的学习中，都不同程度地应用了统计知识，作为知识呈现的载体和解决问题的方法进行教学。
因而，统计思想在小学数学中的应用是比较广泛的。
小学数学中统计的知识点主要有：
象形统计图、単式统计表、复式统计表、单式条形统计图、复式条形统计图、单式折线统计图、复式折线统计图、扇形统计图、平均数、中位数、众数等。
这些知识作为学习统计的基础是必须掌握的，但更重的是能够根据数据的特点和解决问题的需要选择合适的统计图表或者统计量来描述和分析数据、做出合理的预测和决策。
另外，在小学阶段，由于计算难度的制约，解决一些统计问题时选定的样本容量往往较少，这时我们要注意这样的统计推断是否可信。
如把一个班级50人作为一个样本进行调查收集数据，进而对全年级甚至同龄人进行估计，要注意50人的数据是否具有代表性。
如果调查50人的身高、体重、血型、鞋子号码、服装型号分布等等可能是合适的。
如果调查50人出生的月份分布情况，以此来推断全年级甚至同龄人出生的月份，出现差错的可能性会大一些。
因为一年有12个月，50人平均下来每个月也就4到5人，容量太小代表性就差。
第四，对有关概念应正确理解，应注重知识的应用，避免单纯的数据计算和概念判断。
如平均数、中位数和众数的联系和区别，这三个统计量到底在什么条件下适用，一直困扰着很多老师。
另外，有些老师喜欢在一些概念上纠缠，而不是关注知识的应用和实际意义，如让学生找出下面一组数据的众数：
758484898992929698。
这样的问题没有什么现实意义，不如给一组联系实际的数据，让学生去思考用什么量数作为该组数据一般水平的代表，更有意义。
平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势的量数，代表一般水平。
平均数能反映全体数据的信息，任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，比较敏感，因而应用比较普遍；缺点是易受极端值的影响。
日常生活和研究领域的统计数据，多数都选择平均数作为代表值。
如我们国家和地方统计部门经常公布的人均产值、人均收入、物价指数等等，都是应用平均数作为代表值。
中位数处于中间水平，不受极端值的影响，运算简单，在一组数据中起分水岭的作用；缺点是不能反映全体数据的情况，可靠性较差。
众数不受极端数据的影响，运算简单，当要找出适应多数需要的数值时，常用众数；缺点是不能反映全体数据的情况，可靠性较差。
众数可能不唯一，甚至有时没有。
这三个统计量有着各自的特点和适用的条件，可以根据研究和解决问题的需要来选择；与中位数和众数比较而言，平均数可以反映更多的样本数据全体的信息。
然而他们三则并不是一种完全排斥的关系，特殊情况下这三个统计量或者其中的两个统计量都有可能成为一组数据一般水平的代表。
如学生的考试成绩往往服从正态或者近似正态分布，那么这三个统计量很可能相等或者非常接近；这时用三个统计量中的任何一个作为该数据一般水平的代表都是可以的。
有时把平均数和中位数结合使用，会了解更多的信息。
如某次数学考试全班49人平均分数为92分，小林考了93分、排名第25、小明的成绩比小林高2分。
可以发现中位数是93分，小明的成绩处于中上等水平，平均分低于中位数，说明可能有极端的低分数。
案例1：
一家公司2008年和2009年职工年工资情况如下表。
职务
总经理
副总经理
部门经理
部门副经理
普通员工
人数
1
2
8
10
79
2008年工资/万元
8
7
5
4
2
2009年工资/万元
10
8.5
6
4.8
2.3
（1）这家公司2008年和2009年职工平均工资各是多少？
（2）这家公司对外宣称，2009年职工平均工资比2008年增长17%以上，这种说法有不妥之处吗？
分析：
（1）2008年和2009年职工平均工资分别为：
（8+2×7+8×5+10×4+79×2）÷100=2.6（万元）
（10+2×8.5+8×6+10×4.8+79×2.3）=3.047（万元）
（2）（3.047-2.6）÷2.6≈17.2%，（2.3-2）÷2=15%。
从全体职工平均工资角度看，2009年比上年增长确实超过了17%。
但是代表公司大多数的普通员工的平均工资低于平均数，增长率也低于平均增长率，普通员工与高级管理人员的收入差距在逐年扩大。
案例2：
日本和中国2009年国内生产总值（GDP）大约分别是50458、49285亿美元，分别排名世界第二和第三。
如果中国人口总数按13.4亿计算，日本人口总数大约是中国的9.5%。
在参加统计的183个经济体中，人均GDP日本排名17位，中国排在101位，排在第92位的人均GDP为4059美元。
比较中国和日本GDP的总量及人均GDP，并结合中位数分析，你能发现哪些信息？
分析：
从GDP总量上来说，中国已经排名世界第三，而且与排名第二位的日本非常接近，可以发现中国是世界经济大国。
但是从平均数的角度看，日本人均GDP为39731美元，中国为3678美元，中国远落后于日本，而其低于中位数4059美元，说明我们的人均GDP处于中下水平。
与中等水平相差大约10%。
案例3：
有关部门对一个社区的100个居民月度人均用水量进行了调查统计，数据如下表：
用水量/吨
2
3
4
5
6
人数/人
8
24
40
22
6
（1）计算这组数据的平均数、中位数和众数。
（2）什么数可以代表居民人均用水量的一般水平？
（3）如果采取阶梯水价，标准用水量以上加价收费，希望至少70%的居民不受影响，你认为人均标准用水量定为多少比较合适？
分析：
（1）平均数：
（2×8+3×24+4×40+5×22+6×6）÷100=3.94（吨）
中位数和众数都是4吨。
（2）中位数和众数相等，平均数也约等于中位数和众数，这三个量差别很小，都可以作为该组数据一般水平的代表。
（3）100×70%=70，用水量在4吨及以下的人数为72人，所以人均标准用水量定为4吨比较合适。
九、概率思想
1.概率思想的概念。
生活中的事件可以分为两类：
一类是确定事件，在一定条件下一定发生的和一定不会发生的，这些事件都是确定事件；如每天日出日落、四季轮回是一定发生的，而掷两枚骰子朝上的两个数字的和是13是不可能发生的。
另一类是随机事件，就是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，如一个产妇生男婴还是生女婴、某种子的发芽率、某产品的合格率等事件、都是随机事件。
这些随机事件表面上看杂乱无章，但是大量地重复观察这些事件时，这些随机事件会呈现规律性，这种规律叫统计规律，概率论是研究随机现象的统计规律性的一门科学学科，统计与概率有着密切的联系。
（1）事件的分类。
事件可以分为确定事件和随机事件，其中确定事件又可以分为必然事件和不可能事件。
在一定条件下一定发生的是必然事件，一定不会发生的是不可能事件。
（2）频率与概率的区别和联系。
随机事件发生的可能性的大小是概率论研究的主要内容，通过试验来观察随机事件发生的可能性的大小是常用的方法。
在相同的条件下，重复进行n次试验，某一事件A出现的次数m就是频数，就是事件A出现的频数。
如果试验的次数不断增加，事件A发生的频数稳定在某个数上，就把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
事件的概率是确定的、不变的常数，是理论上的精确值；而频率是某次具体试验的结果，是不确定的、变化的数，尽管这种变化可能性非常的小。
这里的概率是用频率来界定的，在等可能性随机试验中，虽然频率总是在很小的范围内变化，但我们可以认为频率和概率的相关性非常的强。
也就是说，在一次试验中，事件A出现的频率越大、事件A的概率就越大；事件A出现的频率越小、事件A的概率就越小。
反之亦然。
2.概率思想的具体应用。
概率思想主要应用于统计与概率领域。
一是小学数学第一、第二学段都安排了可能性的内容，如会求简单的等可能性随机事件发生的可能性，根据等可能性事件设计公平的游戏规则。
二是统计推断中很多情况是根据对随机事件的相关数据进行分析后，再对随机发生的可能性大小进行预测和决策。
如2010年南非世界杯决赛西班牙对荷兰，有人预测西班牙夺冠，理由是西班牙是近年欧洲冠军、实力雄厚；还有人预测荷兰卫冕，理由是荷兰是无冕之王、两次获得世界杯亚军。
西班牙和荷兰两队历史上一共交手9次，其中荷兰4盛1平4负，实力不分上下。
所以两队夺冠的可能性各占一半。
4.概率思想的教学。
2001年，课程改革首次正式把概率的内容纳入小学数学，对这部分内容的科学性和难度的准确把我是个挑战。
这部分内容的教学应注意以下几点。
第一，随机事件的发生是有条件的，是在一定条件下，事件发生的可能性性有大有小；条件变了，事件发生的可能性大小也可能会变化。
如种子的发芽率与很多因素有关，如种子的质量、保存期限、温度、水分、土壤、阳光、空气等等。
在各种条件都合适的情况下，发芽率可能高达90%；条件不合适发芽率可能降到50%甚至不发芽。
第二，避免把频率与概率混淆。
如最经典的就是掷硬币试验去验证概率。
从概率的统计定义而言，做抛硬币试验是可以的，可以使学生参与实践活动、经历知识的形成过程、提高学习的兴趣。
关键是广大教师心中要明白：
试验次数少的时候频率与概率的误差可能会比较大，但是试验次数多，也不能每次都保证频率与概率相差很小，或者说试验次数足够大的两次试验，也不能保证试验次数多的比试验次数少的误差小。
这是随机事件本身的特点决定的，教师要通过通俗的语言使学生清楚这一点。
这样在抛硬币时出现什么情况都是正常的，在学生操作的基础上，有条件的可通过计算机模拟试验，还要呈现数学家们做的试验结果，使学生理解概率的统计定义。
十、分析法和综合法
分析与综合都是思维的基本方法，无论是研究和解决一般问题，还是数学问题，分析和综合都是最基本的具有逻辑性的方法。
分析与综合是两种思想方法，但因二者具有十分密切的联系，因此把二者结合起来阐述。
1.分析和综合法的概念。
分析是把研究对象的整体分解为若干部分、方面和因素，分别加以考察，找出各自的本质属性及彼此之间的联系。
综合是把研究对象的各个部分、方面和因素的认识结合起来，形成一个整体性认识的思维方法。
分析是综合的基础，综合是分析的整合，综合是与分析相反的思维过程。
在研究数学概念和性质时，往往先把研究对象分解成几个部分、方面和要素进行考察，在进行整合从整体上认识研究对象，形成理性认识。
实际上教师和学生都经常有意识和无意识地运用了分析和综合的思维方法。
如认识等腰梯形时，可以从它的边和角等几个要素进行分析：
它有几条边？
几个角？
四条边有什么关系？
四个角有什么关系？
再从整体上概括等腰梯形的性质。
数学中的分析法一般被理解为：
在证明和解决问题时，从结论出发，一步一步地追溯到产生这一结论的条件是已知的为止，是一种“执果索因”的分析法。
综合法一般被理解为：
在证明和解决问题是，从已知条件和某些定义、定理等出发，经过一系列的运算或推理，最终证明结论或解决问题，是一种“由因导果”的综合法。
如小学数学中的问题解决，可以由问题出发逐步逆推理到已知条件，这是分析法；从已知条件出发，逐步求出所需答案，这是综合法。
再如分析法和综合法在中学数学作为直接证明的基本方法，应用比较普遍。
因此，分析法和综合法是数学学习中应用较为普遍的互相依赖、互相渗透的思想方法。
3.分析法和综合法的具体应用。
如上所述，分析法和综合法作为数学的思想方法，在小学数学的各个方面都有重要的应用。
首先，在四大领域的内容中，无论是低年级的数和计算、图形的认识，还是中高年级的方程和比例、统计与概率，分析法和综合法都有较多应用。
如数的计算法则的学习，就是一个先分析再综合概括的过程，先一步一步地学习法则的不同方面，再综合概括成一个完整的法则。
其次，在贯穿整个数学学习过程中的问题解决、判断和推理证明等方面，分析法和综合法也是无所不在。
如在进行一个概念或者性质的判断时，必须先进行分析，然后才能做出判断。
4.分析法和综合法的教学。
分析能力和综合能力作为培养逻辑思维能力和解决问题能力的重要方面，在课标时代仍然要给予足够的重视，在教学中应注意以下几点。
第一，在学习一般的数学概念和性质时注重分析能力和综合能力的培养。
小学数学的很多知识，学生往往经历先分析再综合的过程，即先认识局部特征，再从整体上认识或者形成抽象概念的过程。
如图形的认识，在第一学段学生通过操作和直观初步感知图形的一些特征，到了第二学段，可以从整体上认识或者抽象成概念。
教师从低年级开始就应注重分析能力的培养，从而为后续的学习打下较好的基础。
第二，在解决问题时注重分析法和综合法的结合运用。
简单的问题，往往直接应用综合法便可解决；复杂的问题，往往需要把分析法和综合法结合运用。
分析法从问题出发逐步逆推，便于把我探索的方向，综合法的思维具有发散性，能够提供多种策略；把二者结合起来，便于根据已知条件提供向问题靠拢的策略，使问题尽快得到解决。
案例1：
一件衬衫的标价是150元，现在因换季按标价打八折的优惠价格出售，还能够在进价的基础上获利20%。
这款衬衫的进价是多少钱？
分析：
要想求进价是多少钱，需要知道进价加上获利的20%一共是多少钱，进价加上获利的20%等于优惠价，优惠价等于标价的80%。
根据分析法找出的数量关系和解题思路，用综合法列式如下。
（1）进价加获利20%一共的钱数：
150×80%＝120（元）
（2）这款衬衫的进价是：
120÷（1＋20%）＝100（元）。
列成综合算式是：
150×80%÷（1＋20%）＝100（元）。
案例2：
食品店把120千克巧克力分装在两种大小不同的盒子里，先装0.25千克一盒的装了200盒，剩下的每盒装0.5千克。
这些巧克力一共装了多少盒？
分析：
要想求一共装了多少盒，因为有大盒和小盒两种包装规格，已经知道小盒有200盒，所以要先求大盒的装了多少千克。
因为大盒每盒装0.5千克，要想求大盒装了多少盒，应先求大盒共装了多少千克。
因为总共有120千克巧克力，要想求大盒装了多少千克，应先求小盒装了多少千克。
可以根据已知条件小盒每盒装0.25千克和共有200盒，算出小盒装的千克数。
利用分析法找出了数量关系和解题思路，即可用综合法列式解答。
（1）小盒共装的千克数：
0.25×200＝50（千克）
（2）大盒共装的千克数：
120－50＝70（千克）
（3）大盒装的盒数：
70÷0.5＝140（盒）
（4）一共装的盒数：
200＋140＝340（盒）
综合算式为：
200＋（120－0.25×200）÷0.5＝340（盒）
案例3：
明明家有一些苹果和梨，苹果的个数如果减少5个，就恰好是梨的个数的3倍。
如果每天吃4个苹果和2个梨，当梨吃完时苹果还剩15个。
那么原来梨和苹果各有过少个？
分析：
想要求出苹果和梨的个数，一是要找出苹果和梨的关系，二是要求出苹果或者梨的个数。
从题目中可以看出，苹果比梨的个数多，可以考虑把梨的个数作为标准来分析它们的倍数关系。
从题目的第二句话可以得出：
苹果比梨的2倍多15个；从第一句话可以得出：
苹果比梨的3倍多5个。
综合起来可以得出：
苹果和梨相比较，苹果减少15个是梨的2倍，减少5个是梨的3倍；所以，从15个中减去5个，剩下的10个就是梨的个数。
十一、反证法
1.反证法的概念。
反证法是间接证明的一种基本方法，当我们需要证明一个判断为真时，先假设这个判断为假，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原判断为真，这样的证明方法叫做反证法。
反证法是演绎推理的一种，依据的是排中律，就是说两个互相矛盾的判断不可能同假，其中必有一真。
2.反证法的具体应用。
反证法作为一种思想方法，不仅在数学中有很多应用，在日常生活和其他学科中也有应用。
数学史上有比较经典的利用反证法证明的问题，如证明是无理数，证明素数有无限多个等。
在小学数学中，反证法的应用不多，在抽屉原理等问题中有一些应用。
3.反证法的教学。
反正法在小学数学教学中应用较少，教师在教学时应注意以下几点。
第一，掌握它的基本原理和步骤是必要的。
反证法采用的论证方式是演绎推理中的假言推理形式，依据的是排中律。
它的证明步骤大致如下：
（1）假设待证的结论为假、反论题为真；
（2）从反论题出发，经过正确的逻辑推理，得出与已知条件或者定义、定理、公理、事实等矛盾；（3）根据排中律得出原结论成立。
第二，对反证法涉及的一些概念和词语应正确理解。
在描述一对概念间的关系时，应注意怎样描述才是矛盾的。
如是与不是、等于与不等于、大于与不大于、至少有一个与一个也没有等是相互矛盾的关系。
有时候要注意容易出现错误的地方，如大于5与小于5、正数与负数等不是相互矛盾的关系，是一种对立关系。
也就是说，两个矛盾的种概念外延之和等于属概念的外延，两个对立的种概念外延之和小于属概念的外延。
大于与小于中间有等于、正数和负数中间有0。
大于5与不大于（小于等于）5、正数与非正数（0和负数）是矛盾关系。
第三，对于学生来说，只需初步了解其方法。
作为教师而言，要掌握反证法的基本原理、步骤和推理方法，以便在教学中把握反证法的科学性。
学生通过简单的案例和运用反证法通俗易懂的推理过程，能够了解反证法的基本思想和数学方法的丰富性，培养思维的灵活性。
案例1：
把43人分成7个小组，总有一个小组至少有7人。
请说明理由。
分析：
假设每个小组最多有6人，那么7个小组最多有42人，与已知条件有43人矛盾，假设不成立，所以总有一个小组至少有7人。
案例2：
把11个参加活动的名额分配给6个班，每班至少分配1人。
请说明：
不管怎样分，至少有3个班的名额相等。
分析：
假设名额相等的班级最多有2个，那么需要的名额总数至少应为：
（1＋2＋3）×2＝12（个），与已知条件有11个名额矛盾。
所以至少有3个班的名额相等。
案例3：
在直角三角形ABC中，∠C是直角，请说明：
∠A一定是锐角。
分析：
假设∠A不是锐角，首先三角形的任何一个内角不可能为0°，那么∠A≥90°，又因为∠C＝90°，∠B＞0°，所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，这就与三角形的内角和等于180°矛盾。
所以∠A一定是锐角。
十二、集合思想
1.集合的概念。
把指定的具有某种性质的事物看作一个整体，就是一个集合（简称集），其中每个事物叫做该集合的元素（简称元）。
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