关于一线三垂直模型与 其在平面几何中的应用.docx

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关于一线三垂直模型与其在平面几何中的应用

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，（关于“一线三等角”模型详见比

例与相似高级教程（六）：

相似三角形的“一线三等角”模型），即三个等角角度为90o，

于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型。

“一线三垂直”的性质：

1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；

2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。

“一线三垂直”模型在平面几何中有着及其重要的地位，常出现的图例有以下几种：

其中，在“变形2”模型下，根据相似原理，推理出了著名的

有一对对应边相等的情况。

“射影定理”这里主要讨论

【例

1】如图，在等腰直角三角形

ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=BC

，AE⊥CE

于点

E，

BD⊥CE于点D，AE=5cm，BD=2cm，则DE的长为多少？

【提示】根据“一线三垂直”模型的性质，△ACE≌△CBD，于是CD=AE=5cm，CE=BD=2cm，DE=5-2=3（cm）

【例2】如图，在△ABC中，CA=CB，点D为BC中点，CE⊥AD于点E，交AB于

点F，连接DF。

求证：

AD=CF+DF.

【解析】此题乍一看起来和【例从要证明的结论来看，需要把

1】相同，却不能照搬照抄。

AD这条线段“转化”到直线

CF

上。

如图，过点

B作

BG⊥CB，交CF的延长线于点

G。

则易证△ACD≌△CBG，于是AD=CG=CF+FG；

BG=CD=BD，BF=BF，∠DBF=∠GBF=45o，

故△BDF≌△BGF，于是FD=FG，所以AD=CF+DF。

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

（二）

“一线三垂直”的性质：

1，模型中必定存在至少两个三角形相似，三对等角，三对成比例的边长；

2，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形。

【例3】如图，在△

垂线，垂足分别为

（1）如图1，过点

（2）如图2，过点

ABC中，AB=AC

E，F。

A的直线与斜边

A的直线与斜边

，∠BAC=90o，分别过B，C向过A点的直线作

BC不相交时，求证：

EF=EB+CF；

BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3.求

EF

的长。

【提示】（

（2）图2

1）图1是“一线三垂直是“一线三垂直”的变形

”的基础模型，△ABE4，和【例1】相同。

≌CAF；

【例4】如图，已知△AEB

AC、BD，交于点O，连接

中，∠EO。

若

AEB=90o，以AB为边向外作正方形

BE=2，EO=3√2，求五边形AEBCD

ABCD，连接

的面积。

【解析】因为∠ABC=∠AEB=90o，故构造“一线三垂直”模型，如图。

过点C作CP⊥EB，交EB延长线于点P，连接OP。

则根据“一线三垂直”模型的性质，△AEB≌△BPC，

∴BP=AE；

∵∠AOB=∠AEB=90o，

∴A、E、B、O四点共圆（详见“四点共圆”在解题中的妙用

（一）

∴∠BEO=∠BAO=45o；

同理∠BPO=∠BCO=45o，故△EOP为等腰直角三角形；

∵EO=3√2，∴EP=6，BP=4，

根据勾股定理，AB2=16+4=20，即S正方形ABCD=20，

S△AEB=4×2÷2=4，∴S五边形AEBCD=20+4=24.

），

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（三）

【例5】已知△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，CD为AB边上的中线，点E为BC

边上任意一点（不与A、D、B重合），BF⊥CE于点F，交CD于点G，AH⊥CE，

交CE延长线于点H，交CD延长线于点M。

求证：

（1）CG=AE；

（2）DE=DM。

【提示】

（1）根据“一线三垂直”模型，△ACH≌△CBF，∴∠ACE=∠CBG，又∠CAE=∠BCG=45o，AC=BC，∴△ACE≌△BCG；

（2）由“一线三垂直”模型可知，∠ACE=∠CBG，BF=CH，

∴∠HCM=∠FBE，又∠BFE=∠CHM=90o，

∴△CHM≌△BFE，BE=CM，从而DE=DM。

同时我们也应该注意到：

△ACM≌△CBE；

△ADM≌△CDE≌△BDG；△AHE≌△CFG；

DM=DG=DE；△GEM为等腰直角三角形等。

构造“一线三垂直”模型，是作辅助线常用的一种手段。

【例6】如图，直线l1∥l2∥l3，且l1到l2的距离为3，l2到l3的距离为4，等腰直

角△ABC的直角顶点C在l2上，点A、B分别在l1、l3上。

求△ABC的面积。

【提示】过点C作l2的垂线，分别交l1和l3于点D、E，构造“一线三垂直”模型，

则CD=3，AD=CE=4，AC=5.

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（四）

【例7】（2018初二希望杯练习题）如图，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，

∠BCD=90o，AB=BC+AD，∠DAC=45o，E为CD上一点，且∠BAE=45o，若CD=4，

求△ABE的面积。

【解析】如图，过点E作EG⊥AE，交AB延长线于点

DC延长线于点H，构造“一线三垂直”模型；过点G作

BF⊥AD于点F。

G，过点GK⊥BC

G作于点

GH⊥DC，交K，过点B作

则△ADE≌△EHG，DE=GH

；AD=EH=CD

，

∴DE=CH，故四边形

CKGH

为正方形。

AF=4-BC，AB=4+BC

，BF=4

，

∴（4+BC）2=（4-BC）2+42，

解得：

BC=1，所以AB=5；

设DE=x，则BK=1-x，GK=x，AE2=x2+42

∵△AEG为等腰直角三角形，∴AG2=2AE2，

（5+BG）2=2（x2+42），将BG代入，化简得：

（7x-4）2=0，x=4/7，

∴△ABE面积=梯形ABCD面积

=（1+4）×4÷2-4×4/7÷2-1×（4-4/7）

-△ADE面积

2=50/7÷。

-△BCE

面积

在直角坐标系中构造“一线三垂直【例8】如图，在直角坐标系中，点直角三角形，求点C的坐标。

”模型，是解决坐标问题的一种有效手段。

A（1，2），点B（0，-1），已知△

ABC

为等腰

【解析】设C（m，p）。

（1）当∠BAC为直角时：

①当点C在AB右侧时，如图1。

过点A作DE∥x轴，交y轴于点D，过点C作CE⊥DE于点E。

根据“一线三垂直”模型，△ABD≌△ACE，

∴DB=AE，CE=DA，即：

m-1=3，2-p=1，

解得：

m=4，p=1，∴C（4，1）；

②当点C在AB左侧时，如图2。

过点A作DE∥x于点E。

根据“一线三垂直”模型，△ABD≌△ACE-2=1，解得：

m=-2，p=3，∴C（-2，3）；

轴，交y轴于点D，过点C作CE⊥DE，∴DB=AE，CE=DA，即：

1-m=3，p

（或者用下列方法：

此时，点C和①中的C关于点A对称，故m=2×1-4=-2，p=2×2

－1=3.）

（2）当∠ABC为直角时：

①当点C在AB右侧时，如图3。

过点A作AE∥x轴，交y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D。

根据“一线三垂直”模型，△ABE≌△BCD，∴DB=AE，BE=CD，即：

-1-p=1，m=3，解得：

m=3，p=-2，∴C（3，-2）；

②当点C在AB左侧时，如图4。

过点B作DE∥x轴，过点C作CD⊥DE于点D，过点A作AE⊥DE于点E。

根据“一线三垂直”模型，△ABE≌△BCD，

∴BE=CD，BD=AE，即：

0-m=3，p-（-1）=1，解得：

m=-3，p=0，∴C（-3，0）；

（或者用下列方法：

此时，点C和①中的C关于点B对称，故m=2×0-3=-3，p=-1×2

－（-2）=0.）

（3）当∠ACB为直角时：

①当点C在AB右侧时，如图5。

过点C作CD∥x轴，过点

CD交y轴于点E。

A作

AD

⊥CD

于点

D，

根据“一线三垂直”模型，△ACD≌△CBE，

∴BE=CD，CE=DA，即：

m=2-p，p-（-1）=m-1，

解得：

m=2，p=0，即CD与x轴重合，点E与O重合，

∴C（2，0）；

②当点C在AB左侧时，如图6。

过点C作CD∥x轴，过点A作AD⊥CD于点D，

CD交y轴于点E。

根据“一线三垂直”模型，△ACD≌△CBE，

∴BE=CD，CE=DA，即：

1-m=p-（-1），2-p=0-m，解得：

m=-1，p=1，∴C（-1，1）。

（或者用下列方法：

此时，点C和①中的C关于AB的中点对称，AB的中点坐标为（0.5，0.5），故m=2×0.5-2=-1，p=0.5×2－0=1.）

综上所述：

符合条件的点C的坐标有6个：

（4，1）；（-2，3）；（3，-2）；

（-3，0）；（2，0）；（-1，1）。

关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用（五）

前面讨论的是关于“一线三垂直模型”有两条边相等时的情况。

如果不存在两条边相等，那么“一线三垂直模型”的性质是必然存在一对或几对相似三角形，这个性质在

初中平面几何中的应用也是十分广泛，尤其在直角坐标系中的函数图像与平面几何的

综合应用题或压轴题经常得到应用，也是作辅助线的思想方法。

经常出现的图例跟前面介绍的一样（关于“一线三垂直”模型及其在平面几何中的应用

（一）），只是直角的两条边不一定相等。

【例9】如图，在直角坐标系中，点A（1，3），点B（2，-1），坐标轴上是否存在

点C，使得∠ACB为直角？

若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

【解析】

（1）当点C在y轴上时：

如图1，设C（0，c），分别过点A、B作x轴的平行线，交y轴于点D、E。

则根据“一线三垂直模型”，△ACD∽△CBE，

∴AD∶CE=CD∶BE，即：

1∶（c+1）=（3-c）∶2，

解得：

c1=1+√2，c2=1-√2，

故C（0，1+√2）；或C（0，1-√2）；

（2）当点C在x轴上时：

如图2，设C（c，0），分别过点A、B作y轴的平行线，交

则根据“一线三垂直模型”，△ACD∽△CBE，

x轴于点

D、E。

∴AD∶CE=CD∶BE，即：

3∶（2-c）=（1-c）∶2，或3∶（c-2）=（c-1）∶2，

综上所述，符合条件的点C的坐标有4个，分别为：

（0，1+√2）；（0，1-√2）；

【例10】如图，在直角坐标系中，点的图像上是否存在点C，使得∠

ACB

A（1，3），点B（2，-1），在一次函数y=x/2-1为直角？

若存在，请求出点C的坐标；若不存

在，请说明理由。

【解析】设∠ACB为直角时，点C（c，c/2-1），

如图

1，过点

C作

y轴的平行线

DE，分别过点

A、B

作

DE

的垂线，垂足分别为

D、

E。

由“一线三垂直模型”可知：

△ACD∽△CBE，

∴AD∶CE=CD∶BE，即：

（c-1）∶（（c/2-1）+1）=（3-（c/2-1））

化简得：

5c2-20c+8=0，解得：

∶（c-2）

，