数学建模 实验一.docx
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数学建模实验一
实验01建立数学模型（4学时）
（第1章建立数学模型）
教材中给出原始数据，结合模型，得到结果。
但如何求得结果这一过程没有给出，实际上要用MATLAB软件编写程序来求得，这应该交给实验课来完成。
考虑到上学期同学们刚学习MATLAB语言，编程能力不强，所以有关的程序给出来供同学们进行验证。
要求同学们要读懂程序。
1.（求解，编程）如何施救药物中毒p10~11
人体胃肠道和血液系统中的药量随时间变化的规律（模型）：
其中，x（t）为t时刻胃肠道中的药量，y（t）为t时刻血液系统中的药量，t=0为服药时刻。
1.1（求解）模型求解p10~11
①用MATLAB求解微分方程函数dsolve求解该微分方程（符号运算）。
②用MATLAB的化简函数simplify化简所得结果。
③结果与教材P11上的内容比较。
提示：
dsolve和simplify的用法可用help查询。
建议在命令窗口中操作。
★求解的语句及运行结果。
1.2（编程）结果分析p11
已知λ=0.1386,μ=0.1155，将上题中得到x（t）和y（t）两条曲线画在同一个图形窗口内。
图形如P11中的图1。
提示：
MATLAB命令plot,fplot,holdon/off,gridon/off,xlabel,ylabel,text。
★编写的程序。
★运行结果。
2.（编程，验证）商人们怎样安全过河p8~9
三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
但是如何乘船的大权掌握在商人们手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？
[模型构成]
决策：
每一步（此岸到彼岸或彼岸到此岸）船上的人员。
要求：
在安全的前提下（两岸的随从数不比商人多），经有限步使全体人员过河。
xk第k次渡河前此岸的商人数
yk第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,
过程的状态sk=（xk,yk）
允许状态集合S={（x,y）x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}
uk第k次渡船上的商人数
vk第k次渡船上的随从数uk,vk=0,1,2;k=1,2,
决策dk=（uk,vk）
允许决策集合D={（u,v）u+v=1,2}
状态转移律sk+1=sk+（-1）kdk
[多步决策问题]
求dkD（k=1,2,,n）,使skS,并按转移律由s1=（3,3）到达sn+1=（0,0）。
2.1（编程）求允许决策集合D和允许状态集合S
D是2行多列矩阵，每一列是一个决策。
S是2行多列矩阵，每一列是一种状态。
①编写程序求D和S，并输出。
②S的第一列是[3,3]'，最后一列是[0,0]'。
★编写的程序。
★输出结果。
★
2.2（验证）求动态允许状态集合SS和状态转移矩阵A
上面允许状态集合S没有指明当时船是在此岸还是在彼岸，应该将S中的每一种状态再分为两种状态，需增加一个元素（值为-1或1）放在第三行。
定义动态允许状态集合
SS={（x,y,z）'x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2;z=-1,1}
（x,y,-1），表示从此岸渡河前此岸的允许状态（x,y）。
（x,y,1），表示从彼岸渡河前此岸的允许状态（x,y）。
SS是三行多列矩阵，每一列表示一种状态，列下标为其编号。
定义状态转移矩阵A，其中，A（i,j）=1表示D中存在决策使状态i转到j，否则A（i,j）=0。
程序如下（输入时，不必把注释也输入）：
要求：
①将程序接在上题的程序之后（去掉最后多余的输出语句），程序最后给出显示SS和A的语句。
②运行程序，输出SS和A。
[提示：
all]
对于向量v，all（v）当v的所有元素都非0时，返回true（值为1）；否则返回false（值为0）。
（类似v的所有元素“与”）
对于矩阵X，all（X）返回一个行向量，每一个元素值为all作用于X对应列的结果。
all（X,1）作用于列（同all（X）），all（X,2）作用于行。
★运行的完整程序。
★运行结果。
2.3（验证）给出一个商人们安全过河的方案
程序如下（输入时，不必把注释也输入）：
要求：
①读懂以上程序，掌握all和any函数的应用。
②将程序接在之前的程序（去掉最后多余的输出语句）后，运行程序。
[提示：
any]
对于向量v，any（v）当v中有元素非0时，返回true（值为1）；否则返回false（值为0）。
（类似v的所有元素“或”）
对于矩阵X，any（X）返回一个行向量，每一个元素值为any作用于X对应列的结果。
any（X,1）作用于列（同any（X）），any（X,2）作用于行。
★运行的完整程序。
D=[];
foru=0:
2
forv=0:
2
ifu+v==1||u+v==2
D=[D[u;v]];
end
end
end
S=[];
forx=3:
-1:
0
fory=3:
-1:
0
ifx==0||x==3||x==y
S=[S,[x;y]];
end
end
end
SS=[[S;-ones（1,size（S,2））],[S;ones（1,size（S,2））]];
SSnum=size（SS,2）;
A=zeros（SSnum）;
fori=1:
SSnum
forj=1:
SSnum
ford=D
s=[SS（1:
2,i）+SS（3,i）*d;-SS（3,i）];
ifall（s==SS（:
j））
A（i,j）=1;break;
end
end
end
end
SS=[[S;-ones（1,size（S,2））],[S;ones（1,size（S,2））]];
SSnum=size（SS,2）;
A=zeros（SSnum）;
fori=1:
SSnum
forj=1:
SSnum
ford=D
s=[SS（1:
2,i）+SS（3,i）*d;-SS（3,i）];
ifall（s==SS（:
j））
A（i,j）=1;break;
end
end
end
end
s=[1,zeros（1,SSnum-1）];
SK=s;
whileany（s）&&all（SSnum-find（s））
k=find（s）;
s=any（A（k,:
）,1）;
s=s&~any（SK,1）;
SK=[SK;s];
end
if~any（s）
disp（'Î޽⣡'）;return;
end
sk=zeros（1,size（SK,1））;
sk
（1）=1;sk（1,end）=SSnum;j=SSnum;
fork=size（SK,1）-1:
-1:
2
fori=find（SK（k,:
））
ifA（i,j）==1
sk（k）=i;j=i;break;
end
end
end
disp（[1:
length（sk）;SS（1:
2,sk）]）;
★程序的运行结果。
3.（求解）商人们怎样安全过河（修改）p9
对第2题的问题改动，用类似的方法求解。
3.1在第2题中修改商人数和随从数
有四名商人各带一个随从，其它同第2题。
修改第2题中的程序求解。
★修改的程序部分和运行结果（安全过河的方案）
D=[];
foru=0:
2
forv=0:
2
ifu+v==1||u+v==2
D=[D[u;v]];
end
end
end
S=[];
forx=4:
-1:
0
fory=4:
-1:
0
ifx==0||x==4||x==y
S=[S,[x;y]];
end
end
end
SS=[[S;-ones（1,size（S,2））],[S;ones（1,size（S,2））]];
SSnum=size（SS,2）;
A=zeros（SSnum）;
fori=1:
SSnum
forj=1:
SSnum
ford=D
s=[SS（1:
2,i）+SS（3,i）*d;-SS（3,i）];
ifall（s==SS（:
j））
A（i,j）=1;break;
end
end
end
end
SS=[[S;-ones（1,size（S,2））],[S;ones（1,size（S,2））]];
SSnum=size（SS,2）;
A=zeros（SSnum）;
fori=1:
SSnum
forj=1:
SSnum
ford=D
s=[SS（1:
2,i）+SS（3,i）*d;-SS（3,i）];
ifall（s==SS（:
j））
A（i,j）=1;break;
end
end
end
end
s=[1,zeros（1,SSnum-1）];
SK=s;
whileany（s）&&all（SSnum-find（s））
k=find（s）;
s=any（A（k,:
）,1）;
s=s&~any（SK,1）;
SK=[SK;s];
end
if~any（s）
disp（'Î޽⣡'）;return;
end
sk=zeros（1,size（SK,1））;
sk
（1）=1;sk（1,end）=SSnum;j=SSnum;
fork=size（SK,1）-1:
-1:
2
fori=find（SK（k,:
））
ifA（i,j）==1
sk（k）=i;j=i;break;
end
end
end
disp（[1:
length（sk）;SS（1:
2,sk）]）;
3.2在3.1题中修改船容纳的人数
船能容纳3人。
修改3.1题中的程序求解。
★修改的程序部分和运行结果（安全过河的方案）
D=[];
foru=0:
3
forv=0:
3
ifu+v==1||u+v==2||u+v==3
D=[D[u;v]];
end
end
end
S=[];
forx=4:
-1:
0
fory=4:
-1:
0
ifx==0||x==4||x==y
S=[S,[x;y]];
end
end
end
SS=[[S;-ones（1,size（S,2））],[S;ones（1,size（S,2））]];
SSnum=size（SS,2）;
A=zeros（SSnum）;
fori=1:
SSnum
forj=1:
SSnum
ford=D
s=[SS（1:
2,i）+SS（3,i）*d;-SS（3,i）];
ifall（s==SS（:
j））
A（i,j）=1;break;
end
end
end
end
SS=[[S;-ones（1,size（S,2））],[S;ones（1,size（S,2））]];
SSnum=size（SS,2）;
A=zeros（SSnum）;
fori=1:
SSnum
forj=1:
SSnum
ford=D
s=[SS（1:
2,i）+SS（3,i）*d;-SS（3,i）];
ifall（s==SS（:
j））
A（i,j）=1;break;
end
end
end
end
s=[1,zeros（1,SSnum-1）];
SK=s;
whileany（s）&&all（SSnum-find（s））
k=find（s）;
s=any（A（k,:
）,1）;
s=s&~any（SK,1）;
SK=[SK;s];
end
if~any（s）
disp（'Î޽⣡'）;return;
end
sk=zeros（1,size（SK,1））;
sk
（1）=1;sk（1,end）=SSnum;j=SSnum;
fork=size（SK,1）-1:
-1:
2
fori=find（SK（k,:
））
ifA（i,j）==1
sk（k）=i;j=i;break;
end
end
end
disp（[1:
length（sk）;SS（1:
2,sk）]）;
4.（编程）安全过河问题（人、猫、鸡、米）p21习题5
人带着猫、鸡、米过河，除需要人划船之外，船至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案。
模仿商人过河问题的程序编写程序解决本问题。
★程序
%x1表示人，x2表示猫，x3表示鸡，x4表示米
D=[];
x1=1;
forx2=0:
1
forx3=0:
1
forx4=0:
1
ifx2+x3+x4==1||x2+x3+x4==0
D=[D[x1;x2;x3;x4]];
end
end
end
end
S=[];
forx1=1:
-1:
0
forx2=1:
-1:
0
forx3=1:
-1:
0
forx4=1:
-1:
0
ifx1==0&&（x3+x4~=2）&&（x2+x3~=2）||x1==1&&（x3+x4~=0）&&（x2+x3~=0）
S=[S,[x1;x2;x3;x4]];
end
end
end
end
end
SS=[[S;-ones（1,size（S,2））],[S;ones（1,size（S,2））]];
SSnum=size（SS,2）;
A=zeros（SSnum）;
fori=1:
SSnum
forj=1:
SSnum
ford=D
s=[SS（1:
4,i）+SS（5,i）*d;-SS（5,i）];
ifall（s==SS（:
j））
A（i,j）=1;break;
end
end
end
end
s=[1,zeros（1,SSnum-1）];
SK=s;
whileany（s）&&all（SSnum-find（s））
k=find（s）;
s=any（A（k,:
）,1）;
s=s&~any（SK,1）;
SK=[SK;s];
end
if~any（s）
disp（'Î޽⣡'）;return;
end
sk=zeros（1,size（SK,1））;
sk
（1）=1;sk（1,end）=SSnum;j=SSnum;
fork=size（SK,1）-1:
-1:
2
fori=find（SK（k,:
））
ifA（i,j）==1
sk（k）=i;j=i;break;
end
end
end
disp（[1:
length（sk）;SS（1:
4,sk）]）;
★程序的运行结果
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