人教A版高中数学选修21课后习题集 汇编 120页含答案解析.docx

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人教A版高中数学选修21课后习题集汇编120页含答案解析

高中数学选修2-1课后习题集汇编

【优化设计】2015-2016学年高中数学1.4全称量词与存在量词课后习题新人教A版选修2-1

课时演练·促提升

A组

1.已知命题p:

∀x∈R,cosx≤1,则（　　）

A.

p:

∃x∈R,cosx≥1B.

p:

∀x∈R,cosx≥1

C.

p:

∃x∈R,cosx>1D.

p:

∀x∈R,cosx>1

答案:

C

2.下列命题中的假命题是（　　）

A.∃x∈R,lgx=0B.∃x∈R,tanx=1

C.∀x∈R,x3>0D.∀x∈R,2x>0

解析:

对于C,当x=-1时,x3=-1<0,故C为假命题.

答案:

C

3.下列命题中,既是真命题又是特称命题的是（　　）

A.存在一个α,使tan（90°-α）=tanα

B.存在实数x0,使sinx0=

C.对一切α,sin（180°-α）=sinα

D.sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

解析:

只有A,B两个选项中的命题是特称命题.

因为|sinx|

≤1,所以sinx0=不成立,故B中命题为假命题,

又因为当α=45°时,tan（90°-α）=tanα,故A中命题为真命题.

答案:

A

4.下列说法中,正确的个数是（　　）

①存在一个实数x,使-2x2+x-4=0;

②所有的质数都是奇数;

③在同一平面中斜率相等且不重合的两条直线都平行;

④至少存在一个正整数,能被5和7整除.

A.1B.2C.3D.4

解析:

①方程-2x2+x-4=0无解,故①不正确;

②2是质数,但不是奇数,故②不正确;

③正确;

④35能被5和7整除.故④正确.

答

案:

B

5.已知命题p:

∀x∈R,x2+2x-a>0.若p为真命题,则实数a的取值范围是（　　）

A.a>-1B.a<-1C.a≥-1D.a≤-1

解析:

依题意不等式x2+2x-a>0对x∈R恒成立,所以必有Δ=4+4a<0,解得a<-1.

答案:

B

6.命题p:

存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根,则“

p”形式的命题是　. 

答案:

对任意实数m,方程x2+mx+1=0没有实数根

7.给出下列四个命题:

①a⊥b⇔a·b=0;②矩形不是梯形;③∃x,y∈R,x2+y2≤1;④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1.其中全称命题是　　　. 

答案:

①②④

8.已知命题p:

“∀x∈,sinx+cosx>m”为真命题,则m的取值范围是　　　　. 

解析:

设f（x）=sinx+cosx,x∈,则由已知得m

∵f（x）=sinx+cosx,∴f（x）=sin.

又∵0≤x≤,∴≤x+,

∴≤sin≤1,

∴f（x）min=1.∴m的取值范围是m<1.

答案:

（-

∞,1）

9.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:

（1）三角形的内角和为180°;

（2）每个二次函数的图象都开口向下;

（3）存在一个四边形不是平行四边形.

解:

（1）是全称命题且为真命题.

命题的否定:

三角形的内角和不全为180°,即存在一个三角形其内角和不等于180°.

（2）是全称命题且为假命题.

命题的否定:

存在一个二次函数的图象开口不向下.

（3）是特称命题且为真命题.

命题的否定:

所有的四边形都是平行四边形.

10.已知命题p:

∃x0∈R,使a+2x0+a<0,若

命题􀱑p是假命题,求实数a的取值范围.

解:

由于

p是假命题,则p是真命题.

即不等式ax2+2x+a<0有实数解,

（1）当a=0时,不等式为2x<0,符合题意;

（2）当a<0时,抛物线y=ax2+2x+a开口向下,符合题意;

（3）当a>0时,应满足Δ=4-4a2>0.

所以0

综上可知,实数a的取值范围是a<1.

B组

1.若函数f（x）=x2+（a∈R）,则下列结论正确的是（　　）

A.∀a∈R,f（x）在（0,+∞）上是增函数

B.∀a∈R,

f（x）在（0,+∞）上是减函数

C.∃a∈R,f（x）是偶函数

D.∃a∈R,f（x）是奇函数

解析:

对于f（x）=x2+,当a=0时,f（x

）=x2是偶函数,所以C项正确.

答案:

C

2.已知a>0,函数f（x）=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是（　　）

A.∃x∈R,f（x）≤f（x0）B.∃x∈R,f（x）≥f（x0）

C.∀x∈R,f（x）≤f（x0）D.∀x∈R,f（x）≥f（x0）

解析:

当a>0时,函数f（x）=ax2+bx+c的图象为开口向上的抛物线,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则x0=-为

抛物线顶点的横坐标,

f（x）min=f（x0）,故对于∀x∈R,f（x）≥f（x0）成立,

从而选项A,B,D为真命题,选项C为假命题.

答案:

C

3.若命题r（x）:

sinx+cosx>m,s（x）:

x2+mx+1>0,如果对∀x∈R,r（x）为假命题且s（x）为真命题,则实数m的取值范围是　　　　　. 

解析:

因为sinx+cosx=sin∈[-],所以如果对∀x∈R,r（x）为假命题,即对∀x∈R,不等式sinx+cosx>m不恒成立,则m≥;

又对∀x∈R,s（x）为真命题,即对∀x∈R,不等式x2+mx+1>0恒成立,所以Δ=m2-4<0,即-2

故对于∀x∈R,r（x）为假命题且s（x）为真

命题,应有≤m<2.

答案:

≤m<2

4.写出下列命题的

否定,并判断真假.

（1）p:

∀x∈R,x2-x+≥0;

（2）q:

∃x0∈R,+2x0+2≤0.

解:

（1）命题的否定为:

∃x0∈R,-x0+<0,是一个假命题.

（2）命题的否定是:

∀x∈R,x2+2x+2>0,是一个真命题.

5.若命题“对任意实数x,2x>m（

x2+1）”是真命题,求实数m的取值范围.

解:

由题意知,

不等式2x>m（x2+1）恒成立,

即不等式mx2-2x+m<0恒成立.

（1）当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立,不合题意.

（2）当m≠0时,要使不等式mx2-2x+m<0恒成立,则解得m<-1.

综上可知,所求实数m的取值范围是（-∞,-1）.

6.已知命题p:

∀x∈R,x2+（a-1）x+1≥0成立,命题q:

∃x0∈R,a-2ax0-3>0不成立,若p假q真,求实数a的取值范围.

解:

因为命题p:

∀x∈R,x2+（a-1）x+1≥0是假命题,

所以命题

p:

∃x0∈R,+（a-1）x0+1<0是真命题,则Δ=（a-1）2-4>0,即（a-1）2>4,

故a-1<-2或a-1>2,

即a<-1或a>3.

因为命题q:

∃x0∈R,a-2ax0-3>0不成立,

所以命题

q:

∀x∈R,ax2-2ax-3≤0成立,

当a=0时,-3<0成立;

当a<0时,必须Δ=（-2a）2+12a≤0,即a2+3a≤0,

解得-3≤a<0,故-3≤a≤0.

综上所述,-3≤a<-1.

所以实数a的取值范围是[-3,-1）

1.1.1　命题

课时演练·促提升

A组

1.下列语句中是命题的是（　　）

A.函数y=x3-x是奇函数吗?

B.3∈{1,2,3,4}

C.

D.求方程log3x+2=0

的根

解析:

A是疑问句,不是命题;B是命题;C无法判断真假;D不是陈述句,不是命题.

答案:

B

2.下列命题中是假命题的是（　　）

A.若a>0,则2a>1

B.若x2+y2=0,则x=y=0

C.若b2=ac,则a,b,c成等比数列

D.若sinα=sinβ,则不一定有α=β

解析:

当a=b=c=0时,满足b2=ac,但a,b,c不成等比数列.故C项中的命题是假命题.

答案:

C

3.下列命题中真命题有（　　）

①mx2+2x-1=0是一元二次方程;②抛物线y=ax2+2x+1与x轴至少有一个交点;③互相包含的两个集合相等;④空集是任何集合的真子集.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解析:

当m=0时,mx2+2x-1=0不是一元二次方程,故①是假命题;当a>1时,抛物线y=ax2+2x+1与x轴无交点,故②是假命题;由集合相等的定义知③是真命题;空集是任何非空集合的真子集,故④是假命题.

答案:

A

4.给出命题:

方程

x2+ax+1=0没有实数根.则使该命题为

真命题的a的一个值可以是（　　）

A.4B.2

C.0D.-3

解析:

当方程没有实数根时,应有Δ=a2-4<0,即-2

答案:

C

5.下面命题中是真命题的是（　　）

A.函数y=sin2x的最小正周期是2π

B.等差数列一定是单调数列

C.直线y=ax+a过定点（-1,0）

D.在△ABC中,若>0,则B为锐角

解析:

对A,y=sin2x=,周期T==π,故A为假命题;对B,当公差为零时,数列为常数

列,故B为假命题.对D,当>0时,的夹角为锐角,B为钝角,故D为假命题.

答案:

C

6.有下列语句:

①集合{a,b,c}有3个子集;②x2-1≤0;③今天天气真好啊;④f（x）=2log3x（x>0）是一个对数函数;⑤若A∪B=A∩B,则A=B.其中是真命题的序号为　　　　　. 

解析:

①是

命题,但

是假命题,②③不是命题;④是命题,但是假命题;⑤是命题,且是真命题.

答案:

⑤

7.把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p,则q”的形式为　. 

答案:

若一个整数的末位数字是4,则它一定能被2整除

8.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假,且指出p和q分别指什么?

（1）乘积为1的两个实数互为倒数;

（2）奇函数的图象关于原点对称;

（3）与同一直线平行的两个平面平行;

（4）当m>时,方程mx2-x+1=0无实根.

解:

（1）“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”,它是真命题.

p:

两个实数乘积为1;q:

两个实数互为倒数.

（2）“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”,它是真命题.

p:

一个函数为奇函数;q:

函数的图象关于原点对称.

（3）“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平

面平行”,它是假命题,这两个平面也可能相交.

p:

两个平面与同一条直线平行;q:

两个平面平行.

（4）“若m>,则方程mx2-x+1=0无实根”,它是真命题.

p:

m>;q:

方程mx2-x+1=0无实根.

9.已知命题p:

方程x2-x+a=0有实数根;q:

不等式x2+2ax+1>0对一切x∈R恒成立.若命题p和q均为真

命题,求实数a的取值范围.

解:

当命题p是真命题时,应有Δ=1-4a≥0,解得a≤.

当命题q是真命题时,应有Δ=4a2-4<0,解得-1

因此当p和q都是真命题时,a的取值范围是-1

B组

1.“若x>1,则p”为真命题,那么p不能是（　　）

A.x>-1B.x>0C.x>1D.x>2

解析:

由不等式的性质易知选D.

答案:

D

2.已知下列命题:

（1）已知平面向量a,b,若a·b=0,则a⊥b;

（2）已知平面向量a,b,若a∥b,则a=λb（λ∈R）;

（3）若两个平面同时垂直于一条直线,则这两个平面平行;

（4）若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同,则该几何体是正方体.

其中真命题的个数是（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

解析:

对于

（1）,当a,b中有一个为零向量时,a⊥b不成立,故

（1）是假命题;对于

（2）,当b=0,a≠0时,a=λb不成立,故

（2）是假命题;（3）为真命题;对于（4）,几何体还可以是球,故（4）为假命题.

答案:

A

3.如果命题“若x∈A,则x+≥2”为真命题,则集合A可以是　　　　　.（写出一个正确的即可） 

解析

:

由基本不等式可知,当x>0时,x+≥2,故A可以是{x|x>0}.

答案:

{x|x>0}

4.判断下列命题的真假:

（1）对角线不相等的四边形不是等腰梯形;

（2）若x∉A∩B,则x∉A,且x∉B;

（3）若x2+y2≠0,则xy≠0;

（4）若x≠y或x≠-y,则|x|≠|y|.

解:

（1）真命题.

（2）假命题.（3）假命题.（4）假命题.

5.已知命题P:

lg（x2-2x-2）≥0,命题Q:

1-x+<1,若命题P,Q至少有一个是真命题,求实数x的取值范围.

解:

由lg（x2-2x-2）≥0,得x2-2x-2≥1,解得x≤-1或x≥3.

由1-x+<1,得x2-4x<0,

解得0

若命题P,Q至少有一个是真命题,则有以下三种情形:

①P真Q假;②P假Q真;③P真Q真.

当P真Q假时,有

解得x≤-1或x≥4.

当P假Q真时,有解得0<

x<

3.

当P真Q真时,有解得3≤x<4.

综上可知,满足条件的实数x的取值范围为以上三种情况的并集,即（-∞,-1]∪（0,+∞）.

6.已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0},B={x|x<0}.若A∩B=⌀是假命题,求实数m的取值范围.

解:

设全集U={m|Δ=（-4m）2-4（2m+6）≥0}=.

若设方程x2-4mx+（2m+6）=0的两根分别为x1,x2,当两根均为非负实根时,有

解得m≥.

∵关于U的补集是{m|m≤-1},

∴实数m的取值范围

是{m|m≤-1}.

1.1.2　四种命题

1.1.3　四种命题间的相互关系

课时演练·促提升

A组

1.命题“若a>b,则a-1>b-1”的逆否命题是（　　）

A.若a-1≤b-1,则a≤bB.若a

C.若a-1>b-1,则a>bD.若a≤b,则a-1≤b-1

解析:

命题“若p,则q”的逆否命题为“若

q,则

p”,故选A.

答案:

A

2.命题“正数a的平方根不等于0”是命题“若一个数a的平方根

不等于0,则a是正数”的（　　）

A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定

解析:

两个命题的条件和结论互换

所以互为逆命题.

答案:

A

3.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（　　）

A.真命题与假命题的个数相同

B.真命题的个数一定是奇数

C.真命题的个数一定是偶数

D.真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数

解析:

因为原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,所以真命题的个数一定是偶数.

答案:

C

4.原命题:

“a,b,c∈R,若a>b,则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有（　　）

A.0个B.1个C.2个D.4个

解析:

对原命题:

当c=0时ac2=bc2,故原命题为假命题.又逆命题为“a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b”,由不等式性质,可得此命题为真命题.由命题的等价性知,原命题与逆否命题为假命题,逆命题和否命题为真命题.

答案:

C

5.已知下列四个命题:

①“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题;

②“正方形是菱形”的否命题;

③“若m>2,则不等式x2-2x+m>0的解集为R”.

其中真命题的个数为（　　）

A.0B.1C.2D.3

解析:

对①,原命题是假命题,其逆否命题也是假命题;

对②,其否命题是:

不是正方形的四边形不是菱形,是假命题;

对③,不等式x2-2x+m>0的解集为R,需满足Δ=4-4m<0,解得m>1.而m>2满足m>1.故只有③正确.故选B.

答案:

B

6.“若函数f（x）=sin（x+φ）为偶函数,则φ=”的否命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

答案:

若函数f（x）=sin（x+φ）不是偶函数,则φ≠

7.已知命题p:

“若a>b,则+1”,则在p的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数为　　　　　. 

解析:

当a>b时,有,必有+1,故命题p是真命题,从而逆否命题也是真命题.又当+1时,不一定有a>b.例如,a=b=0,即p的逆命题是假命题,否命题也是假命题.

答案:

2

8.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.

以上两个命题中,逆命题为真命题的是　　　　　. 

解析:

①中的逆命题是:

若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.

我们用正方体ABCD-A1B1C1D1做模型来观察:

上底面A1B1C1D1的顶点中任何三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以①中的逆命题是假命题.

②中的逆命题是:

若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.

由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点.

所以②中的逆命题是真命题.

答案:

②

9.判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+（2a+

1）x+a2+2≤0的解集为空集,则a<2”的逆否命题的真假.

解法一:

原命题的逆否命题为:

“已知a,x为实数,若a≥2,则关于x的不等式x2+（2a+1）x+a2+2≤0的解集不是空集”.

判断真假如下:

抛物线y=x2+（2a+1）x

+a2+2开口向上,判别式Δ=（2a+1）2-4（a2+2）=4a-7.

∵a≥2,∴4a-7>0,即抛物线与x轴有交点.

∴关于x

的不等式x2+（2a+1）x+a2+2≤0的解集不是空集,故原命题的逆否命题为真命题.

解法二:

先判断原命题的真假:

∵a,x为实数,关于x的不等式x2+

（2a+1）x+a2+2≤0的解集为空集,

∴Δ=（2a+1）2-4（a2+2）=4a-7<0,∴a<<2.

∴原命题为真命题.

由原命题和它的逆否命题

等价,知它的逆否命题为真命题.

10.写出命题“如果|x-2|+（y-1）2=0,则x=2且y=1”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.

解:

逆命题:

如果x=2且y=1,则|x-2|+（y-1）2=0;真命题.

否命题:

如果|x-2|+（y-1）2≠0,则x≠2或y≠1;真命题.

逆否命题:

如果x≠2或y≠1,则|x-2|+（y-1）2≠0;真命题.

B组

1.给出命题:

若函数y=f（x）是幂函数,则函数y=f（x）的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是（　　）

A.3B.2C.1D.0

解析:

由已知原命题为真命题,则逆否命题为真命题.逆命题为“若函数y=f（x）的图象不过第四象限,则函数y=f（x）

是幂函数”,为假命题,如f（x）=3x2.故否命题也为假命题.

答案:

C

2.若命题p的逆命题是q,命题p的逆否命题是r,则q是r的（　　）

A.逆命题B.否命题

C.逆否命题D.以上都不正确

解析:

设命题p为“若m,则n”,则命题q为“若n,则m”,命题r为“若􀱑n,则􀱑m”,所以q是r的否命题.

答案:

B

3.已知命题“若1

解析:

∵原命题与逆否命题的真假性相同,

∴由已知得原命题为真命题.

∴∴1≤m≤2.

答案:

[1,2]

4.命题“若α,β,γ是一个三角形的三个内角,则α,β,γ不可能都大于60°”是真命题还是假命题?

你能证明你的结论吗?

解:

该命题的逆否命题为“若α,β,γ都大于60°,则α,β,γ不是一个三角形的三个内角”.证明如下:

若α>60°,β>60°,γ>60°,则α+β+γ>180°.

而三角形的内角和为180°,所以α,β,γ不是一个三角形的三个内角.

这表明,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.

5.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.

（1）矩形的对角线相等且互相平分;

（2）正偶数不是质数.

解:

（1）逆命题:

若一个四边形的对角线相等且互相平分,则它是矩形,真命题.

否命题:

若一个四边形不是矩形,则它的对角线不相等或

不互相平分,真命题.

逆否命题:

若一个四边形的对角线不相等或不互相平分,则它不是矩形,真命题.

（2）逆命题:

若一个正数不是质数,则这个数是偶数,假命题.

否

命题:

若一个正数不是偶数,则这个数是质

数,假命题.

逆否命题:

若一个正数是质数,则这个数不是偶数,假命题.

6.已知函数f（x）是（-∞,+∞）上的增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”.

（1）写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论;

（2）写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.

解:

（1）逆命题:

若f（a）+f（b）≥f（-

a）+f（-b）,

则a+b≥0,真命题.

用反证法证明:

假设a+b<0,则a<-b,b<-a.

∵f（x）是（-∞,+∞）上的增函数,

∴f（a）

∴f（a）+f（b）

这与题设相矛盾.

∴逆命题为真命题.

（2）逆否命题:

若f（a）+f（b）

∵互为逆否的命题真假性相同,

∴可证明原命题为真命题.

∵a+b≥0,

∴a≥-b,b≥-a.

又∵f（x）是（-∞,+∞）上的增函数,

∴f（a）≥f（-b）,f（b）≥f（-a）,

∴f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）.

∴逆否命题为真.

【优化设计】2015-2016学年高中数学1.2充分条件与必要条件课后习题新人教A版选修2-1

课时演练·促提升

A组

1.“数列{an}为等比数列”是“an=3n（n∈N*）”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析:

当an=3n时,{an}一定为等比数列,但当{an}为等比

数列时,不一定有an=3n,故应为必要不充分条件.

答案:

B

2.对于非零向

量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充

分也不必要条件

解析:

由a+b=0可知a,b是相反向量,它们一定平行;但当a∥b时,不一定有a+b=0,故应为充分不必要条件.

答案:

A

3.“实数a=0”是“直线x-2ay=1和2x-2ay=1平行”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析:

当a=0时,两直线方程分别为x=1和2x=1,显然两直线平行;反之,若两直线平行,必有1×（-2a）=（-2a）×2,解得a=0,故应为充要条件.

答案:

C

4.函数y=（2-a）x（a<2且a≠1）是增函数的充要条件是（　　）

A.1

1D.a<0

解析:

由指数函数性质得,当y=（2-a）x（a<2且a≠1）是增函数时,2-a>1,解得a<1.故选C.

答案:

C

5.设p:

|x|>1,q:

x<-2或x>1,则

p是

q的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析:

由已知p:

x<-1或x>1,则q是p的充分不必要条件.由互为逆否命题的两个命题同真,得

p是

q的充分不必要条件.

答案

:

A

6.“关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是（　　）

A.0

C