人教A版高中数学选修21课后习题集 汇编 120页含答案解析Word格式文档下载.docx
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-1C.a≥-1D.a≤-1
依题意不等式x2+2x-a>
0对x∈R恒成立,所以必有Δ=4+4a<
0,解得a<
-1.
6.命题p:
存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根,则“
p”形式的命题是 .
对任意实数m,方程x2+mx+1=0没有实数根
7.给出下列四个命题:
①a⊥b⇔a·
b=0;
②矩形不是梯形;
③∃x,y∈R,x2+y2≤1;
④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1.其中全称命题是 .
①②④
8.已知命题p:
“∀x∈,sinx+cosx>
m”为真命题,则m的取值范围是 .
设f(x)=sinx+cosx,x∈,则由已知得m<
f(x)min.
∵f(x)=sinx+cosx,∴f(x)=sin.
又∵0≤x≤,∴≤x+,
∴≤sin≤1,
∴f(x)min=1.∴m的取值范围是m<
1.
(-
∞,1)
9.判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:
(1)三角形的内角和为180°
;
(2)每个二次函数的图象都开口向下;
(3)存在一个四边形不是平行四边形.
解:
(1)是全称命题且为真命题.
命题的否定:
三角形的内角和不全为180°
即存在一个三角形其内角和不等于180°
.
(2)是全称命题且为假命题.
存在一个二次函数的图象开口不向下.
(3)是特称命题且为真命题.
所有的四边形都是平行四边形.
10.已知命题p:
∃x0∈R,使a+2x0+a<
0,若
命题
p是假命题,求实数a的取值范围.
由于
p是假命题,则p是真命题.
即不等式ax2+2x+a<
0有实数解,
(1)当a=0时,不等式为2x<
0,符合题意;
(2)当a<
0时,抛物线y=ax2+2x+a开口向下,符合题意;
(3)当a>
0时,应满足Δ=4-4a2>
0.
所以0<
a<
综上可知,实数a的取值范围是a<
B组
1.若函数f(x)=x2+(a∈R),则下列结论正确的是( )
A.∀a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数
B.∀a∈R,
f(x)在(0,+∞)上是减函数
C.∃a∈R,f(x)是偶函数
D.∃a∈R,f(x)是奇函数
对于f(x)=x2+,当a=0时,f(x
)=x2是偶函数,所以C项正确.
2.已知a>
0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是( )
A.∃x∈R,f(x)≤f(x0)B.∃x∈R,f(x)≥f(x0)
C.∀x∈R,f(x)≤f(x0)D.∀x∈R,f(x)≥f(x0)
当a>
0时,函数f(x)=ax2+bx+c的图象为开口向上的抛物线,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则x0=-为
抛物线顶点的横坐标,
f(x)min=f(x0),故对于∀x∈R,f(x)≥f(x0)成立,
从而选项A,B,D为真命题,选项C为假命题.
3.若命题r(x):
sinx+cosx>
m,s(x):
x2+mx+1>
0,如果对∀x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真命题,则实数m的取值范围是 .
因为sinx+cosx=sin∈[-],所以如果对∀x∈R,r(x)为假命题,即对∀x∈R,不等式sinx+cosx>
m不恒成立,则m≥;
又对∀x∈R,s(x)为真命题,即对∀x∈R,不等式x2+mx+1>
0恒成立,所以Δ=m2-4<
0,即-2<
m<
2;
故对于∀x∈R,r(x)为假命题且s(x)为真
命题,应有≤m<
2.
≤m<
2
4.写出下列命题的
否定,并判断真假.
(1)p:
∀x∈R,x2-x+≥0;
(2)q:
∃x0∈R,+2x0+2≤0.
(1)命题的否定为:
∃x0∈R,-x0+<
0,是一个假命题.
(2)命题的否定是:
∀x∈R,x2+2x+2>
0,是一个真命题.
5.若命题“对任意实数x,2x>
m(
x2+1)”是真命题,求实数m的取值范围.
由题意知,
不等式2x>
m(x2+1)恒成立,
即不等式mx2-2x+m<
0恒成立.
(1)当m=0时,不等式可化为-2x<
0,显然不恒成立,不合题意.
(2)当m≠0时,要使不等式mx2-2x+m<
0恒成立,则解得m<
综上可知,所求实数m的取值范围是(-∞,-1).
6.已知命题p:
∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0成立,命题q:
∃x0∈R,a-2ax0-3>
0不成立,若p假q真,求实数a的取值范围.
因为命题p:
∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0是假命题,
所以命题
∃x0∈R,+(a-1)x0+1<
0是真命题,则Δ=(a-1)2-4>
0,即(a-1)2>
4,
故a-1<
-2或a-1>
2,
即a<
-1或a>
3.
因为命题q:
0不成立,
q:
∀x∈R,ax2-2ax-3≤0成立,
当a=0时,-3<
0成立;
当a<
0时,必须Δ=(-2a)2+12a≤0,即a2+3a≤0,
解得-3≤a<
0,故-3≤a≤0.
综上所述,-3≤a<
所以实数a的取值范围是[-3,-1)
1.1.1 命题
1.下列语句中是命题的是( )
A.函数y=x3-x是奇函数吗?
B.3∈{1,2,3,4}
C.
D.求方程log3x+2=0
的根
A是疑问句,不是命题;
B是命题;
C无法判断真假;
D不是陈述句,不是命题.
2.下列命题中是假命题的是( )
A.若a>
0,则2a>
B.若x2+y2=0,则x=y=0
C.若b2=ac,则a,b,c成等比数列
D.若sinα=sinβ,则不一定有α=β
当a=b=c=0时,满足b2=ac,但a,b,c不成等比数列.故C项中的命题是假命题.
3.下列命题中真命题有( )
①mx2+2x-1=0是一元二次方程;
②抛物线y=ax2+2x+1与x轴至少有一个交点;
③互相包含的两个集合相等;
④空集是任何集合的真子集.
A.1个B.2个
C.3个D.4个
当m=0时,mx2+2x-1=0不是一元二次方程,故①是假命题;
1时,抛物线y=ax2+2x+1与x轴无交点,故②是假命题;
由集合相等的定义知③是真命题;
空集是任何非空集合的真子集,故④是假命题.
4.给出命题:
方程
x2+ax+1=0没有实数根.则使该命题为
真命题的a的一个值可以是( )
A.4B.2
C.0D.-3
当方程没有实数根时,应有Δ=a2-4<
2,所以使该命题为真命题的a的一个值可以是0.
5.下面命题中是真命题的是( )
A.函数y=sin2x的最小正周期是2π
B.等差数列一定是单调数列
C.直线y=ax+a过定点(-1,0)
D.在△ABC中,若>
0,则B为锐角
对A,y=sin2x=,周期T==π,故A为假命题;
对B,当公差为零时,数列为常数
列,故B为假命题.对D,当>
0时,的夹角为锐角,B为钝角,故D为假命题.
6.有下列语句:
①集合{a,b,c}有3个子集;
②x2-1≤0;
③今天天气真好啊;
④f(x)=2log3x(x>
0)是一个对数函数;
⑤若A∪B=A∩B,则A=B.其中是真命题的序号为 .
①是
命题,但
是假命题,②③不是命题;
④是命题,但是假命题;
⑤是命题,且是真命题.
⑤
7.把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p,则q”的形式为 .
若一个整数的末位数字是4,则它一定能被2整除
8.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假,且指出p和q分别指什么?
(1)乘积为1的两个实数互为倒数;
(2)奇函数的图象关于原点对称;
(3)与同一直线平行的两个平面平行;
(4)当m>
时,方程mx2-x+1=0无实根.
(1)“若两个实数乘积为1,则这两个实数互为倒数”,它是真命题.
两个实数乘积为1;
两个实数互为倒数.
(2)“若一个函数为奇函数,则它的图象关于原点对称”,它是真命题.
一个函数为奇函数;
函数的图象关于原点对称.
(3)“若两个平面与同一条直线平行,则这两个平
面平行”,它是假命题,这两个平面也可能相交.
两个平面与同一条直线平行;
两个平面平行.
(4)“若m>
则方程mx2-x+1=0无实根”,它是真命题.
m>
方程mx2-x+1=0无实根.
9.已知命题p:
方程x2-x+a=0有实数根;
不等式x2+2ax+1>
0对一切x∈R恒成立.若命题p和q均为真
命题,求实数a的取值范围.
当命题p是真命题时,应有Δ=1-4a≥0,解得a≤.
当命题q是真命题时,应有Δ=4a2-4<
0,解得-1<
因此当p和q都是真命题时,a的取值范围是-1<
a≤.
1.“若x>
1,则p”为真命题,那么p不能是( )
A.x>
-1B.x>
0C.x>
1D.x>
由不等式的性质易知选D.
D
2.已知下列命题:
(1)已知平面向量a,b,若a·
b=0,则a⊥b;
(2)已知平面向量a,b,若a∥b,则a=λb(λ∈R);
(3)若两个平面同时垂直于一条直线,则这两个平面平行;
(4)若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同,则该几何体是正方体.
其中真命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
对于
(1),当a,b中有一个为零向量时,a⊥b不成立,故
(1)是假命题;
对于
(2),当b=0,a≠0时,a=λb不成立,故
(2)是假命题;
(3)为真命题;
对于(4),几何体还可以是球,故(4)为假命题.
3.如果命题“若x∈A,则x+≥2”为真命题,则集合A可以是 .(写出一个正确的即可)
解析
:
由基本不等式可知,当x>
0时,x+≥2,故A可以是{x|x>
0}.
{x|x>
0}
4.判断下列命题的真假:
(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形;
(2)若x∉A∩B,则x∉A,且x∉B;
(3)若x2+y2≠0,则xy≠0;
(4)若x≠y或x≠-y,则|x|≠|y|.
(1)真命题.
(2)假命题.(3)假命题.(4)假命题.
5.已知命题P:
lg(x2-2x-2)≥0,命题Q:
1-x+<
1,若命题P,Q至少有一个是真命题,求实数x的取值范围.
由lg(x2-2x-2)≥0,得x2-2x-2≥1,解得x≤-1或x≥3.
由1-x+<
1,得x2-4x<
0,
解得0<
x<
4.
若命题P,Q至少有一个是真命题,则有以下三种情形:
①P真Q假;
②P假Q真;
③P真Q真.
当P真Q假时,有
解得x≤-1或x≥4.
当P假Q真时,有解得0<
当P真Q真时,有解得3≤x<
综上可知,满足条件的实数x的取值范围为以上三种情况的并集,即(-∞,-1]∪(0,+∞).
6.已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0},B={x|x<
0}.若A∩B=⌀是假命题,求实数m的取值范围.
设全集U={m|Δ=(-4m)2-4(2m+6)≥0}=.
若设方程x2-4mx+(2m+6)=0的两根分别为x1,x2,当两根均为非负实根时,有
解得m≥.
∵关于U的补集是{m|m≤-1},
∴实数m的取值范围
是{m|m≤-1}.
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
1.命题“若a>
b,则a-1>
b-1”的逆否命题是( )
A.若a-1≤b-1,则a≤bB.若a<
b,则a-1<
b-1
C.若a-1>
b-1,则a>
bD.若a≤b,则a-1≤b-1
命题“若p,则q”的逆否命题为“若
q,则
p”,故选A.
2.命题“正数a的平方根不等于0”是命题“若一个数a的平方根
不等于0,则a是正数”的( )
A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定
两个命题的条件和结论互换
所以互为逆命题.
3.一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中( )
A.真命题与假命题的个数相同
B.真命题的个数一定是奇数
C.真命题的个数一定是偶数
D.真命题的个数可能是奇数,也可能是偶数
因为原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假,所以真命题的个数一定是偶数.
4.原命题:
“a,b,c∈R,若a>
b,则ac2>
bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有( )
A.0个B.1个C.2个D.4个
对原命题:
当c=0时ac2=bc2,故原命题为假命题.又逆命题为“a,b,c∈R,若ac2>
bc2,则a>
b”,由不等式性质,可得此命题为真命题.由命题的等价性知,原命题与逆否命题为假命题,逆命题和否命题为真命题.
5.已知下列四个命题:
①“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题;
②“正方形是菱形”的否命题;
③“若m>
2,则不等式x2-2x+m>
0的解集为R”.
其中真命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
对①,原命题是假命题,其逆否命题也是假命题;
对②,其否命题是:
不是正方形的四边形不是菱形,是假命题;
对③,不等式x2-2x+m>
0的解集为R,需满足Δ=4-4m<
0,解得m>
1.而m>
2满足m>
1.故只有③正确.故选B.
6.“若函数f(x)=sin(x+φ)为偶函数,则φ=”的否命题是 .
若函数f(x)=sin(x+φ)不是偶函数,则φ≠
7.已知命题p:
“若a>
b,则+1”,则在p的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数为 .
b时,有,必有+1,故命题p是真命题,从而逆否命题也是真命题.又当+1时,不一定有a>
b.例如,a=b=0,即p的逆命题是假命题,否命题也是假命题.
8.在空间中,①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线;
②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线.
以上两个命题中,逆命题为真命题的是 .
①中的逆命题是:
若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面.
我们用正方体ABCD-A1B1C1D1做模型来观察:
上底面A1B1C1D1的顶点中任何三点都不共线,但A1,B1,C1,D1四点共面,所以①中的逆命题是假命题.
②中的逆命题是:
若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点.
由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点.
所以②中的逆命题是真命题.
②
9.判断命题“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+
1)x+a2+2≤0的解集为空集,则a<
2”的逆否命题的真假.
解法一:
原命题的逆否命题为:
“已知a,x为实数,若a≥2,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集”.
判断真假如下:
抛物线y=x2+(2a+1)x
+a2+2开口向上,判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7.
∵a≥2,∴4a-7>
0,即抛物线与x轴有交点.
∴关于x
的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集不是空集,故原命题的逆否命题为真命题.
解法二:
先判断原命题的真假:
∵a,x为实数,关于x的不等式x2+
(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,
∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7<
0,∴a<
<
∴原命题为真命题.
由原命题和它的逆否命题
等价,知它的逆否命题为真命题.
10.写出命题“如果|x-2|+(y-1)2=0,则x=2且y=1”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.
逆命题:
如果x=2且y=1,则|x-2|+(y-1)2=0;
真命题.
否命题:
如果|x-2|+(y-1)2≠0,则x≠2或y≠1;
逆否命题:
如果x≠2或y≠1,则|x-2|+(y-1)2≠0;
1.给出命题:
若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )
A.3B.2C.1D.0
由已知原命题为真命题,则逆否命题为真命题.逆命题为“若函数y=f(x)的图象不过第四象限,则函数y=f(x)
是幂函数”,为假命题,如f(x)=3x2.故否命题也为假命题.
2.若命题p的逆命题是q,命题p的逆否命题是r,则q是r的( )
A.逆命题B.否命题
C.逆否命题D.以上都不正确
设命题p为“若m,则n”,则命题q为“若n,则m”,命题r为“若
n,则
m”,所以q是r的否命题.
3.已知命题“若1<
2,则m-1<
m+1”的逆否命题为真命题,则m的取值范围是 .
∵原命题与逆否命题的真假性相同,
∴由已知得原命题为真命题.
∴∴1≤m≤2.
[1,2]
4.命题“若α,β,γ是一个三角形的三个内角,则α,β,γ不可能都大于60°
”是真命题还是假命题?
你能证明你的结论吗?
该命题的逆否命题为“若α,β,γ都大于60°
则α,β,γ不是一个三角形的三个内角”.证明如下:
若α>
60°
β>
γ>
则α+β+γ>
180°
而三角形的内角和为180°
所以α,β,γ不是一个三角形的三个内角.
这表明,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.
5.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假.
(1)矩形的对角线相等且互相平分;
(2)正偶数不是质数.
(1)逆命题:
若一个四边形的对角线相等且互相平分,则它是矩形,真命题.
若一个四边形不是矩形,则它的对角线不相等或
不互相平分,真命题.
若一个四边形的对角线不相等或不互相平分,则它不是矩形,真命题.
(2)逆命题:
若一个正数不是质数,则这个数是偶数,假命题.
否
命题:
若一个正数不是偶数,则这个数是质
数,假命题.
若一个正数是质数,则这个数不是偶数,假命题.
6.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.
(1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论;
(2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.
若f(a)+f(b)≥f(-
a)+f(-b),
则a+b≥0,真命题.
用反证法证明:
假设a+b<
0,则a<
-b,b<
-a.
∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,
∴f(a)<
f(-b),f(b)<
f(-a),
∴f(a)+f(b)<
f(-a)+f(-b).
这与题设相矛盾.
∴逆命题为真命题.
(2)逆否命题:
若f(a)+f(b)<
f(-a)+f(-b),则a+b<
0,真命题.
∵互为逆否的命题真假性相同,
∴可证明原命题为真命题.
∵a+b≥0,
∴a≥-b,b≥-a.
又∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,
∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),
∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
∴逆否命题为真.
【优化设计】2015-2016学年高中数学1.2充分条件与必要条件课后习题新人教A版选修2-1
1.“数列{an}为等比数列”是“an=3n(n∈N*)”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
当an=3n时,{an}一定为等比数列,但当{an}为等比
数列时,不一定有an=3n,故应为必要不充分条件.
2.对于非零向
量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( )
C.充要条件D.既不充
分也不必要条件
由a+b=0可知a,b是相反向量,它们一定平行;
但当a∥b时,不一定有a+b=0,故应为充分不必要条件.
3.“实数a=0”是“直线x-2ay=1和2x-2ay=1平行”的( )
当a=0时,两直线方程分别为x=1和2x=1,显然两直线平行;
反之,若两直线平行,必有1×
(-2a)=(-2a)×
2,解得a=0,故应为充要条件.
4.函数y=(2-a)x(a<
2且a≠1)是增函数的充要条件是( )
A.1<
2B.<
2C.a<
1D.a<
由指数函数性质得,当y=(2-a)x(a<
2且a≠1)是增函数时,2-a>
1,解得a<
1.故选C.
5.设p:
|x|>
1,q:
-2或x>
1,则
p是
q的( )
由已知p:
-1或x>
1,则q是p的充分不必要条件.由互为逆否命题的两个命题同真,得
q的充分不必要条件.
答案
6.“关于x的不等式x2-2ax+a>
0对x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A.0<
1B.0≤a≤1