N2=m2g+Ncosθ[3],f2=μN2[4]
将[1]、[3]代入[4]式得：
f2=μ（m1+m2>g
取A、B组成的系统，有：
F-f2=（m1+m2>a[5]
由[1]、[2]、[5]式解得：
F=m1g（m1+m2>（tgθ-μ>/m2
故A、B不发生相对滑动时F的取值范围为：
0＜F≤m1g（m1+m2>（tgθ-μ>/m2
想一想：
当A、B与水平地面间光滑时，且又m1=m2=m时，则F的取值范围是多少？
<0＜F≤2mgtgθ>。
sQsAEJkW5T
7、某人造地球卫星的高度是地球半径的15倍。
试估算此卫星的线速度。
已知地球半径R=6400km，g=10m/s2。
>GMsIasNXkA
分析与解：
人造地球卫星绕地球做圆周运动的向心力由地球对卫星的引力提供，设地球与卫星的质量分别为M、m，则：
=
[1]TIrRGchYzg
又根据近地卫星受到的引力可近似地认为等于其重力，即：
mg=
[2]
[1]、[2]两式消去GM解得：
V=
=
=2.0X103m/s
说明：
n越大（即卫星越高>，卫星的线速度越小。
若n=0，即近地卫星，则卫星的线速度为V0=
=7.9×103m/s，这就是第一宇宙速度，即环绕速度。
7EqZcWLZNX
8、一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R<比细管的内径大得多。
在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球<可视为质点）。
A球的质量为m1，B球的质量为m2。
它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为V0。
设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1、m2、R与V0应满足的关系式是。
lzq7IGf02E
分析与解：
如图7-1所示，A球运动到最低点时速度为V0，A球受到向下重力mg和细管向上弹力N1的作用，其合力提供向心力。
那么，N1-m1g=m1
[1]zvpgeqJ1hk
这时B球位于最高点，速度为V1，B球受向下重力m2g和细管弹力N2作用。
球作用于细管的力是N1、N2的反作用力，要求两球作用于细管的合力为零，即要求N2与N1等值反向，N1=N2[2]，且N2方向一定向下，对B球：
N2+m2g=m2
[3]NrpoJac3v1
B球由最高点运动到最低点时速度为V0，此过程中机械能守恒：
即
m2V12+m2g2R=
m2V02[4]
由[1][2][3][4]式消去N1、N2和V1后得到m1、m2、R与V0满足的关系式是：
（m1-m2>
+（m1+5m2>g=0[5]
说明：
<1）本题不要求出某一物理量，而是要求根据对两球运动的分析和受力的分析，在建立[1]-[4]式的基础上得到m1、m2、R与V0所满足的关系式[5]。
<2）由题意要求两球对圆管的合力为零知，N2一定与N1方向相反，这一点是列出[3]式的关键。
且由[5]式知两球质量关系m1＜m2。
1nowfTG4KI
9、如图8-1所示，质量为m=0.4kg的滑块，在水平外力F作用下，在光滑水平面上从A点由静止开始向B点运动，到达B点时外力F突然撤去，滑块随即冲上半径为R=0.4M的
光滑圆弧面小车，小车立即沿光滑水平面PQ运动。
设：
开始时平面AB与圆弧CD相切，A、B、C三点在同一水平线上，令AB连线为X轴，且AB=d=0.64m，滑块在AB面上运动时，其动量随位移的变化关系为P=1.6
kgm/s，小车质量M=3.6kg，不计能量损失。
求：
fjnFLDa5Zo
（1>滑块受水平推力F为多大?
（2>滑块通过C点时，圆弧C点受到压力为多大?
（3>滑块到达D点时，小车速度为多大?
（4>滑块能否第二次通过C点?
若滑块第二次通过C点时，小车与滑块的速度分别为多大?
（5>滑块从D点滑出再返回D点这一过程中，小车移动距离为多少?
（g取10m/s2>tfnNhnE6e5
分析与解：
（1>由P=1.6
=mv，代入x=0.64m，可得滑块到B点速度为：
VB=1.6
/m=1.6
/m=3.2m/s
A→B，由动能定理得：
FS=
mVB2
所以F=m
=0.4×3.22/（2×0.64>=3.2N
（2>滑块滑上C立即做圆周运动，由牛顿第二定律得：
N-mg=m
而VC=VB则
N=mg+m
=0.4×10+0.4×3.22/0.4=14.2N
（3>滑块由C→D的过程中，滑块和小车组成系统在水平方向动量守恒，由于滑块始终紧贴着小车一起运动，在D点时，滑块和小车具有相同的水平速度VDX。
由动量守恒定律得：
mVC=（M+m>VDXHbmVN777sL
所以VDX=mVC/（M+m>=0.4X3.2/（3.6+0.4>=0.32m/s
（4>滑块一定能再次通过C点。
因为滑块到达D点时，除与小车有相同的水平速度VDX外，还具有竖直向上的分速度VDY，因此滑块以后将脱离小车相对于小车做竖直上抛运动（相对地面做斜上抛运动>。
因题中说明无能量损失，可知滑块在离车后一段时间内，始终处于D点的正上方（因两者在水平方向不受力作用，水平方向分运动为匀速运动，具有相同水平速度>，所以滑块返回时必重新落在小车的D点上，然后再圆孤下滑，最后由C点离开小车，做平抛运动落到地面上。
由机械能守恒定律得：
V7l4jRB8Hs
mVC2=mgR+
（M+m>VDX2+
mVDY2
所以
以滑块、小车为系统，以滑块滑上C点为初态，滑块第二次滑到C点时为末态，此过程中系统水平方向动量守恒，系统机械能守恒（注意：
对滑块来说，此过程中弹力与速度不垂直，弹力做功，机械能不守恒>得：
83lcPA59W9
mVC=mVC‘+MV即
mVC2=
mVC’2+
MV2
上式中VC‘、V分别为滑块返回C点时，滑块与小车的速度，
V=2mVC/（M+m>=2X0.4X3.2/（3.6+0.4>=0.64m/s
VC’=（m-M>VC/（m+M>=（0.4-3.6>X3.2/（0.4+3.6>=-2.56m/s（与V反向>mZkklkzaaP
（5>滑块离D到返回D这一过程中，小车做匀速直线运动，前进距离为：
△S=VDX2VDY/g=0.32×2×1.1/10=0.07m
10、如图9-1所示，质量为M=3kg的木板静止在光滑水平面上，板的右端放一质量为m=1kg的小铁块，现给铁块一个水平向左速度V0=4m/s，铁块在木板上滑行，与固定在木板左端的水平轻弹簧相碰后又返回，且恰好停在木板右端，求铁块与弹簧相碰过程中，弹性势能的最大值EP。
AVktR43bpw
分析与解：
在铁块运动的整个过程中，系统的动量守恒，因此弹簧压缩最大时和铁块停在木板右端时系统的共同速度<铁块与木板的速度相同）可用动量守恒定律求出。
在铁块相对于木板往返运动过程中，系统总机械能损失等于摩擦力和相对运动距离的乘积，可利用能量关系分别对两过程列方程解出结果。
ORjBnOwcEd
设弹簧压缩量最大时和铁块停在木板右端时系统速度分别为V和V’，由动量守恒得：
mV0=（M+m>V=（M+m>V’所以，V=V’=mV0/（M+m>=1X4/（3+1>=1m/s2MiJTy0dTT
铁块刚在木板上运动时系统总动能为：
EK=
mV02=0.5X1X16=8J
弹簧压缩量最大时和铁块最后停在木板右端时，系统总动能都为：
EK’=
（M+m>V2=0.5X（3+1>X1=2J
铁块在相对于木板往返运过程中，克服摩擦力f所做的功为：
Wf=f2L=EK-EK’=8-2=6J
铁块由开始运动到弹簧压缩量最大的过程中，系统机械能损失为：
fs=3J
由能量关系得出弹性势能最大值为：
EP=EK-EK‘-fs=8-2-3=3J
说明：
由于木板在水平光滑平面上运动，整个系统动量守恒，题中所求的是弹簧的最大弹性势能，解题时必须要用到能量关系。
在解本题时要注意两个方面：
①是要知道只有当铁块和木板相对静止时（即速度相同时>，弹簧的弹性势能才最大；弹性势能量大时，铁块和木板的速度都不为零；铁块停在木板右端时，系统速度也不为零。
gIiSpiue7A
②是系统机械能损失并不等于铁块克服摩擦力所做的功，而等于铁块克服摩擦力所做的功和摩擦力对木板所做功的差值，故在计算中用摩擦力乘上铁块在木板上相对滑动的距离。
uEh0U1Yfmh
11、如图10-1所示，劲度系数为K的轻质弹簧一端与墙固定，另一端与倾角为θ的斜面体小车连接，小车置于光滑水平面上。
在小车上叠放一个物体，已知小车质量为M，物体质量为m，小车位于O点时，整个系统处于平衡状态。
现将小车从O点拉到B点，令OB=b，无初速释放后，小车即在水平面B、C间来回运动，而物体和小车之间始终没有相对运动。
求：
（1>小车运动到B点时的加速度大小和物体所受到的摩擦力大小。
（2>b的大小必须满足什么条件，才能使小车和物体一起运动过程中，在某一位置时，物体和小车之间的摩擦力为零。
IAg9qLsgBX
分析与解：
（1>所求的加速度a和摩擦力f是小车在B点时的瞬时值。
取M、m和弹簧组成的系统为研究对象，由牛顿第二定律：
kb=（M+m>a所以a=kb/（M+m>。
WwghWvVhPE
取m为研究对象，在沿斜面方向有：
f-mgsinθ=macosθ
所以，f=mgsinθ+m
cosθ=m（gsinθ+
cosθ>
（2>当物体和小车之间的摩擦力的零时，小车的加速度变为a’，小车距O点距离为b’，取m为研究对象，有：
mgsinθ=ma’cosθasfpsfpi4k
取M、m和弹簧组成的系统为研究对象，有：
kb‘=（M+m>a’
以上述两式联立解得：
b‘=
（M+m>gtgθ
说明：
在求解加速度时用整体法，在分析求解m受到的摩擦力时用隔离法。
整体法和隔离法两者交互运用是解题中常用的方法，希读者认真掌握。
ooeyYZTjj1
12、质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。
平衡时，弹簧的压缩量为Xo，如图11-1所示。
一物块从钢板正上方距离为3Xo的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。
它们到达最低点后又向上运动。
已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点。
若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度。
求物块向上运动到达的最高点O点的距离。
BkeGuInkxI
分析与解：
物块自由下落，与钢板碰撞，压缩弹簧后再反弹向上，运动到O点，弹簧恢复原长。
碰撞过程满足动量守恒条件。
压缩弹簧及反弹时机械能守恒。
自由下落3Xo，根据机械能守恒：
PgdO0sRlMo
所以
物块与钢板碰撞时，根据动量守恒：
mv0=（m+m>v1V1=V0/2=
物块与钢板一起升到O点，根据机械能守恒：
2mV12+Ep=2mgx0[1]
如果物块质量为2m，则：
2mVo=（2m+m>V2，即V2=
Vo
设回到O点时物块和钢板的速度为V，则：
3mV22+Ep=3mgx0+
3mV2[2]
从O点开始物块和钢板分离，由[1]式得：
Ep=
mgx0代入[2]得：
m（
Vo>2+
mgx0=3mgx0+
3mV2
所以，V2=gx0即
高中物理典型例题汇编（二>
13、如图12-1所示，有两块大小不同的圆形薄板（厚度不计>，质量分别为M和m，半径分别为R和r，两板之间用一根长为0.4m的轻绳相连结。
开始时，两板水平放置并叠合在一起，静止于高度为0.2m处。
然后自由下落到一固定支架C上，支架上有一半径为R‘（r的圆孔，圆孔与两薄板中心均在圆板中心轴线上，木板与支架发生没有机械能损失的碰撞。
碰撞后，两板即分离，直到轻绳绷紧。
在轻绳绷紧的瞬间，两物体具有共同速度V，如图12-2所示。
求：
（1>若M=m，则V值为多大（2>若M/m=K，试讨论V的方向与K值间的关系。
3cdXwckm15
分析与解：
开始M与m自由下落，机械能守恒。
M与支架C碰撞后，M以原速率返回，向上做匀减速运动。
m向下做匀加速运动。
在绳绷紧瞬间，内力（绳拉力>很大，可忽略重力，认为在竖直方向上M与m系统动量守恒。
（1>据机械能守恒：
（M+m>gh=
（M+m>V02所以，V0=
=2m/sh8c52WOngM
M碰撞支架后以Vo返回作竖直上抛运动，m自由下落做匀加速运动。
在绳绷紧瞬间，M速度为V1，上升高度为h1，m的速度为V2，下落高度为h2。
则：
v4bdyGious
h1+h2=0.4m，h1=V0t-
gt2，h2=V0t+
gt2，而h1+h2=2V0t，
故：
所以：
V1=V0-gt=2-10×0.1=1m/sV2=V0+gt=2+10×0.1=3m/s
根据动量守恒，取向下为正方向，mV2-MV1=（M+m>V，所以
那么当m=M时，V=1m/s；当M/m=K时，V=
。
讨论：
①K＜3时，V＞0，两板速度方向向下。
②K＞3时，V＜0，两板速度方向向上。
③K=3时，V=0，两板瞬时速度为零，接着再自由下落。
14、如图13-1所示，物体A从高h的P处沿光滑曲面从静止开始下滑，物体B用长为L的细绳竖直悬挂在O点且刚和平面上Q点接触。
已知mA=mB，高h及S（平面部分长>。
若A和B碰撞时无能量损失。
（1>若L≤h/4，碰后A、B各将做什么运动?
（2>若L=h，且A与平面的动摩擦因数为μ，A、B可能碰撞几次？
A最终在何处？
J0bm4qMpJ9
分析与解：
当水平部分没有摩擦时，A球下滑到未碰B球前能量守恒，与B碰撞因无能量损失，而且质量相等，由动量守恒和能量守恒可得两球交换速度。
A停在Q处，B碰后可能做摆动，也可能饶O点在竖直平面内做圆周运动。
如果做摆动，则经一段时间，B反向与A相碰，使A又回到原来高度，B停在Q处，以后重复以上过程，如此继续下去，若B做圆周运动，B逆时针以O为圆心转一周后与A相碰，B停在Q处，A向右做匀速运动。
由此分析，我们可得本题的解如下：
XVauA9grYP
（1>A与B碰撞前A的速度：
mgh=
mVA2，VA=
因为mA=mB，碰撞无能量损失，两球交换速度，得：
VA’=0，VB’=VA=
设B球到最高点的速度为Vc，B做圆周运动的临界条件：
mBg=mBV2/L[1]
又因
mBVB‘2=
mBV2+mBg2L[2]
将[1]式及VB’=
代入[2]式得：
L=2h/5
即L≤2h/5时，A、B碰后B才可能做圆周运动。
而题意为L=h/4＜2h/5，故A与B碰后，B必做圆周运动。
因此（1>的解为：
A与B碰后A停在Q处，B做圆周运动，经一周后，B再次与A相碰，B停在Q处，A向右以
速度做匀速直线运动。
bR9C6TJscw
（2>由上面分析可知，当L=h时，A与B碰后，B只做摆动，因水平面粗糙，所以A在来回运动过程中动能要损失。
设碰撞次数为n，由动能定理可得：
pN9LBDdtrd
mAgh-nμmAgS=0所以n=h/μS
讨论：
若n为非整数时，相碰次数应凑足整数数目。
如n=1.2，则碰撞次数为两次。
当n为奇数时，相碰次数为（n-1>次。
如n=3，则相碰次数为两次，且A球刚到达Q处将碰B而又未碰B；
当n为偶数时，相碰次数就是该偶数的数值，如n=4，则相碰次数为四次。
球将停在距B球S处的C点。
A球停留位置如图13-2所示。
DJ8T7nHuGT
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