完整word版《高等几何》复习17181docx.docx
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《高等几何》复习题
一、填空题
1、平行四边形的仿射对应图形为：
平行四边形；
2、线坐标
（1,2,1）的直线的齐次方程为：
x1
2x2
x3
0；
3、直线3x1
2x2
0上的无穷远点坐标为：
（2,-3,0）；
4、设（AB,CD）=2，则点偶
AC
调和分割点偶
BD
；
5、两个射影点列成透视的充要条件是
保持公共元素不变
；
6、写出德萨格定理的对偶命题：
三线形对应边的交点共线，则对应点连线共点。
7、两个线束点列成透视的充要条件是
底的交点自对应
8、求射影变换
'
21
0的自对应元素的参数
1
9、平面上
4个变换群，射影群、仿射群、相似群、正交群的大小关系为：
射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群。
10、二次曲线的点坐标方程为4x1x3
x22
0，则其线坐标方程为是
u1u3u22
0.
11、经过一切透视仿射不改变的性质和数量，称为仿射不变性和仿射不变量
.
12、共线三点的简比是
仿射
不变量.
13、平面内三对对应点
（原象不共线，映射也不共线
）决定唯一
仿射变换.
14、已知OX轴上的射影变换式为
x'
2x
1
，则原点的对应点
-1
x
3
3
15、u12
u22
=0代表点
（1,1,0）、（1,-1,0）
的方程.
16、ABCD为平行四边形，过
A引AE与对角线BD平行，则A（BC,DE）=-1
17、对合由
两对不同的对应元素
唯一决定.
18、二阶曲线就是
两个射影线束对应直线交点
的全体.
19、方程u12
5u1u2
6u22
0表示的图形坐标
（1,2,0）（1,3,0）
20、罗巴切夫斯基平面上既不相交，又不平行的两直线叫做
分散
直线.
21、平行四边形的仿射对应图形为：
平行四边形
；
22、直线x1
5x2
0上无穷远点坐标为：
（5，-1，0）
23、已知（l1l2,l3l4）
3,则（l4l3,l2l1）
3
（l1l3,l2l4）
-2
24、过点A（1,
i,2）的实直线的齐次方程为：
2x1
x3
0
25、两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二
阶
曲线.
26、不在二阶曲线C上的点P关于C的调和共轭点的轨迹是一条直线
称为P的
极
线.
二、选择
1、下列哪个图形是仿射不变图形？
（D）
1
A.圆,B.直角三角形,C.矩形,D.平行四边形
2、u122u1u28u22=0表示（C）
A.以-1/4为方向的无穷远点和以1/2为方向的无穷远点,
B.以-4为方向的无穷远点和以2为方向的无穷远点,
C.以4为方向的无穷远点和以-2为方向的无穷远点,
D.以1/4为方向的无穷远点和以-1/2为方向的无穷远点.
3、两个不共底且不成透视的射影点列至少可以由几次透视对应组成？
（B）
A.一次,B.两次,C.三次,D.四次.
4、下面的名称或定理分别不属于仿射几何学有（A）：
A.三角形的垂心，B.梯形，C.平面内无三线共点的四线有六个交点，D.椭圆
5、二次曲线按射影分类总共可分为（B）
A.4类，B.5类，C.6类，D.8类
6、设P1
（1），P2（-1），P3（）为共线三点，则（P1P2P3）A.
A.1，B.2，C.3，D.4
7、已知共线四点A、B、C、D的交比（AB，CD）=2，则（CA，BD）=D.
A.-4，B-3，C.-2，D.-1
8、若共点四直线a,b,c,d的交比为（ab,cd）=-1，则交比（ad,bc）=B.
A.1，B.2，C.3，D.4
9、点坐标为（1,0,0）的方程是A.
A.u1=0，B.u2=0，C.u2=0，D.u4=0
10、证明公理体系的和谐性常用C.
A.公理法，B.反证法，C.模型法，D.演绎法
11、一点列到自身的两射影变换,其中为对合的是B
A.12，23，34；B.01，23，10
C.13，21，34；D.01，23，12
12、下列哪个名称或命题属于射影几何学（C）
A.三角形三条高线共点,B.直角三角形,C.Desargues定理,D.梯形.
13、满足条件（C）的一维射影变换必为对合变换.
A.有一个自对应点,B.有两个自对应点,
C.有两个对合点,D.有三个对合点.
14、一维射影变换f如果满足f-1=f,则称之为（A）变换.
A.对合,B.简单,C.线性,D.非奇.
三、判断
1
、仿射对应不一定保持二直线的平行性
.（×）
2
、两直线能把射影平面分成两个区域
.（√）
3
、当正负号任意选取时，齐次坐标
（1,1,
1）表示两个相异的点
.（×）
4
、若一维射影变换的一对对应元素
（非自对应元素）符合对合条件，则它一定是对合
.（√）
5
、配极变换是一种非奇线性对应
.（√）
6
、共线四点的交比是仿射不变量
.（√）
7
、平行四边形的射影对应映像仍然是平行四边形
.（×）
2
8、直线2x1x2x3
0上的三点A（1,3,1）,B（2,5,1）,C（1,2,0）
的单比（ABC）=0.（×）
9、共线三点的简比是射影不变量
.（×）
10、Desargues定理是自对偶命题.（×）
11、二直线所成角度是相似群不变量
.（√）
12、二维射影对应有3
对对应点唯一确定
.（×）
13、若交比（P1P3,P2P4）=2,则（P1P2,P3P4）=-1.
（√）
14、一维射影变换如果有一个自对应点则必定为对合变换
.（×）
四、计算、作图
1、求点（1,-1,0）关于二阶曲线3x12
5x22
x32
7x1x2
4x1x3
5x2x3
0的极线方程.
3
7/2
2
x1
解：
极线方程（1,-1,0）
7/2
5
5/
2x2
=0,即x13x2x3
0
2
5/2
1
x3
2、求仿射变换式使直线
x＋2y－1＝0上的每个点都不变，且使点
（1,-1）变为（-1,2）.
解：
设所求仿射变换为
x
1xb1y
c1
y
2x
b2y
c2
在已知直线x+2y-1=0上任取两点，例如取
（1,0）、（3,-1）,
在仿射变换下，此二点不变。
而点（1,-1）变为（-1,2）,把它们分别代入所设仿射变换式，得
1
c1
1
3
c2
0
2
3
1
b1
c1
3
1
b1
c1
1
b2
c2
1
b2
c2
2
2
2
由以上方程联立解得：
1＝2，b1
=2,c1=-1,2=-
3
b2=-2,
c2=
3
2
2
x2x
2y1
故所求的仿射变换为：
y
3x
2y
3
2
2
x1
x1
3、求射影变换x2
x2
的固定元素。
x3
x3
（
1u）x1
0
1u
0
解：
固定元素的方程为
（1
u）x2
0
特征方程为0
1
u
（1
u）x3
0
0
0
解得u=1,u=-1.
将u=-1代入固定点方程组，即得固定点为（1,0,0）
将u=1代入固定点方程组，得x1=0这一点列上的每一点都是固定点。
4、求对合对应,使得3,5分别对应与2,1.
0
0=0,即（1+u）（1-u）2=0
1u
A
EabcCd
F
B
DG
题四5图
3
解：
设所求变换为
kx′=Ax,则A=
ab
.依题
c
a
2k1
k2
35
2k1
k2
1
12k1
k2
1
=A
解得
A=
35
15
k1
k2
11
k1
k2
=
2
k1
k2
13
11
1
2
1
k
2
10
1
3
2
k
k
k
.
=
k1
k2
5k1
2
3k2
由于-2k1+k2
=3k2-5k
1,所以,可取k1
=8,k2
=14,
从而得A=
1
11
即所求变换为
1
1
x
x
11
.
x
1
5、已知线束中三直线a,b,c，求作直线d，使（ab,cd）=-1.（画图，写出作法过程和根据）
作法过程：
1.设a,b,c交于点A，在c上任取一点C,
2.过C点作两直线分别与a交于B、E，与b交于F，D，
3.BD与EF交于G,
4.AG即为所求的d.
根据：
完全四点形的调和共轭性.
6、平面上经过A（-3,2）和B（6,1）
两点的直线被直线
x+3y-6=0截于P点，求单比（ABP）
解：
设P点的坐标为（x0,yo）,
Q（ABP）
AP
AP
（分割比），
而:
x0
3
6
y0
2
且P在直线x+3y-6=0上，
BP
PB
1
1
（
36
）
3（2
）
6
0,解得λ=1,
即P是AB中点，且（ABP）=-1.
1
1
7、已知仿射平面上直线
L的非齐次坐标方程为
x-2y+1=0，求
（1）
L的齐次坐标方程；
（2）L上无穷远点的坐标；
（3）L上无穷远点的方程。
（1）
x1-2x2+x3=0
（2）（1,1/2,0）
（3）u1
u2
=0
2
8、在直线上取笛氏坐标为
2,0,3的三点作为射影坐标系的
P*,P0,E，（i）求此直线上任一点
P的笛氏坐
标x与射影坐标λ的关系；（ii）问有没有一点，它的两种坐标相等？
解：
（i）由定义
λ=（P*P0，EP）=（2
0，3x）=（3
2）（x
0）
3x
x
（x
2）（3
0）
6
故：
x
，且1
0
60
3x
6
3
6
（ii）
若有一点它的两种坐标相等，即x=λ则有x
x
，即3x2－7x=0，
3x
6
7
∴当x=0及x=时两种坐标相等。
4
9、求点列上的射影变换，
它将参数为
1,2,3的点分别变为参数为
1,3,2的点，并求出此射影变换的自对
应元素的参数。
解：
设射影变换的方程为：
a
b
c
d0,由题意知：
a+bcd0,
6a2b3cd0,6a+3b+2c+d=0,
得到：
a:
b:
c:
d3:
5:
5:
7
故射影变换方程为：
3
'5
5'70
二重元素满足：
32
10
7
0
得
=7/3或=1
10、求由两个射影线束
x1
x3
0，x2
x3
0，3
0所构成的二阶曲线的方程。
解：
由题意
3,
x2
3x3
0,
由上式得
x2
x1,故所求方程即为3x1x3x2x30.
3x3
x3
11、求直线3x1
x2
6x3=0关于x12
x22
2x1x2+2x1x3-6x2x3=0之极点。
1
1
1
x10
3
解：
设P0（x10,x20,x30）
为所求,
则
1
1
3
x20
=
1
1
3
0
x30
6
x10
x20
x30
3
0
0
0
解线性方程组
0
0
0
1
x
1
x
2
x
得
x
1
3,
x
2
1,x
3
1
3
3
x10
x20
6
即（3,-1,-1）为所求极点的坐标.
12、求直线x-2y+3=0上无穷远点的坐标。
解：
化为齐次式
x-2x
2
+3x
3
=0,以x
=0代入
1
3
得
x1
2
=0，
1
2
或
2
=
1x
1
-2x
x=2x
x
2
∴
无穷远点坐标为（2，1，0）
x
7x
y
1
的不变点.
13、求仿射变换
4x
2y
y
4
x7xy1
6x
y10
1
解：
由
得
y40
解此方程，得不变点为（,2）
y4x2y4
4x
2
14、求四点（2，1，-1），（1，-1，1），（1，0，0），（1，5，-5）顺这次序的交比.
解：
以（2，1，-1）和（1，-1，1）为基底，
则（2，1，-1）+μ1（1,-1,1）相当于（1，0，0）
∴
2
1
1
1
1
1
1
0
0
得
μ
1=1
5
又（2，1，-1）+μ2（1,-1,1）相当于（1，5，-5）
∴
2
2
1
2
1
2
1
5
5
得
μ2=-
3
2
所求交比为1
2
2
3
15、试求二阶曲线的方程，它是由两个射影线束
x-λx=0与x-
x=0
（
=）所决定的.
1
3
2
3
1
2
解：
∵
=
1
将x1-λx3=0,x2-
x3=0中的，λ，
代入
（1）得
（1）
2
x1
1
x2
x3
x1
x3
x2（x1+2x3）-x3（x1-x3）=0，化简，即得所求的二阶曲线方程
x3
x1
2
x12x3
x3
x1x2
2x2x3
x1x3
x32
0
1
16、求两对对应元素，其参数为1，02，所确定的对合方程。
2
解
设所求为
a
+b（
+
）+d=0
①
将对应参数代入得：
1
a+（1+
1）b+d=0
②
2
2
（0+2）b+d=0
③
1
3
1
从①②③中消去
a,b,d得
1=0
2
2
1
0
2
即++-2=0为所求
17、给定点
A、B，作出点C，使（ABC）=4.
作法：
∵
（ABC）=
AC
4，∴
ACBC3
即
AB=3.在
BC
1
BC
1
BC
AB延长线上，作点
C，使BC=
1
AB
3
18、过定点P，作一条直线，使通过两条已知直线的不可到达的点.
作法：
（利用代沙格定理）任取线束S，设束中两条直线交
a于A，C，
交b于A′，C′；连直线PC，PC′分别交线束
S的第三条直线于B，B′；
直线BA和B′A的′交点Q与点P的连线，即为所求的直线.
6
19、如图，求作点P关于二次曲线Γ的极线.
作法：
过P点任引两直线，使与Γ分别交于A、B及C、D，
设Q=AC×BD，R=AD×BC，那么直线QR即为所求的极线.
20、已知四直线
l1,l2,l3,l4
的方程顺次为
2x1
-x2+x3=0，3x1+x2-2x3=0,
7x1-x2=0，5x1-x3=0,
求
证四直线共点，并求
（l1l2,
l3l4）的值。
2
1
1
3
1
2
解：
因为
3
1
2=0且7
1
0=0
7
1
0
5
0
1
所以l1,l2,l3,l4共点.四直线与x轴（x2=0）的交点顺次为
P
Γ
A（1,0,-2）,B（2,0,3）,C（0,0,1）,D（1,0,5）,
非齐次坐标为
题四19图
（0
1
1
2
）
1
2
1
）（
1
（l1l2,l3l4）
=（AB，CD）=
2
5
3
A（-
0）,B（,0）,C（0,0
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