高考数学问题27形形色色的切线问题提分练习Word格式文档下载.docx
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3.当曲线y＝f（x）在点（x0,f（x0））处的切线垂直于x轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程是x＝x0；
四、题型分析
（一）曲线切线的倾斜角与斜率
【例1】．已知函数f（x）＝
x3－2x2＋3x（x∈R）的图象为曲线C.
（1）求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
【分析】
（1）求出f′（x）的范围就是切线斜率的范围；
（2）由－1≤k＜0或k≥1,得－1≤x2－4x＋3<
0或x2－4x＋3≥1,解不等式求范围
【点评】求切线的倾斜角与斜率是导数几何意义应用的较简单问题,一般是先求导,把导函数看作切线斜率.
【小试牛刀】【xx届福建省福州高三上学期期中】已知函数
其中是实数.设,为该函数图象上的两点,且.
（1）若函数的图象在点处的切线互相垂直,且,求的最小值；
（2）若函数的图象在点处的切线重合,求的取值范围.
【答案】
（1）；
（2）
【解析】
（1）由导数的几何意义可知,点处的切线斜率为,点处的切线斜率为,故当处的切线与处的切线垂直时,,当时,有,所以,,所以,所以
当且仅当,即,时,等号成立,所以的最小值为.
（2）当或时,,所以,当时,函数图象在点处的切线方程为
即,当时,函数图象在点处的切线方程为,即,两处切线重合的充要条件是
由及,得,
记
则,所以在单调递减,,趋近于时,趋近于,所以,所以的取值范围是.
（二）求曲线的切线方程
【例2】已知函数f（x）＝x3－4x2＋5x－4.
（1）求曲线f（x）在点（2,f
（2））处的切线方程；
（2）求经过点A（2,－2）的曲线f（x）的切线方程．
（1）切点已知时求切线方程,求出,用点斜式写出方程；
（2）题目并没有说明是否为切点,所以要分是否为切点进行分类讨论.当是切点时,易于求出切线方程,当不是切点时,切点未知,从而先设再求,设切点,切线斜率为,三个未知量需用三个条件求解：
①,②,③
【点评】注意在点A处的切线与过点A的切线的区别,前者A是切点,切线只有1条,或者A可能是切点,也可能不是,所求切线可能多于1条.
【小试牛刀】【xx届辽宁省丹东市五校协作体高三上学期联考】已知函数
．
（Ⅰ）若在处取极值,求在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时,若有唯一的零点,求证：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）见解析.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
令,则
由,可得
在上单调递减,在上单调递增.
又,故当时,；
又,故在上有唯一零点,设为,
从而可知在上单调递减,在上单调递增,
因为有唯一零点,
故且
（三）两曲线的公切线
【例3】若存在过点（1,0）的直线与曲线和都相切,则等于（ ）
A.或B.或C.或D.或
【分析】本题两条曲线上的切点均不知道,且曲线含有参数,所以考虑先从常系数的曲线入手求出切线方程,再考虑在利用切线与曲线求出的值.
【答案】A
【点评】
（1）涉及到多个函数公切线的问题时,这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手,将切线求出来,再考虑切线与其他函数的关系
（2）在利用切线与求的过程中,由于曲线为抛物线,所以并没有利用导数的手段处理,而是使用解析几何的方法,切线即联立方程后的来求解,减少了运算量.通过例7,例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：
一方面,求有关导数的问题时可以用到解析的思想,而有些在解析中涉及到切线问题时,若曲线可写成函数的形式,那么也可以用导数来进行处理,（尤其是抛物线）
【小试牛刀】【xx届四川成都市高三期中】已知曲线
在点处的切线与曲线也相切,则的值是__________.
【解析】依题意得：
=,
点处的切线的方程为：
即,设切线与曲线的切点为
则
解得：
∴,故答案为：
4
（四）曲线条数的确定
【例4】已知函数,若过点存在3条直线与曲线相切,求的取值范围
【分析】由于并不知道3条切线中是否存在以为切点的切线,所以考虑先设切点,切线斜率为,则满足,所以切线方程为,即
代入化简可得：
所以若存在3条切线,则等价于方程有三个解,即与有三个不同交点,数形结合即可解决
【解析】设切点坐标,切线斜率为,则有：
切线方程为：
因为切线过,所以将代入直线方程可得：
所以问题等价于方程,令
即直线与有三个不同交点
令解得所以在单调递减,在单调递增
所以若有三个交点,则
所以当时,过点存在3条直线与曲线相切.
【点评】曲线切线条数的确定通常转化为切点个数的确定,设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,可把问题转化为关于t的方程的实根个数问题.
【小试牛刀】【xx届安徽省亳州高三下学期教学质量检测】过点与曲线相切的直线有且只有两条,则实数的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】B
五、迁移运用
1．【xx届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知函数是偶函数,当时,,则曲线在点处切线的斜率为（）
A.-2B.-1C.1D.2
【解析】试题分析：
由于函数是偶函数,当时,,进而可得当时,从而曲线在点处切线的斜率为,故选B.
2．【xx届河南省天一大联考】已知是定义在上的单调函数,满足,则在处的切线方程为（）
【解析】由题意可得为一固定的数,设,则有.由可得,当时,有,解得.∴,∴.∴,又.∴曲线在处的切线方程为,即.选A.
3．【xx届河南省南阳高中三年级期中】已知为曲线（且）上的两点,分别过作曲线的切线交轴于两点,若,则（）
【解析】设切点作标为,若,则,不合题意,若
不合题意,只有,因为,所以此时,方程:
令,,,方程,令,,,故选B.
4．【xx届广东省阳春高三上学期第三次月考】设点为函数与
图象的公共点,以为切点可作直线与两曲线都相切,则实数的最大值为（）
【答案】D
【解析】设与在公共点处的切线相同,
由题意
即
由得或（舍去）,即有,令,则,于是当,即时,；
当,即时,,故在为增函数,在为减函数,于是在的最大值为,故的最大值为,故选D.
5．【xx届湖北省宜昌高三月考】过点A（2,1）作曲线的切线最多有（ ）
A.3条B.2条C.1条D.0条
【来源】数学（理）试题
6．【xx届四川宜宾市高三（上）测试】设函数与有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数的最大值为
【解析】
由题意,可得
由
（1）得,解得或（舍去）,代入
（2）得,,构造
则在上单调递减,在上单调递增,即的最小值为,所以的最大值为,故选A.
7．【xx届内蒙古巴彦淖尔市高三月考】已知函数的图像为曲线,若曲线存在与直线垂直的切线,则实数的取值范围是（）
∵曲线存在与直线垂直的切线,成立,故选A
8．【xx届齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高三第一次调研】已知曲线恰好存在两条公切线,则实数的取值范围是
【解析】设直线为它们的公切线,联立可得①,求导可得,令可得,所以切点坐标为,代入可得②.联立①②可得,化简得.令,,
在内单调递增,在内单调递减,
.
有两条公切线,方程有两解,
所以答案为D
9.【xx届广西南宁市高三上学期期末考试】已知,是函数图像上的两个不同点.且在两点处的切线互相平行,则的取值范围是（）
【解析】由题意,,
当时,,
当时,,因为在两点处的切线互相平行,且,
所以
（否则根据导数相等得出两点重合）,
所以在点处切线的斜率为,在点处切线的斜率为,
所以,
即
表示的曲线为双曲线在第四象限的部分,如图：
表示这个曲线上的点与原点连线的斜率,由图可知取值范围是,故选D.
10.【xx届辽宁省沈阳市高三第九次模拟考试】已知函数,且的图象在处的切线与曲相切,符合情况的切线
A.有条B.有条C.有条D.有条
11.【xx届安徽省蚌埠市3月教学质量检查】已知函数,曲线上存在两个不同点,使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直,则实数的取值范围是（）
【解析】曲线上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直,
有两个不同的解,即得有两个不同的解,设,则
在上递减,在上递增时,函数取得极小值又因为当时总有,所以可得数的取值范围是,故选D.
12.【xx届宁夏银川高三第五次月考】已知为正实数,直线与曲线相切,则的取值范围是___
【解析】设直线与曲线相切于点,因为,所以
即,则
又因为为正实数,所以,且在内为减函数,所以,即的取值范围为；
故填.
13.【xx届河南省高三12月联考】已知过点与曲线（）相切的直线有且仅有两条,则实数的取值范围是__________.
【解析】∵,∴.设切点为
则有,所以过点P的切线方程为
又点在切线上,所以
整理得,
由题意得方程有两个不等的正实数根.设
则
要使
的图象与t轴的正半轴有两个不同的交点,则需.所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以
解得.即实数的取值范围是.
答案：
14.已知函数
若曲线在点,（,其中互不相等）处的切线互相平行,则的取值范围是__________.
函数
曲线在点,其中互不相等）处的切线互相平行,即在点处的值相等,画出导函数的图象,如图,当时,
当时,必须满足,,故答案为.
15.【xx届江苏省常州市第一学期月考】设点为函数与
图象的公共点,以为切点可作直线与两曲线都相切,则实数的最大值为___________．
【解析】设点坐标为,则有
因为以为切点可作直线与两曲线都相切,所以,即
或由,故,此时；
所以点坐标为,代入整理得：
令,即,得,可判断在上递增,在上递减,所以当时有极大值也是最大值,
故答案为.
16.已知函数（）,.
（1）若,曲线在点处的切线与轴垂直,求的值；
（2）若,试探究函数与的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在,研究值的个数；
若不存在,请说明理由.
（1）当时,,∴
依题意得,∴.
（2）假设函数与的图象在其公共点处存在公切线,
∵,∴,∴,,
由得,即,
∴,故.
∵函数的定义域为,
下面研究满足此等式的的值的个数：
设,则,且,方程化为,
分别画出和的图象,
当时,,,
由函数图象的性质可得和的图象有且只有两个公共点（且均符合）,
∴方程有且只有两个根.
综上,当时,函数与的图象在其公共点处不存在公切线；
当时,函数与的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的的值有且仅有两个.
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