数列讲义及习题222.doc

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数列

一、数列的概念

（1）数列定义：

按一定次序排列的一列数叫做数列；

数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为的项叫第项（也叫通项）记作；数列的一般形式：

，，，……，，……，简记作。

（2）通项公式的定义：

如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如：

①：

1，2，3，4，5，…

②：

…

说明：

①表示数列，表示数列中的第项，=表示数列的通项公式；

②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，==；

③不是每个数列都有通项公式。

例如，1，1.4，1.41，1.414，……

（3）数列的函数特征与图象表示：

从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……，，……．通常用来代替，其图象是一群孤立点。

（4）数列分类：

①按数列项数是有限还是无限分：

有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：

递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。

例：

下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？

（1）1，2，3，4，5，6，…

（2）10,9,8,7,6,5,…

（3）1,0,1,0,1,0,…（4）a,a,a,a,a,…

（5）数列{}的前项和与通项的关系：

二、等差数列

（一）、等差数列定义：

一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。

用递推公式表示为或

例：

等差数列，

（二）、等差数列的通项公式：

；

说明：

等差数列（通常可称为数列）的单调性：

为递增数列，为常数列，为递减数列。

例：

1.已知等差数列中，等于（）

A．15B．30C．31D．64

2.是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于

（A）667（B）668（C）669（D）670

3.等差数列，则为为（填“递增数列”或“递减数列”）

（三）、等差中项的概念：

定义：

如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。

其中

，，成等差数列即：

（）

例：

1．设是公差为正数的等差数列，若，，则（）

A．B． C．D．

（四）、等差数列的性质：

（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；

（3）在等差数列中，对任意，，，；

（4）在等差数列中，若，，，且，则；

（五）、等差数列的前和的求和公式：

。

（是等差数列）

递推公式：

例：

1.如果等差数列中，，那么

（A）14（B）21（C）28（D）35

2.设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（）

A．13B．35C．49D．63

3.设等差数列的前项和为，若,则=

4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）

A.13项 B.12项 C.11项 D.10项

5.已知等差数列的前项和为，若

6.设等差数列的前项和为，若则

7.已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于（）

C.D.

8.设等差数列的前n项和为,若,则

9．设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn。

（六）.对于一个等差数列：

（1）若项数为偶数，设共有项，则①偶奇；②；

（2）若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②。

1.一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比__________

2.一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比1：

2，求公差d

3.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是，则它的首项与公差分别是_______

（七）.对与一个等差数列，仍成等差数列。

例：

1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）

A.130 B.170 C.210 D.260

2.一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为。

3．已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为

4.设为等差数列的前项和，=

5．（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝

A． B．C． D．

（八）．判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：

是等差数列

②中项法：

是等差数列

③通项公式法：

是等差数列

④前项和公式法：

是等差数列

例：

1.已知数列满足，则数列为（）

A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断

2.已知数列的通项为，则数列为（）

A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断

3.已知一个数列的前n项和，则数列为（）

A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断

4.已知一个数列的前n项和，则数列为（）

A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断

5.已知一个数列满足，则数列为（）

A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断

6.数列满足=8，（）

①求数列的通项公式；

7．设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（）

A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列

（九）.数列最值

（1），时，有最大值；，时，有最小值；

（2）最值的求法：

①若已知，的最值可求二次函数的最值；

可用二次函数最值的求法（）；②或者求出中的正、负分界项，即：

若已知，则最值时的值（）可如下确定或。

例：

1．等差数列中，，则前项的和最大。

2．设等差数列的前项和为，已知

①求出公差的范围，

②指出中哪一个值最大，并说明理由。

3．设｛an｝（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（）

A.d＜0 B.a7＝0C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值

4．已知数列的通项（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是

5.已知是等差数列，其中，公差。

（1）数列从哪一项开始小于0？

（2）求数列前项和的最大值，并求出对应的值．

（十）.利用求通项．

1.数列的前项和．

（1）试写出数列的前5项；

（2）数列是等差数列吗？

（3）你能写出数列的通项公式吗？

2.设数列的前n项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；

3.设数列的前n项和，则的值为（）

（A）15（B）16（C）49（D）64

4、数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．

三、等比数列

等比数列定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：

：

（一）、递推关系与通项公式

1．在等比数列中,，则

2．在等比数列中,,则

3.（07重庆文）在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，则公比q为（）

（A）2 （B）3 （C）4 （D）8

4.在等比数列中，，，则=

5.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则（）

A33B72C84D189

（二）、等比中项：

若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件.

例：

1.和的等比中项为（）

2.设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（）

A． B． C． D．

（三）、等比数列的基本性质，

1.

（1）

（2）

（3）为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.

（4）既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.

例：

1．在等比数列中,和是方程的两个根,则（）

2.在等比数列，已知，，则=

3.等比数列的各项为正数，且（）

A．12B．10C．8D．2+

4.已知等比数列满足，且，则当时，（）

A.B.C.D.

（四）、等比数列的前n项和，

例：

1.已知等比数列的首相，公比，则其前n项和

2．设，则等于（）

A． B．C． D．

3．设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；

（五）.等比数列的前n项和的性质

若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列.

例：

1.设等比数列{}的前n项和为，若=3，则=

A.2B.C.D.3

2.一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，则前3项的和为（）

A．83B．108C．75D．63

3.已知数列是等比数列，且

（六）、等比数列的判定法

（1）定义法：

为等比数列；

（2）中项法：

为等比数列；

（3）通项公式法：

为等比数列；

（4）前项和法：

为等比数列。

为等比数列。

例：

1.已知数列的通项为，则数列为（）

A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断

2.已知数列满足，则数列为（）

A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断

3.已知一个数列的前n项和，则数列为（）

A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断

四、求数列通项公式方法

（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项

例：

1已知等差数列满足：

，求；

2.等比数列的各项均为正数，且，，求数列的通项公式

3.已知数列满足（），求数列的通项公式；

4.已知数列满足且（），求数列的通项公式；

5.数列已知数列满足则数列的通项公式=

（2）累加法

1、累加法适用于：

若，则

两边分别相加得

例：

1.已知数列满足，求数列的通项公式。

2.已知数列满足，求数列的通项公式。

3.已知数列满足，求数列的通项公式。

（3）累乘法

适用于：

若，则

两边分别相乘得，

例：

1.已知数列满足，求数列的通项公式。

2.已知数列满足，，求。

3.已知，，求。

（4）待定系数法

适用于

例：

1.已知数列中，，求数列的通项公式。

2.在数列中，若，则该数列的通项_______________

3.已知数列满足求数列的通项公式；

（5）递推公式中既有

分析：

把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。

1.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．

2.已知数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．

（6）取倒数法。

五、数列求和

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

公比含字母时一定要讨论

2．错位相减法求和：

如：

例：

1．求和

2.求和：

3．裂项相消法求和：

把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项：

数列是等差数列，数列的前项和

例：

1.数列的前项和为，若，则等于（　）

A．1B．C．D．

2.已知数列的通项公式为，求前项的和；

4.已知数列的通项公式为＝，设，求．

5．求。

3.已知等差数列满足,.

（1）求数列的通项公式及

（2）求数列的前n项和

7.已知等差数列满足：

，的前n项和

（1）求及

（2）令（），求数列前n项和

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