⎪
⎪单调递减⎨
<0,q>1（-1,-2,-4,8）
⎩
⎩a1
二、等差等比补充
等差数列篇：
1、判定：
①an+1-an=d（n≥1）；an-an-1=d（n≥2）；
②an+1+an-1=2an（n≥1）（等差中项法）
③an=kn+b，Sn=
a+a
n
⋅n=
ap+aq
⋅n=na1
+
n（n-1）
d
1
，
2
2
2
Sn=An2+Bn（可用于选择填空快速判断，不可用于证明）
3
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2、函数的观点看数列
（i）an
=a1+（n-1）d=d⋅n+a1
-d，所以该通项公式可看作an关于n的一次函数，
从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。
（ii）S
=na+
n（n-1）
d=
d
n2
+（a-
1
d）n，即S
是关于项数n的二次函数，且
n
1
2
2
1
2
n
不含常数项，可记为Sn=An2
+Bn的形式。
从而可将Sn的变化规律图像化
3、数列{Snn}也是等差数列
4、若两个等差数列{an},{bn}的前n和分别为Sn,Tn，则an=S2n-1bnT2n-1
5、奇偶数项问题（会自行推导）
项数为2n项：
S偶-S奇=nd项数为2n-1项：
S奇-S偶=an
等比数列篇：
1、判定：
①an+1=q（n∈N*）
an
②对于∀n∈N*，均有an2+1=anan+2（等比中项法）
③an=k⋅qn（指数类函数）Sn=
a（1-qn）
=
a
-
a
⋅qn=k⋅qn-k
1
1
1
1-q
1-q
1-q
（可用于选择填空快速判断，不可用于证明）
2、函数的观点看数列
等比数列{an}的通项公式an=a1⋅qn-1（a1q≠0）还可以改写成an=aq1⨯qn，当q>0且a1≠0时，y=qx是一个指数函数，而y=aq1⨯qx是指数型函数.因此等比数列{an}的点列（n，an）分布在指数型函数y=aq1⨯qx的图像上，即等比数列{an}的图像是函数y=aq1⨯qx的图像上的一群孤立点
4
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三、数列的周期性
类比周期函数的概念，我们可定义：
对于数列{an}，如果存在一个常数T（T∈N+），
使得对任意的正整数n>n0恒有an+T=an成立，则称数列{an}是从第n0项起的周期为T
的周期数列。
若n0=1，则称数列{an}为纯周期数列，若n0≥2，则称数列{an}为混周期
数列，T的最小值称为最小正周期，简称周期
常见周期如下所列：
（1）
a
+a
n-1
=s⇒T=2
aa
n-1
=s⇒T=2
a
=
1-an
⇒T=2
n
xan
+y
n
n+1
1+an
特别地，an+1=
x=b⇒T=2
kan
+b
（2）an+an-1+an-2=s⇒T=3
an⋅an-1⋅an-2=s⇒T=3
an+1=-
1
⇒T=3
an+1
=1-
1
⇒T=3
1+an
an
（3）an+1=
1+an
⇒T=4
an+1=
1-an
⇒T=2
an+1
=
an-1
⇒T=4
an+1
1-an
1+an
（4）an+2=an+1-an⇒T=6
π
an-1+
3
tanθ+tan
3an-1+1
π
an=
=
3
⇒T=6（类比tan（θ+
）=
6
）
6
π
3-an-1
1-
3
an
1
-tanθtan
6
3
四、几个常见的求和公式
（1）∑i=n（n+1）
n
i=1
2
（2）∑i2
=n（n+1）（2n+1）
n
i=1
6
（3）∑i3
=[n（n+1）]2
n
i=1
2
5
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第1讲数列通项
【高考真题】
（2016全国Ⅰ卷文）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1,b2=13，
anbn+1+bn+1=nbn，则{an}的通项公式是an=_________
（2015全国Ⅰ卷）Sn为数列{an}的前n项和.已知an＞0，an2+an=4Sn+3
则{an}的通项公式为______________
（2013全国Ⅰ卷文）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5，则{an}的通项公式是an=_________
（2013全国Ⅰ卷理）若数列{a
}的前n项和S
=
2
a
+
1
，则{a
}的通项公式是
3
3
n
n
n
n
an=_________
（2010全国Ⅰ卷理）设数列{a
}满足a=2,a
n
+1
-a
=3⋅22n-1
，则{a
}的通项公式是
n
1
n
n
an=_________
（2009全国Ⅰ卷文）设等差数列{an}的前n项和为Sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n
项和为Tn.已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12，求{an},{bn}的通项公式
（2007全国卷Ⅰ文）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13，求{an}、{bn}的通项公式
（2005全国卷Ⅰ文）设正项等比数列{an}的首项a1=12，前n项和为Sn，且
210S30-（210+1）S20+S10=0，则{an}的通项公式是an=_________
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1.1公式法
①等差比通项公式
⎧S
（n=1）
②万能公式an=⎨1
注意通项能否合并
⎩Sn-Sn-1,（n≥2）
（2017.12化州二模）已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2（Sn+1）=n+1，则数列{an}
的通项公式为
（2016.9广东适应性考试）已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意n∈N*，均有an、Sn、an2成等差数列，则an=
1.2累加法
形如an+1=an+f（n）型的递推数列
例：
数列{an}满足：
a1=1，且an+1-an=2n+1，求an
（2017.04武汉调研）已知数列{a
}满足a
=1，a
2
=
1
，若
n
1
3
an（an-1+2an+1）=3an-1⋅an+1（n≥2,n∈N*），则数列{an}的通项an=（
）
（A）
1
（B）
1
（C）
1
（D）
1
2n-1
2n-1
3n-1
2n-1+1
（2017河北衡水六调改）若数列{an}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都有
an+1=an+n+1，则
1
+
1
+...+
1
=___________
a1
a2
a2018
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1.3累乘法
⎛
an+1
⎫
形如
an+1
=an⋅f（n）ç
=f（n）⎪
型的递推数列
⎝
an
⎭
例：
已知数列{an}满足：
a1=1，且nan+1=（n+1）an，求an
变式：
设{a}是首项为1的正项数列，且（n+1）a21-na2+a1a=0（i=1,2,3,...），则
nn+nn+n
an=_________
1.4差商法
（2017.12广州调研）已知数列{an}满足a1+4a2+42a3+L+4n-1an=n4（n∈N*）．求数列{an}的通项公式
已知数列{an}中，a1=1，对所有n∈N*且n≥2时都有a1⋅a2⋅a3⋅...⋅an=n2，求{an}
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1.5构造辅助数列
类型1：
形如an+1
=pan+q（其中p,q均为常数且p≠0）
类
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