公务员考试行测数学运算16种题型.doc
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数学运算16种题型之利润问题
商店出售商品，总是期望获得利润.例如某商品买入价（成本）是50元，以70元卖出，就获得利润70-50=20（元）.通常，利润也可以用百分数来说，20÷50=0.4=40%，我们也可以说获得40%的利润。
因此：
利润的百分数=（卖价-成本）÷成本×100%.
卖价=成本×（1+利润的百分数）.
成本=卖价÷（1+利润的百分数）.
商品的定价按照期望的利润来确定.
定价=成本×（1+期望利润的百分数）.
定价高了，商品可能卖不掉，只能降低利润（甚至亏本），减价出售.减价有时也按定价的百分数来算，这就是打折扣.减价25%，就是按定价的（1-25%）=75%出售，通常就称为75折.因此
卖价=定价×折扣的百分数.
（1+期望利润的百分数）×折扣=（1+利润的百分数）
【例1】某商品按定价的80%（八折或80折）出售，仍能获得20%的利润，定价时期望的利润百分数是（）
A：
40%B：
60%C：
72%D：
50%
解析：
设定价是“1”，卖价是定价的80%，就是0.8.因为获得20%的利润，则成本为2/3。
定价的期望利润的百分数是1/3÷2/3=50%
答：
期望利润的百分数是50%.
【例2】某商店进了一批笔记本，按30%的利润定价.当售出这批笔记本的80%后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是（）
A：
12%B:
18%C:
20%D:
17%
解：
设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1×（1+30%）=1.3.其中
80%的卖价是1.3×80%，
20%的卖价是1.3÷2×20%.
因此全部卖价是
1.3×80%+1.3÷2×20%=1.17.
实际获得利润的百分数是
1.17-1=0.17=17%.
答：
这批笔记本商店实际获得利润是17%.
【例3】有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜10%.甲店按20%的利润来定价，乙店按15%的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元.问甲店的进货价是（）元?
A：
110B：
200C：
144D：
160
解：
设乙店的进货价是“1”，甲店的进货价就是0.9.
乙店的定价是1×（1+15%），甲店的定价就是0.9×（1+20%）.
因此乙店的进货价是
11.2÷（1.15-0.9×1.2）=160（元）.
甲店的进货价是
160×0.9=144（元）.
答：
甲店的进货价是144元.
设乙店进货价是1，比设甲店进货价是1，计算要方便些。
【例4】开明出版社出版的某种书，今年每册书的成本比去年增加10%，但是仍保持原售价，因此每本利润下降了40%，那么今年这种书的成本在售价中所占的百分数是多少?
A:
89%B:
88%C:
72%D:
87.5%
解：
设去年的利润是“1”.
利润下降了40%，转变成去年成本的10%，因此去年成本是40%÷10%=4.
在售价中，去年成本占
因此今年占80%×（1+10%）=88%.
答：
今年书的成本在售价中占88%.
因为是利润的变化，所以设去年利润是1，便于衡量，使计算较简捷.
【例5】一批商品，按期望获得50%的利润来定价.结果只销掉70%的商品.为尽早销掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣销售.这样所获得的全部利润，是原来的期望利润的82%，问：
打了（）折扣?
A：
6B：
7C：
8D：
9
解：
设商品的成本是“1”.原来希望获得利润0.5.
现在出售70%商品已获得利润
0.5×70%=0.35.
剩下的30%商品将要获得利润
0.5×82%-0.35=0.06.
因此这剩下30%商品的售价是
1×30%+0.06=0.36.
原来定价是1×30%×（1+50%）=0.45.
因此所打的折扣百分数是
0.36÷0.45=80%.
答：
剩下商品打8折出售.
从例1至例5，解题开始都设“1”，这是基本技巧.设什么是“1”，很有讲究.希望读者从中能有所体会.
【例6】某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润.现在按定价打85折出售8个，所能获得的利润，与按定价每个减价35元出售12个所能获得的利润一样.问这一商品每个定价是（）元?
A：
100B：
200C：
300D：
220
解：
按定价每个可以获得利润45元，现每个减价35元出售12个，共可获得利润
（45-35）×12=120（元）.
出售8个也能获得同样利润，每个要获得利润
120÷8=15（元）.
不打折扣每个可以获得利润45元，打85折每个可以获得利润15元，因此每个商品的定价是
（45-15）÷（1-85%）=200（元）.
答：
每个商品的定价是200元.
【例7】张先生向商店订购某一商品，共订购60件，每件定价100元.
张先生对商店经理说：
“如果你肯减价，每件商品每减价1元，我就多订购3件.”商店经理算了一下，如果差价4%，由于张先生多订购，仍可获得原来一样多的总利润.问这种商品的成本是（）
A：
66B：
72C：
76D：
82
解：
减价4%，按照定价来说，每件商品售价下降了100×4%=4（元）.因此张先生要多订购4×3=12（件）.
由于60件每件减价4元，就少获得利润
4×60=240（元）.
这要由多订购的12件所获得的利润来弥补，因此多订购的12件，每件要获得利润
240÷12=20（元）.
这种商品每件成本是
100-4-20=76（元）.
答：
这种商品每件成本76元.
数学运算16种题型之比例问题
比例问题是公务员考试必考题型，也是数学运算中最重要的题型;
解决好比例问题，关键要从两点入手：
第一，“和谁比”;第二，“增加或下降多少”。
【例1】b比a增加了20%，则b是a的多少?
a又是b的多少呢?
【解析】可根据方程的思想列式得a×（1+20%）=b，所以b是a的1.2倍。
A/b=1/1.2=5/6，所以a是b的5/6。
【例2】养鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来200尾，做好标记后放回鱼塘，数日后再捕上100尾，发现有标记的鱼为5尾，问鱼塘里大约有多少尾鱼?
A.200B.4000C.5000D.6000（2004年中央B类真题）
解析：
方程法：
可设鱼塘有X尾鱼，则可列方程，100/5=X/200，解得X=4000，选择B。
【例3】2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20%，而每台的价格比上一年度下降了20%。
如果2001年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少?
A.2900万元B.3000万元C.3100万元D.3300万元（2003年中央A类真题）
【解析】方程法：
可设2000年时，销售的计算机台数为X，每台的价格为Y，显然由题意可知，2001年的计算机的销售额=X（1+20%）Y（1-20%），也即3000万=0.96XY，显然XY≈3100。
答案为C。
特殊方法：
对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X，求此时的商品价格原价的多少?
或者下降X再上涨X，求此时的商品价格原价的多少?
只要上涨和下降的百分比相同，我们就可运用简化公式，1-X。
但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要一步一步来。
对于此题而言，计算机台数比上一年度上升了20%，每台的价格比上一年度下降了20%，因为销售额=销售台数×每台销售价格，所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1-（20%）=0.96，2001年的销售额为3000万，则2000年销售额为3000÷0.96≈3100。
【例4】生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半。
其中25%是白色的，75%是蓝色的。
如果这批衬衫总共有100件，其中大号白色衬衫有10件，问小号蓝色衬衫有多少件?
A.15B.25C.35D.40（2003年中央A类真题）
【解析】这是一道涉及容斥关系（本书后面会有专题讲解）的比例问题。
根据已知大号白=10件，因为大号共50件，所以，大号蓝=40件;
大号蓝=40件，因为蓝色共75件，所以，小号蓝=35件;
此题可以用另一思路进行解析（多进行这样的思维训练，有助于提升解题能力）
大号白=10件，因为白色共25件，所以，小号白=15件;
小号白=15件，因为小号共50件，所以，小号蓝=35件;
所以，答案为C。
【例5】某企业发奖金是根据利润提成的，利润低于或等于10万元时可提成10%;低于或等于20万元时，高于10万元的部分按7.5%提成;高于20万元时，高于20万元的部分按5%提成。
当利润为40万元时，应发放奖金多少万元?
A.2B.2.75C.3D.4.5（2003年中央A类真题）
【解析】这是一个种需要读懂内容的题型。
根据要求进行列式即可。
奖金应为10×10%+（20-10）×7.5%+（40-20）×5%=2.75
所以，答案为B。
【例6】某校在原有基础（学生700人，教师300人）上扩大规模，现新增加教师75人。
为使学生和教师比例低于2：
1，问学生人数最多能增加百分之几?
A.7%B.8%C.10.3%D.115%（2003年中央A类真题）
【解析】根据题意，新增加教师75人，则学生最多可达到（300+75）×2=750人，学生人数增加的比列则为（750-700）÷700≈7.1%
所以，选择A。
【例7】某企业去年的销售收入为1000万元，成本分生产成本500万元和广告费200万元两个部分。
若年利润必须按P%纳税，年广告费超出年销售收入2%的部分也必须按P%纳税，其它不纳税，且已知该企业去年共纳税120万元，则税率P%为
A.40%B.25%C.12%D.10%（2004年江苏真题）
【解析】选用方程法。
根据题意列式如下：
（1000-500-200）×P%+（200-1000×2%）×P%=120
即480×P%=120
P%=25%
所以，答案为B。
【例8】甲、乙两盒共有棋子108颗，先从甲盒中取出放人乙盒，再从乙盒取出放回甲盒，这时两盒的棋子数相等，问甲盒原有棋子多少颗?
A.40颗B.48颗
C.52颗D.60颗（2004年浙江真题）
『答案』B
【解析】此题可用方程法，设甲盒有X颗，乙盒有Y颗，则列方程组如下，参见辅助资料。
此题运用直接代入法或逆推法更快捷。
【例9】甲乙两名工人8小时共加736个零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%，问乙每小时加工多少个零件?
A.30个B.35个C.40个D.45个（2002年A类真题）
【解析】选用方程法。
设乙每小时加工X个零件，则甲每小时加工1.3X个零件，并可列方程如下：
（1+1.3X）×8=736
X=40
所以，选择C。
【例10】已知甲的12%为13，乙的13%为14，丙的14%为15，丁的15%为16，则甲、乙、丙、丁4个数中最大的数是：
A.甲B.乙C.丙D.丁（2001年中央真题）
【解析】显然甲=13/12%;乙=14/13%;丙=15/14%;丁=16/15%，显然最大与最小就在甲、乙之间，所以比较甲和乙的大小即可，甲/乙=13/12%/16/15%>1，
所以，甲>乙>丙>丁，选择A。
【例11】某单位召开一次会议，会期10天。
后来由于议程增加，会期延长3天，费用超过了预算，仅食宿费一项就超过预算20%，用了6000元。
已知食宿费用预算占总预算的25%，那么，总预算费用是：
A.18000元B.20000元C.25000元D.30000元（2001年中央真题）
【解析】设总预算为X，则可列议程为，
25%X=6000÷（1+20%），解得X=20000
所以，答案为B。
【例12】一种收录机，连续两次降价10%后的售价是405元，那么原价是：
A.490元B.500元C.520元D.560元（2001年中央真题）
【解析】连续涨（降）价相同幅度的基本公式如下：
a=ca表示涨（降）价前的价格;b表示涨（降）价的百分比;c表示涨（降）价后的价格;n连续涨（降）价的年数。
如果设原价为X，那么由以上公式可列如下方程：
X=405，解得X=500
所以，答案为B。
此题可以选择代入法快速得到答案。
【例13】某企业1999年产值的20%相当于1998年产值的25%，那么，1999年的产值与1998年相比：
A.降低了5%B.提高了5%C.提高了20%D.提高了25%（2001年中央真题）
【解析】此题可采用直接作比的方法。
设1998年的产值为a，1999年的产值为b，则根据题意事列方程，a25%=b20%，则1999年的产值与1998年的比=b/a=25%/20%=1.25，也即1999年的产值比1998年提高了25%。
所以，答案为D。
【例14】某人用4410元买了一台电脑，其价格是原来定价相继折扣了10%和2%后的价格，则电脑原来定价是
A.4950元B.4990元C.5000元D.5010元（2000年中央真题）
【解析】采用方程法即可，设电脑原来定价是X，则可列方程为
X×（1-10%）×（1-2%）=4410，解得X=5000。
所以，正确答案为C。
注，此题不能用例11的基本公式，因为降价幅度不同。
【例15】某机关共有干部、职工350人，其中55岁以上共有70人。
现拟进行机构改革，总体规模压缩为180人，并规定55岁以上的人裁减比例为70%。
请问55岁以下的人裁减比例约是多少?
A.51%B.43%C.40%D.34%（2000年中央真题）
解析：
设55岁以下的人裁减比例为X，则可列方程为：
70×（1-70%）+（350-70）×（1-X）=180
解得X≈43%
所以，正确答案为B。
【例16】某储户于1999年1月1日存人银行60000元，年利率为2.00%，存款到期日即2000年1月1日将存款全部取出，国家规定凡1999年11月1日后孳生的利息收入应缴纳利息税，税率为20%，则该储户实际提取本金合计为
A.61200元B.61160元C.61000元D.60040元
【解析】如不考虑利息税，则1999年1月1日存款到期日即2000年1月1可得利息为60000×2%=1200，也即100元/月，但实际上从1999年11月1日后要收20%利息税，也即只有2个月的利息收入要交税，税额=200×20%=40元
所以，提取总额为60000+1200-40=61160，正确答案为B。
1/1.2=5/6。
再比如，一件商品的价格为a元，第一次调价时上涨了50%，第二次调价时又下降了80%，问现在的价格是调价前的多少?
（30%）像这样的反复变化的比例关系并无难点，关键是一定要弄清楚和谁比增加或者下降，现在是多少，以上题为例，商品的价格为a元，第一次调价时上涨了50%，则此时商品的价格为1.5a元，第二次调价时又下降了80%，则此时的价格为1.5a×（1-80%）=0.3a元。
【例17】甲、乙、丙三人买书共花费96元钱，已知丙比甲多花16元，乙比甲多花8元，则甲、乙、丙三人花的钱的比是（）。
（2002年B类真题）
A.3：
5：
4B.4：
5：
6C.2：
3：
4D.3：
4：
5
【解析】我们通常采用方程法，即设甲的花费为X元，则3X+16+8=96，则X=24，尽而可算出比例关系为3：
4：
5即为选项D。
这里请注意，我们在进行数学运算的答题时应尽量避免采用方程法，应将这一方程运算过程用习惯性思维替代，具体思维过程如下，用96-16-8=72，所得到就应该是3倍甲的花费，由此得到甲的花费是24元。
【例18】2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20%，而每台的价格比上一年度下降了20%。
如果2001年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少（）?
A.2900万元B.3000万元C.3100万元D.3300万元
【解析】对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X，求此时的商品价格原价的多少?
或者下降X再上涨X，求此时的商品价格原价的多少?
只要上涨和下降的百分比相同，我们就可运用简化公式，1-X。
但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要一步一步来。
对于此题而言，计算机台数比上一年度上升了20%，每台的价格比上一年度下降了20%，因为销售额=销售台数×每台销售价格，所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1-（20%）=0.96，2001年的销售额为3000万，则2000年销售额为3000÷0.96≈3100，所以选择C。
数学运算16种题型之工程问题
1．由于工程问题解题中遇到的不是具体数量，与学生的习惯性思维相逆，同学们往往感到很抽象，不易理解。
2．比较难的工程问题，其数量关系一般很隐蔽，工作过程也较为复杂，往往会出现多人多次参与工作的情况，数量关系难以梳理清晰。
3．一些较复杂的分数应用题、流水问题、工资分配、周期问题等，其实质也是工程问题，但同学们易受其表面特征所迷惑，难以清晰分析、理解其本质结构特征是工程问题，从而未按工程问题思路解答，误入歧途。
工程问题是从分率的角度研究工作总量、工作时间和工作效率三个量之间的关系，它们有如下关系：
工作效率×工作时间=工作总量；工作总量÷工作效率=工作时间；工作总量÷工作时间=工作效率。
那我们应该怎样分析工程问题呢？
1．深刻理解、正确分析相关概念。
对于工程问题，要深刻理解工作总量、工作时间、工作效率，简称工总、工时、工效。
通常工作总量的具体数值是无关紧要的，一般利用它不变的特点，把它看作单位“1”；工作时间是指完成工作总量所需的时间；工作效率是指单位时间内完成的工作量，即用单位时间内完成工作总量的几分之一或几分之几来表示工作效率。
分析工程问题数量关系时，运用画示意图、线段图等方法，正确分析、弄请题目中哪个量是工作总量、工作时间和工作效率。
2．抓住基本数量关系。
解题时，要抓住工程问题的基本数量关系：
工作总量=工作效率×工作时间，灵活地运用这一数量关系提高解题能力。
这是解工程问题的核心数量关系。
3．以工作效率为突破口。
工作效率是解答工程问题的要点，解题时往往要求出一个人一天（或一个小时）的工作量，即工作效率（修路的长度、加工的零件数等）。
如果能直接求出工作效率，再解答其他问题就较容易，如果不能直接求出工作效率，就要仔细分析单独或合作的情况，想方设法求出单独做的工作效率或合作的工作效率。
工程问题中常出现单独做、几人合作或轮流做的情况，分析时要梳理、理顺工作过程，抓住完成工作的几个过程或几种变化，通过对应工作的每一阶段的工作量、工作时间来确定单独做或合作的工作效率。
也常常将问题转化为由甲（或乙）完成全部工程（工作）的情况，使问题得到解决
要抓住题目中总的工作时间比、工作效率比、工作量比，及抓住隐蔽的条件来确定工作效率，或者确定工作效率之间的关系。
总之，单独的工作效率或合作的工作效率是解答工程问题的关键。
【例1】一件工作，甲单独做12小时完成，乙单独做9小时可以完成。
如果按照甲先乙后的顺序，每人每次1小时轮流进行，完成这件工作需要几小时？
【解析】设这件工作为“1”，则甲、乙的工作效率分别是1/12和1/9。
按照甲先乙后的顺序，每人每次1小时轮流进行，甲、乙各工作1小时，完成这件工作的7/36，甲、乙这样轮流进行了5次，即10小时后，完成了工作的35/36，还剩下这件工作的1/36，剩下的工作由甲来完成，还需要1/3小时，因此完成这件工作需要31/3小时。
【例2】一份稿件,甲、乙、丙三人单独打各需20、24、30小时。
现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用12小时全部完成。
那么，甲只打了几小时？
【解析】设打这份稿件的总工作量是“1”，则甲、乙、丙三人的工作效率分别1/20、1/24和1/30。
在甲中途撤出前后，其实乙、丙二人始终在打这份稿件，乙、丙12小时打了这份稿件的9/10，还剩下稿件的1/10，这就是甲打的。
所以，甲只打了2小时。
【例3】一件工程，甲、乙合作６天可以完成。
现在甲、乙合作２天后，余下的工程由乙独做又用８天正好做完。
这件工程如果由甲单独做，需要几天完成？
【解析】甲、乙合作２天，甲2乙2，剩下应该是甲4乙4=乙8.则甲=乙，所以甲单独完成需要12天。
【例4】一个游泳池，甲管放满水需6小时，甲、乙两管同时放水，放满需4小时。
如果只用乙管放水，则放满需：
A8小时 B10小时 C12小时 D14小时 （2001年A类真题）
【解析】：
设游泳池放满水的工作量为1，甲管放满水需6小时，则甲每小时完成工作量的1/6甲、乙两管同时放水，放满需4小时，则甲乙共同注水，每小时可注游泳池的1/4，则乙每小时注水的量为1/4－1/6＝1/12，则如果只用乙管放水，则放满需12小时。
另法：
甲乙同时放水需要4小时=甲4乙4=甲6则乙=0.5甲，需要12小时。
【例5】一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙.若同时开放甲、丙两管，20小时可将满池水排空；若同时开放乙、丙两水管，30小时可将满池水排空，若单独开丙管，60小时可将空池注满.若同时打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需几小时？
【解析】工程问题最好采用方程法。
由题可设甲X小时排空池水，乙Y小时排空池水，则可列方程组
1/X-1/60=1/20 解得X=15
1/Y-1/60=1/30 解得Y=20
则三个水管全部打开，则需要1÷（1/15+1/20-1/60）=10
所以，同时开启甲、乙、丙三水管将满池水排空需10小时。
【例6】铺设一条自来水管道，甲队单独铺设8天可以完成，而乙队每天可铺设50米。
如果甲、乙两队同时铺设，4天可以完成全长的2／3，这条管道全长是多少米?
A1000米 B1100米 C1200米 D1300米 （2002年B类真题）
【解析】设乙需要X天完成这项工程，依题意可列方程
（1/8+1/X）×4=2/3
解得X=24
也即乙每天可完成总工程的1/24，也即50米，所以管道总长为1200米。
所以，正确答案为C。
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