中科大数学系本科专业必读科目及参考.docx
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中科大数学系本科专业必读科目及参考
中科大数学必读科目及参考
有些科大学生，尤其是新生，抱怨科大教材偏难；而且新生通常缺乏学习方法，对如何在大学中学习还没有清楚的概念。
下面是一位科大数学系学长给科大数学专业学生的一些建议。
我转发过来，仅供参考。
1、老老实实把课本上的题目做完。
其实说科大的课本难,我以为这话不完整。
科大的教材,就数学系而言还是讲得挺清楚的,难的是后面的习题。
事实上做1道难题的收获是做10道简单题所不能比的。
2、每门数学必修课至少要看一本参考书,尽量做一本习题集。
3、数学分析别做吉米，除非你太无聊,推荐北大方企勤的习题集。
此外注意一下有套波兰的数学分析习题集，是不是搞得到中文或英文版。
4、线性代数推荐普罗斯库列科夫的<<线性代数习题集>>和法捷耶夫的<<高等代数习题集>>。
莫斯科大学要求把上面的题全做光。
建议大家在搞定亚洲第一难书的同时也把里面的题打通。
5、解析几何不要不重视。
现在有种削弱几何课的倾向,甚至有的学校把解析几何课改成只有两课时,这样一来,几何训练不足,会很吃亏的。
6、常微要看看阿诺尔德的书,打通菲利波夫的习题集。
7、数论课是很重要的,起码可以锻炼思维能力。
8、数学分析、线性代数、解析几何、泛函、拓扑、抽象代数、实变、微分几何是最重要的课,大家脱层皮也要学好。
要尽量加强这方面的工底,不然的话以后很吃亏。
9、有时间去物理系多听课,千万不要毕业了连量子力学也不懂,这样的数学家注定要被淘汰的。
读读费曼物理讲义和郎道的理论物理教程。
10、华罗庚的<<数论导引>>的前言大家好好看看,多多领会!
11、想读数理统计和计算数学的要注意,统计和计算数学同样是数学类的专业,不要以为加上计算和统计就可以降低要求。
12、推荐一些参考书：
B.A.卓里奇《数学分析》（第一卷有中文版,第二卷未翻译,会俄文的一定要看）
S.M.Nikolsky,Acourseofmathematicalanalysis（有中文版）
A.I.Kostrikin,Introductiontoalgebra（有中文版）
M.Postnikov,Analyticgeometry（有中文版）
M.Postnikov,Linearalgebraanddifferentialgeometry（有中文版）
G.H.Hardy,AnIntroductiontotheTheoryofNumbers
V.I.Arnold,Ordinarydifferentialequation（有中文版）
H.嘉当,解析函数论初步
Kolmogorov,ElementsoftheTheoryofFunctionsandFunctionalAnalysis（有中文版,亚马逊上出售英文版,20美元一套）
Fomenko,Differentialgeometryandtopology
Kelley,GeneralTopology（有中文版）
Bott,Differentialformsinalgebraictopology
莫宗坚《代数学》
Atiyah,IntroductiontoCommutativeAlgebra（有中文版）
Riesz,FunctionalAnalysis（有中文版）
Landau,Mechanics（有中文版）
Goldstein,ClassicalMechanics（有中文版）
Landau,TheClassicalTheoryofFields（有中文版）
Jackson,ClassicalElectrodynamics（有中文版）
Landau,StatisticalPhysicsPart1（有中文版）
KersonHuang,StatisticalMechanics
Landau,QuantumMechanics（Non-relatisticTheory）（有中文版）
Greiner,QuantumMechanics:
AIntroduction（有中文版）
黄昆《固体物理学》
Kittel,IntroductiontoSolidStatePhysics（有中文版）
费曼《费曼物理讲义》
玻恩《光学原理》
王梓坤《概率论基础及其应用》
方企勤《数学分析习题集》
普罗斯库列科夫《线性代数习题集》
法捷耶夫《高等代数习题集》
菲利波夫《常微分方程习题集》
沃尔维科斯基《复变函数习题集》
鄂强《实变函数的例题与习题》
符拉基米诺夫《偏微分方程习题集》
巴兹列夫《几何与拓扑习题集》
菲金科《微分几何习题集》
1,迪亚库的《天遇--混沌与稳定性的起源》，上海科技教育出版社。
这本书的内容是关于自牛顿时代以来，数学家探索一个经典的数学物理难题：
三体问题的历史，很多新生可能以为数学家就是陈景润那样玩些和实际生活不相关问题的怪人，其实真正好的数学是要能够解决人类科学研究和实际生活中提出的各种数学问题的数学，数学不能离开工程和科学,现代工程技术和自然科学（也包括社会科学）是数学研究活的源泉，这本书里面的三体问题就是关于计算三个天体的运动轨道的问题，这个问题的研究就是现代动力系统理论的起源，甚至说现代的拓扑学也与此大有关系，庞加勒的经典著作《位置分析》很大程度上是为他的《天体力学讲义》提供数学工具，你们可以在这里看见很多数学大师的踪影：
庞加勒，柯尔莫哥诺夫，阿诺尔德还有我国的年轻数学家夏志宏。
2,《数学——它的内容，方法和意义》，科学出版社。
这套书一共三本，是由多位俄罗斯著名数学家集体编写的，包括了二十世纪最优秀的数学家柯尔莫哥诺夫先生以及亚历山德罗夫先生、沙法列维奇先生、索伯列夫先生、盖尔范德先生等数学大师。
基本上对大学本科的基础课程都做了一个简介，还推荐了一些参考书，这些书大部分国内都可以找到。
3，外尔的《对称》，上海科技教育出版社。
外尔也是二十世纪最优秀的数学家之一，据说是懂得物理最多的数学家，这本书当然也是值得一读的了。
4，克莱因《古今数学思想》，科学出版社。
关于数学历史的名著，不过这本书对以刘徽为代表的中国古代数学的辉煌成就比较忽视
3#
（一）从"数学分析"的课本讲起吧。
下面开始讲一些课本,或者说参考书:
1.菲赫今哥尔茨的"微积分学教程","数学分析原理"。
前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本。
此书堪称经典。
"微积分学教程"其实连作者都承认不太合适作为教材,为此他才给出了能够做教材的后一套书,可以说是一个精简的版本。
相信直到今天,很多老师在开课的时候还是会去找"微积分学教程",因为里面各种各样的例题实在太多了，如果想比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的例题当做有答案的习题来做,当然不是每道题都可以这么办的。
毫无疑问,这套书代表了以古典的方式处理数学分析内容（指不引入实变,泛函的观念）的最高水平。
2.Apostol的"MathematicalAnalysis"在西方（西欧和美国）,算得上相当完整的课本，里面讲了勒贝格积分，不过讲的不好。
3.W.Rudin的"
rinciplesofMathematicalAnalysis"（中译本:
卢丁"数学分析原理"）是一本相当不错的书,后面我们可以看到,这位先生写了一个系列的教材。
该书的讲法（指一些符号,术语的运用）也是很好的。
学完"高等数学"以后,可以找一本西方advancedcalculus水平的书来看（特别是Rubin的书）,基本上就能够达到一般数学系的要求了。
说到AdvacedCalculus,在这个标题下面有一本书也是可以一看的,就是L.Loomis和S.Sternberg的AdvancedCalculus。
这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的课本.
4."数学分析"（北大版）方企勤,沈燮昌等的"数学分析习题集","数学分析习题课教材"。
北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西还是两本关于习题的东西。
大家知道,吉米多维奇并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题。
相比之下北大的这本习题集就要好许多,的的确确值得一做。
那本习题课教材也是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答。
5.克莱鲍尔的"数学分析"。
记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错。
6.张筑生的"数学分析新讲"（共三册）。
我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多五遍。
象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的是比常人要多得多的，以致他自己在后记中也引了"都云作者痴,谁解其中味"。
在这套书里,对于许多材料的处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读。
唯一的遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看。
下面的一些书可能是比较"新颖"的.
7a.尼柯尔斯基"数学分析教程"是清华的人翻译的,好象没翻全。
那属于80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,人家是苏联科学院院士。
7b.V.A.zorich"数学分析",莫斯科大学的教材。
SPRINGER出了英文版，相当好的一套教材，特别是习题。
8.狄多涅"现代分析基础（第一卷）"是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,用的术语相当"高深",可能等以后学了实变,泛函再回过头来看感觉会更好一些.
9.说两句关于非数学专业的高等数学。
强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书。
因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不分系的,所以他们的高等数学（如J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷）或者叫"普通数学",其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课之间）
10.再补充个技术性的小问题.对于函数项级数收敛,一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫"亚一致收敛性",在"微积分学教程"里面提了一句,其详细讨论,似乎仅见于鲁金（Lusin）的"实变函数论"里面。
11.华罗庚先生的"高等数学引论"第一卷。
这套书（其实没有完成最初的计划）是六十年代初华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时的讲义。
那时候他们做过个实验,就是一个教授负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实是涉及很多方面的（附带提一句,另外两位负责过一届学生的是关肇直先生和吴文俊先生）。
也是出于
一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统教学内容的东西,还包括一些应用。
可以一读。
12.何琛,史济怀,徐森林的"数学分析"。
这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大,我本人还是很喜欢的,高一的时候第一次学数分就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好。
印刷质量也相当不错。
13，邹应的"数学分析"。
徐森林老师说这是中国最难的一本数学分析，大致是Dixmie的大学数学教程的改编版。
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（二）"空间解析几何"的参考书
"空间解析几何"实在是一门太经典,或者说古典的课。
从教学内容上说,可以认为它描述的主要是三维欧氏空间里面的一些基本常识,包括最基本的线性变换（那是线性代数的特例）,和二阶曲面的不变量理论。
科大用的一直是吴光磊先生和田畴先生的解析几何简明教程，很薄，不过主要是讲直角坐标系的情况，仿射坐标系的情况讲的不多。
可以考虑的参考书包括:
1.陈（受鸟）的"空间解析几何学"。
内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点。
陈先生是吴大任先生（大猷先生的堂弟,南开多年的教务长）的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.
2.朱鼎勋的"解析几何学"基本上只在欧氏空间里面讨论问题，优点是非常易懂,连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚。
习题也比较合理,不是非常的难（如果我没有记错的话）。
朱先生相当有才华,可惜英年早逝。
关于数学分析的习题,还有一本书,就是G.Polya（波利亚）,G.Szego（舍贵）的"数学分析中的问题和定理"。
在学习数学分析的阶段,可以考虑其第一卷的前面一半,后面就全是复变的东西了。
该书的内容还是非常丰富的，在历史上,这是一套曾经使好几代数学家都受益匪浅的经典著作。
这套书的一个好处就是题目难归难,后面还是有答案或提示的。
3.Postnikov的"几何讲义：
第一学期：
解析几何学"是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早是要给吃到线性代数里面去的。
我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早是要遭报应的。
中国的中学教育水平也就比美国最糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差。
我相信所谓三维的"解析"几何的内容总有一天要下放到高中里面去。
上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话，可以考虑下面两本经典，其好处是看过以后可以对很多几何对象（当然具体说是指三维空间里面的二次曲面）有相当深刻的了解。
4.玻格列诺夫的"解析几何学"。
玻格列诺夫是苏联科学院院士，这本书应该说比较精炼，该有的也都有了。
5.穆斯海里什维利的"解析几何学教程"。
特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点和讲法（比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的而已）.
关于解析几何的习题，可以去做巴兹列夫的几何学与拓扑学习题集，里面的题目还是有点难度的。
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发表于2005-9-101:
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（三）“高等代数”的参考书
高等代数可以认为处理的是有限维线性空间的理论，如严格一点,关于线性空间的理论应叫线性代数,再加上一点多项式理论（就是可完全算做代数内容的）就叫高等代数了。
这门课在西方的对应一般叫LinearAlgebra,就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国教材中心里面找到一本Kurosh（库落什）的HigherAlgebra.
北大的"高等代数"（第二版?
）可以说是四平八稳,基本上该讲的都讲了，但是你要说它有什么地方讲得特别好,恐怕说不出来。
从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的。
线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一个矩阵的表示。
因此这门课的确是可以建立在矩阵论上的，而且如果要和数值搭界的话还必须这么做。
1.蒋尔雄,吴景琨等的"线性代数"是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比数学专业相应的课程要高。
因为偏向计算,可以找到一些比较常用的算法，我个人以为还是比较有意思的。
2.屠伯埙等的"高等代数"将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论，有大量习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面的习题做完对于理解矩阵的各种各样的性质非常有益。
当然这不是很容易的:
据说屠先生退休时留下这么句话:
"今后如果有谁开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话可以来找我."由此可见一斑。
如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,那么下面这本应该说是比较适当的。
3.屠伯埙等的"线性代数-方法导引"。
这本书比上面那本可能更容易找到,题目也更"实际"些，值得一做。
另外,讲到矩阵论.就必须提到
4.甘特玛赫尔的"矩阵论"。
这恐怕是这方面最权威的著作了，译者是柯召先生。
在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳入通常课本的内容。
举个例子,大家知道矩阵有Jordan标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩阵该怎么求?
请看"矩阵论"。
这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.
5.许以超的"线性代数和矩阵论"。
这本书写得很不错,习题也不错。
必须指出,这里面其实对于空间的观念很重视。
不管怎么样,他还是算华先生的弟子的。
6.华罗庚的"高等数学引论"。
华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生。
可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的（不记得是不是在这本书里面了）:
n阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个把一组标准基映到1的反对称线性函数。
这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了。
高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的，比如
7.贾柯勃逊（N.Jacobson）LecturesonAbstractAlgebra,II
inearAlgebraGTM（GraduateTextsinMathematics）No.31（"抽象代数学"第二卷:
线性代数）
8.GreubLinearAlgebra（GTM23）其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是值得一读的.
9.丘维声的"高等代数"（上,下）相当不错，特点是很全,虽然在矩阵那个方向没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些。
几何化的思想上讲得还是非常清楚，多项式理论那块也讲了不少。
10.李炯生,查建国的"线性代数"是科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有些内容的处理在国内属于相当先进的了。
从常微分方程开始,数学课就变成没底的东西,每一个标题做下去都是数学研究里面庞大的一块。
对于一门基本课程应该讲些什么也始终讨论不断，这里我打算还是从现行课本讲起。
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发表于2005-9-101:
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（四）常微分方程的参考书
常微分方程这门课,金福临和李迅经先生在六十年代写过一课本,第一版在今天看来还是很好的一本课本，但第二版有那么点不敢恭维。
不知为什么,似乎这本书对具体方程的求解特别感兴趣,对于一些比较"现代"的观点,比如定性的讨论等等相当地不重视。
最有那么点好笑的是在某个例子中（好象是介绍Green函数方法的）,在解完了之后话锋一转,说"这个题其实按下面的办法解更简单..."而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的.
下面开始说参考书,毫无疑问,我们还是得从我们强大的北方邻国说起.
1.彼得罗夫斯基的"常微分方程讲义"。
在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他在偏微那一块有非常好的工作。
他这本书在相当长的时期里是标准教材。
2.庞特里亚金的"常微分方程"。
庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故双目失明,在母亲的鼓励和帮助下,他以惊人的毅力走上了数学道路,别的不说,光看看他给后人留下的"连续群"、"最佳过程的数学理论",你就不得不对他佩服得五体投地,有六体也投下来了。
现代数学的一大特色即是已完全建立了一套自己的表达方式，没一个学科象数学这样创造了这么多的概念。
现代数学传播的一大困难也在于此,要向一个非本行（哪怕是数学里另外一个分支的专家）解释清楚一个概念恐怕也要费上半天口舌。
但在另外一方面数学是如此有用,而且数学的抽象性使得一个数学观点往往可以表征其它学科的许多看似毫无关系的对象，所以现代数学还是挺值得一学的。
自学不是件容易的事情,特别是数学。
从动机上说,如果是想系统学一下大学数学系的课程的话，我的建议还是跟班听课,这比自己找书看要省力的多，在可以考虑的书籍方面,以前上海科技出版社出过一套
1."大学数学自学丛书"应当说编得是不错的.
2.赵慈庚,朱鼎勋的"大学数学自学指南"。
赵先生是上面那套书的主编,这本书基本上以上面那套书为蓝本,也给出了一些参考书。
关键是对每一门课的具体内容都有一个详细说明，好象是高等教育出的。
下面转到欧美方面
3.Coddington&Levinson的"TheoryofOrdinaryDiffernetialEquations"自五十年代出版以来就一直被奉为经典。
说老实话这书里东西太多,自己看着办吧。
比较"现代"的表述有
4.Hirsh&Smale的"DifferentialEquations,LinearAlgebraandDynamicalSystems"（中译本"微分方程,线性代数和动力系统"）。
这两位重量级人物写的书其实一点都不难念,非常易懂，所涉及的内容也是非常基本,重要的。
关于作者嘛,可以提一句,Smale现在在香港城市大学,身价是三年1000万港币，我想称他为在中国领土上工作的最重要的数学家应没有什么疑问。
5.Arnol‘d的"常微分方程"。
必须承认,我对Arnol‘d是相当崇拜的。
作为Kolmogorov的学生,他们两就占了KAM里的两个字母。
他写的书,特别是一些教材以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把相应的材料全部重新处理一遍。
从和他的几个学生的交往中我也发现他教学生的本事也非常大，特别是他的学生之间非常喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧。
他自己做学生的时候就和其他几个学生（都是跟不同的导师的）组织了讨论班,互相教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:
Anosov,Arnol‘d,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可见互相讨论的重要性。
从学术观点上说,他更倾向于比较几何化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现。
近年来,Arnol‘d对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度。
不过话说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生们都是这么说的。
这本书有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高,竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话。
再说一句,Arnol‘d的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...."的,程度要深得多。
看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人自己的值得一看的课本吗?
答曰Yes.
6.丁同仁,李承治的"常微分方程教程"绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,观点也比较高。
7.卡姆克（Kamke）常微分方程手册,那里面的方程多得不可胜数。
对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是和物理里常用的特殊函数有关的。
对于这些方程,现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉。
我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里。
事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解这些特殊函数系的"完备性",象
8.Courant-Hilbert的"数学物理方法"第一卷可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来并不是很容易的。
我的理解是学点泛函的观点可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数一个方法学起来更容易一些。
而且,
9.王竹溪,郭敦仁的"特殊函数概论"的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去查书。
要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:
"（70年代末）...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的‘特殊函数概论‘...从此这本书就一直在我的书架上,...经常在里面寻找我需要的结论..."连他老先生都如此,何况我们?
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