本学期物理作业题及答案.docx

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本学期物理作业题及答案

　第九章　静电场

9－7　点电荷如图分布，试求P点的电场强度.

分析依照电场叠加原理，P点的电场强度等于各点电荷单独存在时在P点激发电场强度的矢量和.由于电荷量为q的一对点电荷在P点激发的电场强度大小相等、方向相反而相互抵消，P点的电场强度就等于电荷量为2.0q的点电荷在该点单独激发的场强度.

解根据上述分析

题9-7图

9－8　若电荷Q均匀地分布在长为L的细棒上.求证：

（1）在棒的延长线，且离棒中心为r处的电场强度为

（2）在棒的垂直平分线上，离棒为r处的电场强度为

若棒为无限长（即L→∞），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较.

题9-8图

分析　这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元dx，其电荷为dq＝Qdx/L，它在点P的电场强度为

整个带电体在点P的电场强度

接着针对具体问题来处理这个矢量积分.

（1）若点P在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P的电场强度方向相同，

（2）若点P在棒的垂直平分线上，如图（a）所示，则电场强度E沿x轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P的电场强度就是

证　

（1）延长线上一点P的电场强度

，利用几何关系r′＝r－x统一积分变量，则

电场强度的方向沿x轴.

（2）根据以上分析，中垂线上一点P的电场强度E的方向沿y轴，大小为

利用几何关系sinα＝r/r′，

统一积分变量，则

当棒长L→∞时，若棒单位长度所带电荷λ为常量，则P点电场强度

此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同［图（b）］.这说明只要满足r2/L2＜＜1，带电长直细棒可视为无限长带电直线.

9－14　设在半径为R的球体内电荷均匀分布，电荷体密度为

求带电球内外的电场强度分布.

分析电荷均匀分布在球体内呈球对称，带电球激发的电场也呈球对称性.根据静电场是有源场，电场强度应该沿径向球对称分布.因此可以利用高斯定理求得均匀带电球内外的电场分布.以带电球的球心为中心作同心球面为高斯面，依照高斯定理有

上式中

是高斯面内的电荷量，分别求出处于带电球内外的高斯面内的电荷量，即可求得带电球内外的电场强度分布.

解依照上述分析，由高斯定理可得

时，

假设球体带正电荷，电场强度方向沿径向朝外.考虑到电场强度的方向，带电球体内的电场强度为

时，

考虑到电场强度沿径向朝外，带电球体外的电场强度为

9－15　两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2（R2＞R1），单位长度上的电荷为λ.求离轴线为r处的电场强度：

（1）r＜R1，

（2）R1＜r＜R2，（3）r＞R2.

题9-15图

分析　电荷分布在无限长同轴圆柱面上，电场强度也必定沿轴对称分布，取同轴圆柱面为高斯面，只有侧面的电场强度通量不为零，且

，求出不同半径高斯面内的电荷

.即可解得各区域电场的分布.

解　作同轴圆柱面为高斯面，根据高斯定理

r＜R1，　　

R1＜r＜R2，

r＞R2，

在带电面附近，电场强度大小不连续，如图（b）所示，电场强度有一跃变

9－19　电荷面密度分别为＋σ和－σ的两块“无限大”均匀带电的平行平板，如图（a）放置，取坐标原点为零电势点，求空间各点的电势分布并画出电势随位置坐标x变化的关系曲线.

题9-19图

分析　由于“无限大”均匀带电的平行平板电荷分布在“无限”空间，不能采用点电荷电势叠加的方法求电势分布：

应该首先由“无限大”均匀带电平板的电场强度叠加求电场强度的分布，然后依照电势的定义式求电势分布.

解　由“无限大”均匀带电平板的电场强度

，叠加求得电场强度的分布，

电势等于移动单位正电荷到零电势点电场力所作的功

电势变化曲线如图（b）所示.

9－21　一半径为R的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷的体密度为ρ.现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出分布曲线.

题9-21图

分析　无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称，其电场和电势的分布也呈轴对称.选取同轴柱面为高斯面，利用高斯定理

可求得电场分布E（r），再根据电势差的定义

并取棒表面为零电势（Vb＝0），即可得空间任意点a的电势.

解　取高度为l、半径为r且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面，由高斯定理

当r≤R时

得

当r≥R时

得

取棒表面为零电势，空间电势的分布有

当r≤R时

当r≥R时

如图所示是电势V随空间位置r的分布曲线.

9－25　在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109Ｖ，被迁移的电荷约为30C.

（1）如果释放出来的能量都用来使0℃的冰融化成0℃的水，则可溶解多少冰？

（冰的融化热L＝3.34×105J·kg）

（2）假设每一个家庭一年消耗的能量为3000kW·h，则可为多少个家庭提供一年的能量消耗？

解　

（1）若闪电中释放出来的全部能量为冰所吸收，故可融化冰的质量

即可融化约90吨冰.

（2）一个家庭一年消耗的能量为

一次闪电在极短的时间内释放出来的能量约可维持3个家庭一年消耗的电能.

　第十章　静电场中的导体与电介质

10－8　一导体球半径为R１，外罩一半径为R2的同心薄导体球壳，外球壳所带总电荷为Q，而内球的电势为V０．求此系统的电势和电场的分布．

分析　若

，内球电势等于外球壳的电势，则外球壳内必定为等势体，电场强度处处为零，内球不带电．

若

，内球电势不等于外球壳电势，则外球壳内电场强度不为零，内球带电．一般情况下，假设内导体球带电q，导体达到静电平衡时电荷的分布如图所示．依照电荷的这一分布，利用高斯定理可求得电场分布．并由

或电势叠加求出电势的分布．最后将电场强度和电势用已知量V0、Q、R１、R2表示．

题10-8图

解　根据静电平衡时电荷的分布，可知电场分布呈球对称．取同心球面为高斯面，由高斯定理

，根据不同半径的高斯面内的电荷分布，解得各区域内的电场分布为

r＜R１时，

R１＜r＜R2时，

r＞R2时，

由电场强度与电势的积分关系，可得各相应区域内的电势分布．

r＜R１时，

R１＜r＜R2时，　

r＞R2时，　

也可以从球面电势的叠加求电势的分布：

在导体球内（r＜R１）

在导体球和球壳之间（R１＜r＜R2）

在球壳外（r＞R2）为

由题意　

得

于是可求得各处的电场强度和电势的分布：

r＜R１时，

；

R１＜r＜R2时，　

；

r＞R2时，

；

10－11　电容式计算机键盘的每一个键下面连接一小块金属片，金属片与底

板上的另一块金属片间保持一定空气间隙，构成一小电容器（如图）.当按下按键时电容发生变化，通过与之相连的电子线路向计算机发出该键相应的代码信号.假设金属片面积为50.0mm2，两金属片之间的距离是0.600mm.如果电路能检测出的电容变化量是0.250pF，试问按键需要按下多大的距离才能给出必要的信号？

题10-11图

分析　按下按键时两金属片之间的距离变小，电容增大，由电容的变化量可以求得按键按下的最小距离：

解　按下按键时电容的变化量为

按键按下的最小距离为

10－14　人体的某些细胞壁两侧带有等量的异号电荷.设某细胞壁厚为5.2×10－9m，两表面所带面电荷密度为±5.2×10－3C／m2，内表面为正电荷．如果细胞壁物质的相对电容率为6.0，求

（1）细胞壁内的电场强度；

（2）细胞壁两表面间的电势差．

解　

（1）细胞壁内的电场强度

；方向指向细胞外．

（2）细胞壁两表面间的电势差

．

10－17　如图，有一个空气平板电容器，极板面积为S，间距为d．现将该电容器接在端电压为U的电源上充电，当

（1）充足电后；

（2）然后平行插入一块面积相同、厚度为δ（δ＜d）、相对电容率为εｒ的电介质板；（3）将上述电介质换为同样大小的导体板．分别求电容器的电容C，极板上的电荷Q和极板间的电场强度E．

题10-17图

分析　电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压U．插入电介质后，由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反，介质内的电场减弱．由于极板间的距离d不变，因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，以维持电势差不变，并有

相类似的原因，在平板电容器极板之间，若平行地插入一块导体板，由于极板上的自由电荷和插入导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，使间隙中的电场E增强，以维持两极板间的电势差不变，并有

综上所述，接上电源的平板电容器，插入介质或导体后，极板上的自由电荷

均会增加，而电势差保持不变．

解　

（1）空气平板电容器的电容

充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为

（2）插入电介质后，电容器的电容C1为

故有

介质内电场强度　　

空气中电场强度　　　

（3）插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为

导体中电场强度

空气中电场强度

无论是插入介质还是插入导体，由于电容器的导体极板与电源相连，在维持电势差不变的同时都从电源获得了电荷，自由电荷分布的变化同样使得介质内的电场强度不再等于E0/εｒ．

第十一章　恒定磁场

11－11　如图所示，几种载流导线在平面内分布，电流均为I，它们在点O的磁感强度各为多少？

题11-11图

分析　应用磁场叠加原理求解．将不同形状的载流导线分解成长直部分和圆弧部分，它们各自在点O处所激发的磁感强度较容易求得，则总的磁感强度

.

解　（ａ）长直电流对点O而言，有

，因此它在点O产生的磁场为零，则点O处总的磁感强度为1/4圆弧电流所激发，故有

B0的方向垂直纸面向外．

（ｂ）将载流导线看作圆电流和长直电流，由叠加原理可得

B0的方向垂直纸面向里．

（c）将载流导线看作1/2圆电流和两段半无限长直电流，由叠加原理可得

B0的方向垂直纸面向外．

11－14　已知10mm2裸铜线允许通过50A电流而不会使导线过热．电流在导线横截面上均匀分布．求导线内、外磁感强度的分布.

题11-14图

分析　可将导线视作长直圆柱体，电流沿轴向均匀流过导体，故其磁场必然呈轴对称分布，即在与导线同轴的圆柱面上的各点，B大小相等、方向与电流成右手螺旋关系．为此，可利用安培环路定理，求出导线表面的磁感强度．

解　围绕轴线取同心圆为环路L，取其绕向与电流成右手螺旋关系，根据安培环路定理，有

在导线内r＜R，

，因而

在导线外r＞R，

，因而

磁感强度分布曲线如图所示．

11－15　有一同轴电缆，其尺寸如图（ａ）所示．两导体中的电流均为I，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑．试计算以下各处的磁感强度：

（1）r＜R1；

（2）R1＜r＜R2；（3）R2＜r＜R3；（4）r＞R3．画出B－r图线．

题11-15图

分析　同轴电缆导体内的电流均匀分布，其磁场呈轴对称，取半径为r的同心圆为积分路径，

，利用安培环路定理

，可解得各区域的磁感强度．

解　由上述分析得

r＜R1

R1＜r＜R2

R2＜r＜R3

r＞R3

磁感强度B（r）的分布曲线如图（ｂ）．

11－17　电流I均匀地流过半径为R的圆形长直导线，试计算单位长度导线内的磁场通过图中所示剖面的磁通量．

题11-17图

分析　由题11－14可得导线内部距轴线为r处的磁感强度

在剖面上磁感强度分布不均匀，因此，需从磁通量的定义

来求解．沿轴线方向在剖面上取面元ｄS＝lｄr，考虑到面元上各点B相同，故穿过面元的磁通量ｄΦ＝BｄS，通过积分，可得单位长度导线内的磁通量

　　解　由分析可得单位长度导线内的磁通量

11－19　霍尔效应可用来测量血流的速度，其原理如图所示．在动脉血管两

侧分别安装电极并加以磁场．设血管直径为d＝2.0mm，磁场为B＝0.080T，毫伏表测出血管上下两端的电压为UH＝0.10mV，血流的流速为多大？

题11-19图

分析　血流稳定时，有

由上式可以解得血流的速度．

解　依照分析

11－21　从太阳射来的速度为0.80×108m/ｓ的电子进入地球赤道上空高层范艾伦辐射带中，该处磁场为4.0×10－7Ｔ，此电子回转轨道半径为多大？

若电子沿地球磁场的磁感线旋进到地磁北极附近，地磁北极附近磁场为2.0×10－5Ｔ，其轨道半径又为多少？

解　由带电粒子在磁场中运动的回转半径高层范艾伦辐射带中的回转半径　　

地磁北极附近的回转半径

第十二章　电磁感应　电磁场和电磁波

12－7载流长直导线中的电流以

的变化率增长.若有一边长为d的正方形线圈与导线处于同一平面内，如图所示.求线圈中的感应电动势.

分析本题仍可用法拉第电磁感应定律

，来求解.由于回路处在非均匀磁场中，磁通量就需用

来计算.

为了积分的需要，建立如图所示的坐标系.由于B仅与x有关，即B=B（x），故取一个平行于长直导线的宽为dx、长为d的面元dS，如图中阴影部分所示，则dS=ddx，所以，总磁通量可通过线积分求得（若取面元dS=dxdy，则上述积分实际上为二重积分）.本题在工程技术中又称为互感现象，也可用公式

求解.

解1穿过面元dS的磁通量为

因此穿过线圈的磁通量为

再由法拉第电磁感应定律，有

解2当两长直导线有电流I通过时，穿过线圈的磁通量为

线圈与两长直导线间的互感为

当电流以

变化时，线圈中的互感电动势为

题12-7图

12－10　如图（ａ）所示，把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感强度为B的均匀磁场中，当导线以速率v水平向右平动时，求导线中感应电动势E的大小，哪一端电势较高？

题12-10图

分析　本题及后面几题中的电动势均为动生电动势，除仍可由

求解外（必须设法构造一个闭合回路），还可直接用公式

求解．

在用后一种方法求解时，应注意导体上任一导线元ｄl上的动生电动势

.在一般情况下，上述各量可能是ｄl所在位置的函数．矢量（v×B）的方向就是导线中电势升高的方向．

解1　如图（ｂ）所示，假想半圆形导线OP在宽为2R的静止形导轨上滑动，两者之间形成一个闭合回路．设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O或

端点P距形导轨左侧距离为x，则

即

由于静止的形导轨上的电动势为零，则E＝－2RvB．式中负号表示电动势的方向为逆时针，对OP段来说端点P的电势较高．

解2　建立如图（c）所示的坐标系，在导体上任意处取导体元ｄl，则

由矢量（v×B）的指向可知，端点P的电势较高．

解3　连接OP使导线构成一个闭合回路．由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量

常数.由法拉第电磁感应定律

可知，E＝0

又因E＝EOP＋EPO

即EOP＝－EPO＝2RvB

由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势．上述求解方法是叠加思想的逆运用，即补偿的方法

12－12　如图所示，长为L的导体棒OP，处于均匀磁场中，并绕OO′轴以角速度ω旋转，棒与转轴间夹角恒为θ，磁感强度B与转轴平行．求OP棒在图示位置处的电动势．

题12-12图

分析　如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律

计算（此时必须构造一个包含OP导体在内的闭合回路，如直角三角形导体回路OPQO），也可用

来计算．由于对称性，导体OP旋转至任何位置时产生的电动势与图示位置是相同的．

解1　由上分析，得

由矢量

的方向可知端点P的电势较高．

解2　设想导体OP为直角三角形导体回路OPQO中的一部分，任一时刻穿过回路的磁通量Φ为零，则回路的总电动势

显然，EQO＝0，所以

由上可知，导体棒OP旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP等效．

12－15　在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B的方向与柱的轴线平行．如图（ａ）所示，有一长为l的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化率

为常量．试证：

棒上感应电动势的大小为

题12-15图

分析　变化磁场在其周围激发感生电场，把导体置于感生电场中，导体中的自由电子就会在电场力的作用下移动，在棒内两端形成正负电荷的积累，从而产生感生电动势．由于本题的感生电场分布与上题所述情况完全相同，故可利用上题结果，由

计算棒上感生电动势．此外，还可连接OP、OQ，设想PQOP构成一个闭合导体回路，用法拉第电磁感应定律求解，由于OP、OQ沿半径方向，与通过该处的感生电场强度Ek处处垂直，故

，OP、OQ两段均无电动势，这样，由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路的总电动势，就是导体棒PQ上的电动势．

证1　由电磁感应定律，在r＜R区域，

解得该区域内感生电场强度的大小

设PQ上线元ｄx处，Ek的方向如图（b）所示，则金属杆PQ上的电动势为

证2　由法拉第电磁感应定律，有

讨论　假如金属棒PQ有一段在圆外，则圆外一段导体上有无电动势？

该如何求解？

第十四章　波动光学

14-9　在双缝干涉实验中，用波长λ＝546.1nm的单色光照射，双缝与屏的距离d′＝300mm．测得中央明纹两侧的两个第五级明条纹的间距为12.2mm，求双缝间的距离．

分析　双缝干涉在屏上形成的条纹是上下对称且等间隔的．如果设两明纹间隔为Δx，则由中央明纹两侧第五级明纹间距x5－x-5＝10Δx可求出Δx．再由公式Δx＝d′λ／d即可求出双缝间距d．

解　根据分析：

Δx＝（x5－x-5）/10＝1.22×10-3m

双缝间距：

d＝d′λ／Δx＝1.34×10-4m

14-19　把折射率n＝1.40的薄膜放入迈克耳孙干涉仪的一臂，如果由此产生了7.0条条纹的移动，求膜厚．设入射光的波长为589nm．

分析　迈克耳孙干涉仪中的干涉现象可以等效为薄膜干涉（两平面镜相互垂直）和劈尖干涉（两平面镜不垂直）两种情况，本题属于后一种情况．在干涉仪一臂中插入介质片后，两束相干光的光程差改变了，相当于在观察者视野内的空气劈尖的厚度改变了，从而引起干涉条纹的移动．

解　插入厚度为d的介质片后，两相干光光程差的改变量为2（n－1）d，从而引起N条条纹的移动，根据劈尖干涉加强的条件，有2（n－1）d＝Nλ，得

14-22　已知单缝宽度b＝1.0×10-4m，透镜焦距f＝0.50m，用λ1＝400nm和λ2＝760nm的单色平行光分别垂直照射，求这两种光的第一级明纹离屏中心的距离，以及这两条明纹之间的距离．若用每厘米刻有1000条刻线的光栅代替这个单缝，则这两种单色光的第一级明纹分别距屏中心多远？

这两条明纹之间的距离又是多少？

分析　用含有两种不同波长的混合光照射单缝或光栅，每种波长可在屏上独立地产生自己的一组衍射条纹，屏上最终显示出两组衍射条纹的混合图样．因而本题可根据单缝（或光栅）衍射公式分别计算两种波长的k级条纹的位置x1和x2，并算出其条纹间距Δx＝x2－x1．通过计算可以发现，使用光栅后，条纹将远离屏中心，条纹间距也变大，这是光栅的特点之一．

解　

（1）当光垂直照射单缝时，屏上第k级明纹的位置

当λ1＝400nm和k＝1时，　　x1＝3.0×10-3m

当λ2＝760nm和k＝1时，　　x2＝5.7×10-3m

其条纹间距　　　　Δx＝x2－x1＝2.7×10-3m

（2）当光垂直照射光栅时，屏上第k级明纹的位置为

而光栅常数

当λ1＝400nm和k＝1时，　　x1＝2.0×10-2m

当λ2＝760nm和k＝1时，　　x2＝3.8×10-2m

其条纹间距　

14-27　测得一池静水的表面反射出来的太阳光是线偏振光，求此时太阳处在地平线的多大仰角处？

（水的折射率为1.33）

题14-27图

分析　设太阳光（自然光）以入射角i入射到水面，则所求仰角

．当反射光起偏时，根据布儒斯特定律，有

（其中n1为空气的折射率，n2为水的折射率）．

解　根据以上分析，有

则

14-28　一束光是自然光和线偏振光的混合，当它通过一偏振片时，发现透射光的强度取决于偏振片的取向，其强度可以变化5倍，求入射光中两种光的强度各占总入射光强度的几分之几．

分析　偏振片的旋转，仅对入射的混合光中的线偏振光部分有影响，在偏振片旋转一周的过程中，当偏振光的振动方向平行于偏振片的偏振化方向时，透射光强最大；而相互垂直时，透射光强最小．分别计算最大透射光强Imax和最小透射光强Imin，按题意用相比的方法即能求解．

解　设入射混合光强为I，其中线偏振光强为xI，自然光强为（1－x）I．按题意旋转偏振片，则有最大透射光强

最小透射光强

按题意

，则有

解得　x＝2/3

即线偏振光占总入射光强的2/3，自然光占1/3．

第十五章　狭义相对论

15－4　一飞船的固有长度为L，相对于地面以速度v1作匀速直线运动，从飞船中的后端向飞船中的前端的一个靶子发射一颗相对于飞船的速度为v2的子弹.在飞船上测得子弹从射出到击中靶的时间间隔是（　　）（c表示真空中光速）

（A）

　（B）

　（C）

　（D）

分析与解　固有长度是指相对测量对象静止的观察者所测，则题中L、v2以及所求时间间隔均为同一参考系（此处指飞船）中的三个相关物理量，求解时与相对论的时空观无关.故选（C）.

讨论　从地面测得的上述时间间隔为多少？

建议读者自己求解.注意此处要用到相对论时空观方面的规律了.

15－11　设在宇航飞船中的观察者测得脱离它而去的航天器相对它的速度为1.2×108m·ｓ-1i.同时，航天器发射一枚空间火箭，航天器中的观察者测得此火箭相对它的速度为1.0×108m·ｓ-1i.问：

（1）此火箭相对宇航飞船的速度为多少？

（2）如果以激光光束来替代空间火箭，此激光光束相对宇航飞船的速度又为多少？

请将上述结果与伽利略速度变换所得结果相比较，并理解光速是运动体的极限速度.

分析　该题仍是相对论速度变换问题.

（2）中用激光束来替代火箭，其区别在于激光束是以光速c相对航天器运动，因此其速度变换结果应该与光速不变原理相一致.

解　设宇航飞船为Ｓ系，航天器为Ｓ′系，则Ｓ′系相对Ｓ系的速度

v＝1.2×108m·ｓ－1，空间火箭相对航天器的速度为u′x＝1.0×108m·ｓ－1，激光束相对航天器的速度为光速c.由洛伦兹变换可得：

（1）空间火箭相对Ｓ系的速度为

（2）激光束相对Ｓ系的速度为

即激光束相对宇航飞船的速度仍为光速c，这是光速不变原理所预料的.如用伽利略变换，则有ux＝c＋v＞c.这表明对伽利略变换而言，运动物体没有极限速度，但对相对论的洛伦兹变换来说，光速是运动物体的极限速度.

15－15　若从一惯性系中测得宇宙飞船的长度为其固有长度的一半，试问宇宙飞船相对此惯性系的速度为多少？

（以光速c表示）

解　设宇宙飞船的固有长度为l0，它相对于惯性系的速率为v，而从此惯性系测得宇宙飞船的长度为

，