第47讲机械波波的衍射与干涉.docx

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第47讲机械波波的衍射与干涉

第47讲：

机械波——波的衍射与干涉

内容：

§15－3，§15－4，§15－5

1．波的能量（30分钟）

2．惠更斯原理

3．惠更斯原理的应用（30分钟）

4．波的叠加原理

5．波的干涉（40分钟）

要求：

1．掌握波动的能量公式；

2．理解惠更斯原理，要求会用惠更斯原理说明波的衍射现象、反射现象、折射现象；

3．解波的叠加原理；

4．掌握波的干涉原理和干涉公式。

重点与难点：

4．波的能量公式。

1．惠更斯原理及其应用；

2．波的叠加原理及干涉现象。

作业：

问题：

P83：

7，8，9，10

习题：

P86：

13，14，16，17

预习：

§15－6，§15－7，§15－8

复习：

●波动的基本概念

●横波和纵波

●波长、波的周期和频率、波速

●平面简谐波的波函数

●波函数的物理意义

§15－3波的能量

WaveEnergy

一、波动能量的传播

1．引言：

机械波在介质中传播时，波动传播到的各质点都在各自的平衡位置附近振动。

由于各质点有振动速度，因而它们具有动能。

同时因介质产生形变，它们还具有弹性势能。

故在波动传播过程中，介质由近及远振动着，能量是向外传播出去的，这是波动的重要特征。

本节以棒中传播的纵波为例来讨论波的能量。

当机械波传播到介质中的某处时，该处原来不动的质点开始振动．因而有动能．同时该处的介质也将发生形变，因而也具有势能，波的传播过程也就是能量的传播过程。

设

2．波的能量

如图所示，一细棒沿X轴放置，其质量密度为ρ，截面积为S，弹性模量为Y。

当平面纵波以波速u沿X轴正方向传播时，棒上每一小段将不断受到压缩和拉伸。

设棒中波的表达式为

在棒中任取一个体积元ab，棒中无波动时两端面a和b的坐标分别为x和x+dx，则体积元ab的自然长度为dx，质量为dm=ρdV=ρSdx。

当有波传到该体积元时，其振动速度为

因而这段体积元的振动动能为

设在时刻t该体积元正在被拉伸，两端面a和b的坐标分别为y和y+dy，则体积元ab的实际伸长量为dy。

由于形变而产生的弹性回复力为

和虎克定律比较可得

因而该体积元的弹性势能为

而

固体中的波速为

因而

所以体积元的总能量为

3．结论和分析：

我们看到，体积元中的动能和势能是同步变化的，即两者同时达到最大，又同时减到零，体积元中的总能量随对间作周期性的变化，不是守恒的。

这是因为介质中的每个体积元都不是孤立的，通过它与相邻介质问的弹性力作用，不断地吸收和放出能量，所以小体积的能量随时在变化，并且造成机械能的传播。

至于波动中动能和势能的同步变化，这可从波动过程实际观察到。

正在通过平衡位置的那些质点，不仅有最大的振动速度，而且由于所在处的质点间的相对形变（即

）也最大，因而势能也最大。

而处于最大振动位移处的那些质点．不仅振动动能为零，而且由于所在处的质点间的相对形变也为零（即

，所以势能也为零。

动能和势能的变化是同步的。

在波的传播过程中，介质中任一体积元的动能和势能同相地随时间变化，二者同时达到最大值，又同时为零，它们在任一时刻都有完全相同的值。

即体积元的总能量是随时间作周期性变化的。

这表明，沿着波动传播的方向，每一体积元都在不断地从后方质点获得能量，使能量从零逐渐增大到最大值，又不断把能量传递给前方的介质，使能量从最大变为零。

如此周期性地重复，能量就随着波动过程，从介质的一部分传给另一部分。

所以波动是能量传递的一种方式。

以上结论对横波也是成立的。

关于“介质中任一体积元的动能和势能同相地随时间变化”的理解：

在波动过程中，在波峰位置，质点的振动速度为零，动能为零；同时，ΔΔy/Δx也为零，即形变为零，弹性势能为零；而在平衡位置，质点的振动速度最大，动能最大；同时，Δy/Δx也最大，即形变最大，弹性势能最大。

因而介质中任一体积元的动能和势能在每一个时刻都是相等的，即同相地随时间变化的。

3．波的能量密度——精确地描述波的能量分布

1）定义：

单位体积介质中的能量就是能量密度，用w表示。

2）t时刻x处介质的能量密度

3）平均能量密度——一个周期内的能量密度的平均值

二、能流与能流密度

1．能流

定义：

单位时间内通过介质中某一面积的能量称为通过该面积的能流，或能通量，用P表示。

平均能流

2．平均能流密度——描述能流的空间分布和方向

定义：

通过与波的传播方向垂直的单位面积的平均能流，称为平均能流密度，又称为波的强度。

能流密度与振幅的平方、频率的平方以及介质的密度成正比。

单位：

W.m-2

说明：

平均能流密度，对于声波称为声强，对于光波称为光强。

例题一球面波在均匀无吸收的介质中一波速u传播。

在距离波源r1=1m处质元的振幅为A。

设波源振动的角频率为ω，初相位为零，试写出球面简谐波的表达式。

解：

以点波源O以圆心作半径为r1和r2的两个球面，如图所示。

由于介质不吸收波的能量，因此，单位时间内通过球面的总平均能量应该相等，即

式中

和

分别为距波源r1和r2处的波的强度，因而有

可见振幅与离波源的距离成反比，因而有在距波源r处的振幅为A/r，相位比波源落后ωr/u，所以球面简谐波的表示式为

§16－4惠更斯原理波的衍射、反射和折射

引言：

波在各向同性的均匀介质中传播时，波速、波振面形状、波的传播方向等均保持不变。

但是，如果波在传播过程中遇到障碍物或传到不同介质的界面时，则波速、波振面形状、以及波的传播方向等都要发生变化，产生反射、折射、衍射、散射等现象。

在这种情况下，要通过求解波动方程来预言波的行为就比较复杂了。

惠更斯原理提供了一种定性的几何作图方法，在很广泛的范围内解决了波的传播方向等问题。

一、惠更斯原理

惠更斯（ChristianHuygens，1629—1695）

惠更斯是最著名的物理学家之一。

惠更斯的力学研究成果很多。

1656年制成了第一座机械钟。

1673年推算出了向心力定律。

1678年他完成《光论》，提出了光的波动说，建立了著名的惠更斯原理。

惠更斯原理可以预料光的衍射现象的存在。

在数学方面：

发表过关于计算圆周长、椭圆弧及双曲线的著作。

在天文学方面：

研制和改进光学仪器上。

他1665年发现了土星的光环和木星的卫星（木卫六）。

1．前提条件

当波在弹性介质中传播时，介质中任一点P的振动，将直接引起其邻近质点的振动。

就P点引起邻近质点的振动而言，P点和波源并没有本质上的区别，即P点也可以看作新的波源。

例如，水面波传播时，遇到障碍物，当障碍物上小孔的大小与波长相差不多时，就会看到穿过小孔后的波振面是圆弧形的，与原来的波振面无关，就象以小孔为波源产生的波动一样。

2．惠更斯原理——是关于波面传播的理论

在总结这类现象的基础上，荷兰物理学家惠更斯于1678年首先提出：

介质中任一波面上的各点，都可看成是产生球面子波（或称为次波）的波源；在其后的任一时刻，这些子波的包络面就是新的波面。

3．用惠更斯原理来解释波动的传播方向

不论对机械波还是电磁波，也不论波动所经过的介质是均匀的还是非均匀的，是各向同性的还是各向异性的，惠更斯原理都是适用的。

只要知道某一时刻的波面与波速，就可以根据惠更斯原理，用几何作图方法决定下一时刻的波面，从而确定波的传播方向。

根据惠更斯原理，应用几何作图方法，由已知的某一时刻波阵面，可以确定下一时刻的波阵面，从而确定波的传播方向。

应用惠更斯原理可以解释波的折射、反射和衍射等现象。

例如

（1）点波源O发出的球面波

（2）平面波

惠更斯原理对任何波动过程都是适用的。

只要知道某一时刻的波阵面，就可根据这一原理用几何方法来决定任一时刻的波阵面，因而在很广泛的范围内解决了波的传播问题。

但惠更斯原理不能说明波的强度分布。

二、波的衍射

1．什么是波的衍射现象？

波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边缘继续前进的现象叫做波的衍射现象。

其波阵面的几何形状和波的传播方向均发生改变，衍射现象明显与否，和障碍物的尺寸有关。

例如，当平面波通过一缝时，若缝的宽度远大于波的波长，波表现为直线传播；若缝的宽度略大于波长，在缝的中部，波的传播仍保持原来的方向；在缝的边缘处，波阵面弯曲，波的传播方向改变，波绕过障碍物向前传播；若缝的宽度小于波长（相当于小孔），衍射现象更加明显，波阵面由平面变成球面。

（1）平面波通过宽度略大于波长的缝时，在缝的中部，波的传播仍保持原来的方向，在缝的边缘处，波阵面弯曲，波的传播方向改变，波绕过障碍物向前传播。

（2）平面波通过宽度（线度）小于波长的缝时（相当于小孔），衍射现象更加明显，波阵面由平面变成球面。

2．用惠更斯原理解释波的衍射现象：

当平面波到达障碍物AB上的一条狭缝时，缝上各点可看成是子波的波源，各子波源都发出球形子波。

这些子波的包络面已不再是平面。

靠近狭缝的边缘处，波面弯曲，波线改变了原来的方向，即绕过了障碍物继续前进。

如果障碍物的缝更窄，衍射现象就更显著。

三、波的反射与折射

1．什么是波的反射现象和折射现象？

当波传播到两种介质分界面时，一部分波从分界面上返回，形成反射波，另一部分进入另一介质，形成折射波，这就是波的反射现象和折射现象。

2．波的反射定律

●反射线、入射线和法线在同一平面内；

●反射角等于入射角。

3．波的折射定律

●折射线、入射线和法线在同一平面内；

●入射角的正弦与反射角的正弦之比等于波在第一种介质中传播的速度与波在在第一种介质中传播的速度之比，即

4．用惠更斯原来解释波的反射和折射

反射波与入射波在同一介质中，传播的速度是相同的，因而在同一时间内行进的距离是相等的；而折射波与入射波在不同的介质中传播，波速是不同的，因而在同一时间内行进的距离是不等的。

据此可以解释波的反射与折射现象。

四、更斯原理的缺陷

1．没有说明子波的强度分布问题；

2．没有说明波为什么只能向前传播而不向后传播的问题。

后来，菲涅耳对惠更斯原理作了重要的补充，形成惠更斯——菲涅耳原理，这些缺陷才被克服。

§15－5波的干涉

InterferenceofWave

一、波的叠加原理（SuperpositionPrinciple）

1．例子

人耳能够分辨出每种乐器所演奏的声音；水面上的水波相遇后又分开等。

2．波的叠加原理（波的独立传播原理）

●波的独立传播原理：

几列波在同一介质中传播时，无论是否相遇，它们将各自保持其原有的特性（频率、波长、振动方向等）不变，并按照它们原来的方向继续传播下去，好象其它波不存在一样；

●波的叠加原理：

在相遇区域内，任一点的振动均为各列波单独存在时在该点所引起的振动的合成。

当几列波在媒质中某点相遇时，该点的振动是各个波单独存在时在该点引起振动的合振动，即该点的位移是各个波单独存在时在该点引起的位移的矢量和。

●这种波动传播过程中出现的各分振动独立地参与叠加的事实称为波的叠加原理。

3．说明

●此原理包含了波的独立传播性与可叠加性两方面的性质，是波的干涉与衍射现

象的基本依据；

●波的叠加原理并不是普遍成立的。

只有当波的强度不太大时，描述波动过程的微分方程是线性的，它才是正确的；如果描述波动过程的微分方程不是线性的，波的叠加原理就不成立。

如强度很大的冲击波，就不遵守上述叠加原理（爆炸产生的冲击波就不满足线性方程，所以叠加原理不适用）。

●叠加原理在物理上的一个重要意义是在于将一个复杂的波动分解为几个简单的波的叠加（复里叶级数）。

二、波的干涉（Interference）

1．相干波

演示实验：

振动方向相同、频率相同、相位相同或相位差恒定的两列波，在空间相遇时，叠加的结果是使空间某些点的振动始终加强，另外某些点的振动始终减弱，形成一种稳定的强弱分布，这种现象称为波的干涉现象。

相干波：

能够产生干涉的两列波；

相干波源：

相干波的波源；

相干条件：

满足相干波的三个条件。

2．相干波源的获得

分波振面：

如图所示，S为波源前的一个障碍物上的一个小孔，S1和S2是在波前进路程中的另外一个障碍物上的两个小孔，且SS1=SS2。

根据惠更斯原理，S、S1、S2都是独立的波源，S1和S2发出的波为相干波（coherentwave）。

3．干涉强弱分布

设两相干波源S1和S2的振动方程为

从波源S1和S2发出的波在同一介质中传播，假设介质是均匀的、各向同性的。

并且是无穷大的。

如图所示，设在两列波相遇的区域内任一点P，与两波源的距离分别是r1和r2，则S1、S2单独存在时，在P点引起的振动为

根据同方向同频率振动的合成，P点的和振动方程为

合振幅由下式确定

因而P点的强度为

式中

为两列波在P点所引起的分振动的相位差，其中

为两个波源的初相差，-2π（r2-r1）/λ是由于波的传播路程（称为波程）不同而引起的相位差。

对于叠加区域内任一确定的点来说，相位差为一个常量，因而强度是恒定的。

不同的点将有不同的相位差，这将对应不同的强度值，但各自都是恒定的，即在空间形成稳定的强度分布，这就是干涉现象。

可见，在两列波叠加区域内的各点，合振幅或强度主要取决于相位差，

（1）

则合振幅最大，其值为A=A1+A2，振动加强，称为干涉相长；

（2）

则合振幅最大，其值为A=|A1-A2|，振动减弱，称为干涉相消；

（3）在相位差为其它值时，合振幅介于|A1-A2|与A1+A2之间。

如果两相干波源的振动初相位相同，即

，以δ表示两相干波源到P点的波程差，则上述条件可以简化为

（1）

干涉相长；

（2）

干涉相消。

即当两相干波源同相时，在两波叠加区域内，波程差为零或等于波长的整数倍（半波长的偶数倍）的各点，强度最大；波程差等于半波长的奇数倍各点，强度最小。

例1．如图所示，相干波源S1和S2相距λ/4（λ为波长），S1的相位比S2的相位超前π/2，每一列波的振幅均为A，并且在传播过程中保持不变，P、Q为S1和S2连线外侧的任意点，求P、Q两点的合成波的振幅。

解：

波源S1和S2的振动传到空间任一点引起的两个振动的相位差为

由题意，

，对于P点，

，故

即波源S1和S2的振动传到P点时，相位相反，所以P点的合振幅为

可见在S1和S2连线的左侧延长线上各点，均因干涉而静止。

同样，对于Q点，

，故

即波源S1和S2的振动传到Q点时，相位相同，所以Q点的合振幅为

可见在S1和S2

连线的右侧延长线上各点，均因干涉而加强。

例2．波源位于同一介质中的A、B两点，其振幅相等，频率皆为100Hz，B的相位比A超前π，若A、B相距30m，波速为400m/s。

求AB连线因干涉而静止的各点的位置。

解：

取A点为坐标原点，AB连线的方向为x轴正方向。

（1）AB中的点P，令AP=x，则BP=30-x。

由题意知，

，

根据干涉相消条件，可知

因而有

所以AB上因干涉而静止的点为

（2）在A点左侧，

干涉相长。

（3）在B点右侧，

干涉相长。

所以在AB两点之外没有因干涉而静止的点。

例3．如图所示，S1和S2为同一介质中的两个相干波源，其振幅均为5cm，频率均为100Hz，当S1为波峰时，S2恰好为波谷，波速为

。

设S1和S2的振动均垂直于纸面，试求它们发出的两列波传到P点时干涉的结果。

解：

由图可知，S1P=15m，S1S2=20m，故

。

由题意可知

（设S1的振动比S2的振动超前），

，

，

，因此波长为

相位差为

故合振幅为

即在P点，因干涉而静止。

小结：

●波动能量

●惠更斯原理

●波的干涉