非正弦交流电路.docx
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非正弦交流电路
第9章非正弦交流电路
学习指导与题解
一、基本要求
1．建立几个频率为整数倍的正弦波可以合成为一非正弦周期的概念。
明确一个非正弦周期波可以分解为一系列频率为整数倍正弦波之和的概念（即谐波分析）、谐波中的基波与高次谐波的含义。
了解谐波分析中傅里叶级数的应用。
2．掌握波形对称性与所含谐波分量的关系。
能根据波形的特点判断所含谐波的情况。
了解波形原点选择对所含谐波的影响。
3．掌握非正弦周期电压和电流的平均值（即直流分量）和有效值的计算。
能根据给定波形计算出直流分量。
能根据非正弦周期波的直流分量和各次谐波分量，计算出它的有效值。
4．掌握运用叠加定理和谐波分析计算非正弦交流电路中的电压和电流的方法。
5．建立同频率的正弦电压和电流才能形成平均功率的概念。
掌握运用叠加定理和谐波分量计算非正弦交流电路中和平均功率。
二、学习指导在电工技术中，电路除了激励和响应是直流和正弦交流电和情况外，也还遇到有非正弦周期函数电量的情况。
如当电路中有几个不同频率的正弦量激励时，响应是非正弦周期函数；含有非线性元件的电路中，正弦激励下的响应也是非线性的；在电子、计算机等电路中应用的脉冲信号波形，都是非正弦周期函数。
因此，研究非正弦交流电路的分析，具有重要和理论和实际意义。
本章的教学内容可分为如下三部分：
1．非正弦周期波由谐波合成的概念；
2．非正弦周期波的谐波分析；3．非正弦交流电路的计算。
着重讨论非正弦周期波谐波分析的概念，非正弦周期量的有效值和运用叠加定理计算非正弦交流电路的方法。
现就教学内容中的几个问题分述如下。
（一）关于非正弦周期波的谐波的概念非正弦周期波是随时间作周期性变化的非正弦函数。
如周期性变化的方波、三角波等。
这类波形，与正弦波相比，都有变化的周期T和频率f，不同的是波形而已。
几个频率为整数倍的正弦波，合成是一个非正弦波。
反之，一个非正弦周期波f（t），可
以分解为含直流分量（或不含直流分量）和一系列频率为整数倍的正弦波。
这些一系列频率
为整数倍的正弦波，就称为非正弦周期波的谐波。
其中频率与非正弦周期波相同的正弦波，称为基波或一次谐波；频率是基波频率2倍的正弦，就称为二次谐波；频率是基波频率3
倍的正弦波，称为三次谐波；频率是基波频率k倍的正弦波，称为k次谐波，k为正整数。
人们通常将二次及二次以上的谐波，统称为高次谐波。
（二）关于谐波分析的方法
在电路分析中，将非正弦周期波的分解，应用傅里叶级数展开的方法，分解为直流分
量（或不含有）和频率为整数倍的一系列正弦波之和，称为傅里叶分析，又称为谐波分析。
一人周期为T的函数f（t），如果满足狄里赫利条件*，则f（t）可以展开为如下三角
级数：
f（t）A0（AkcosktBksinkt）
k1
这是一个无穷级数，由法国人傅里叶（Fourier）提出来的，故称为傅里叶级数。
式中A,
A,Bk称为傅里叶系数，由如下公式计算得出:
（直流分量）
A。
是f（t）一周期时间内的平均值，称直流分量。
k1的正弦波，称为基波；k2的
正弦波，称为二次谐波；kn的正弦波，称为n次谐波。
当k为奇数时，称为奇次谐波；
k为偶数时，称为偶次谐波。
非正弦周期波的傅里叶级数展开，关键是计算傅里叶系数的问题。
在电工技术中，遇到的非正弦周期波，都满足狄里赫利条件的，均可展开为傅里叶级数。
常见的非正弦周期波的傅里叶级数展开式，已在手册及教材中列出，如下表所示，以供
查用。
常见非正弦周期波的傅里叶级数展开式
f（t）波形图
f（x）傅里叶级数展开式
1
血:
1.
C\卬二
A22
f（t）m（1sintcos2tcos4tL）
2315
NS3窄
*狄利赫利条件：
f（t）在〔T,T〕或〔o,T〕区间，
（1）除有限个第一类间断点外，其余各点22
连续；
（2）只有有限个极点。
f（t）波形图
f（x）傅里叶级数展开式
Am
0
r\r\T\旅
2222
f（t）—Am（1—cos2t—cos4t—cos6tL）
31535
1
血
1
411
f（t）—Am（sint—sin3t-sin5tL）
35
0
2^
3.¥*
h
211
f（t）—Am（sint-sin2t-sin3tL）
23
0
JF
長■
A恥
1111
f（t）州[——（sint-sin2t-sin3tL）]
223
0
2jf4jt
Am
0
八g
811
f（t）Am（sint-sin3t—sin5tL）
2925
4/13
0
811
f（t）pAm（cost一cos3t—cos5tL）
925
a
L
-Fw■
411
f（t）—Am（sinsint-sin3sin3t—sin5sin5tL）
925
3/31111
f（t）Af^（—一cos3t—cos6t—cos9tL）
283580
（三）关于波形对称性与所含谐波分量的关系
在电工技术中遇到的非正弦周期波，许多具有某种对称性。
在对称波形中，傅里叶级数中，有些谐波分量（包括直流分量。
因直流分量是k0的零次谐波分量）不存在。
因此,
利用波形对称性与谐波分量的关系，可以简化傅里叶系数的计算。
k=1,3,5，…。
这类非正弦周期波只含奇次谐波。
所以，这类奇半波对称函数f（t），称
为奇谐波函数。
以上是三种对称波形及其谐波分量情况，下面
再介绍半波重叠波和四种双重对称性波形及其谐波分量情况。
（4）半波重叠函数若f（t）波形移动半波（-2）
与原波形重叠，满足f（t）f（tT）条件。
如图9-4
2
所示，f（t）不对称于纵轴和原点，故它不是偶函数和
奇函数，只是移动T与原波形重叠。
则傅里叶系数
图9-3奇半波对称波形举例
2
A和Bk中k为偶数，即k=0,2,4,6,…。
这类非正弦周期波只含偶次谐波。
所以，这类半波重叠函数，称为偶偕波函数。
像对称，又是奇半波对称函数。
则傅里叶系数中Ao0，Ak0，Bk中k为奇数，即k=1,
3,5…。
傅里叶级数中只含Bksinkt项的奇次谐波。
所以，这类奇函数且半波对称波,
只含正弦函数的奇次谐波。
里叶级数中只含Acoskt项的奇次谐波。
所以,
这
类偶函数且奇半波对称对称波，只含余弦函数的奇次谐波。
（7）偶函数且半波重叠f（t）波形满足f（t）f（t）和f（t）f（t-）两个条件。
2
如图9-7所示，f（t）波形对称于纵轴，是偶函数，且移动-与原波形重叠，又是半波重
2
叠函数。
则傅里叶系数中，Bk0,A,中k为偶函数，即k=0,2,4,6,…。
傅里叶级
如图9-8所示。
f（t）波形对称于原点，是奇函数，且移动
1与原波形重叠，又是半波重
叠函数。
则傅里叶系数中，A。
0，Ak0，Bk中的k为偶数，即k=2,4,6，…。
傅里
叶级数中只含Bksinkt项的偶次谐波。
所以，这类奇函数且半波重叠波，只含正弦函
数的偶次谐波。
*2。
非对称性非正弦周期波谐波分析的简化计算
（1）非对称性非正弦周期波f（t）,可以分解为偶部fe（t）和奇部f0（t）之和。
偶部fe（t）
是对称于纵轴的偶函数，奇部f0（t）是对称于原点的奇函数。
即
e0
f（t）f（t）f（t）
fe（t）;[f（t）f（t）]
2
1
f0（t）[f（t）f（t）]
2
图9-9非对称性非正弦周期波U（t）及其偶部u"t）和奇部U°（t）波形图
然后，利用波形的对称性来简化傅里叶系数的计算。
例如，如图9-9（a）所示的非对称性非正弦周期电压波u（t），它的偶部ue（t）为如图
9-9（b）所示，是偶函数且半波重叠波，从上述波形对称性可知，它的傅里叶级数只含Ao
和A^coskt项的偶次谐波。
即
奇部u°（t）如图9-9（c）所示，它是一正弦函数，即
u0（t）1Umsint
2
故非对称性非正弦周期波u（t）的傅里叶级数展开式为
它对称于纵轴，是偶函数，傅里叶系数中Bk0，只含A0和人，傅里叶级数展开式为
UU2U111
u（t）』Ufcost一（3cos2t15cos4t35cos6tL）
图9-10偶函数u（t）波形图
今若求图9-9（a）所示非对称性非正弦周期电压波u（t）的傅里叶级数展开式，可将图
9-10u（t）波形移动T便可得到。
因此,
4
叶级数的展开式为
的移动，即可沿横轴移动，也可沿纵轴移动，以获得对称性波形为准。
（四）关于频谱的概念
f（t）A（AkcosktBksinkt）
k1
CoCksin（ktk）
k1
式中c。
A。
AkCksink
BkCkcosk
Ck.A2Bk
Akkarctg
Bk
上式就是傅里叶级数三角函数第二种形式。
当然，也可以将
Acoskt和Bksinkt合并为一余弦函数，得出第三种傅里叶级数的三角形式，即
f（t）CoCkcos（ktk）
k1
、
■%
1*
7、c
1r切
0
（a）振幅频谱
$
■
Q
申
V02
0
A
（b）相位频谱
图9-12振幅频谱图和相位频谱图
为了方便而又直观地表示一个周期信号包含有哪些谐波分量，各谐波分量所占的比重及它们相互的关系，可以作出频谱图来表示和分析。
根据上述第二种或第三种傅里叶级数三角函数形式，作出振幅频谱和相位频谱两种频谱图。
振幅频谱，是将非正弦周期函数中各次谐波振幅值Ck按角频率依次分布的图形，纵坐
标表示振幅Ck，横坐标则表示角频率k，振幅频谱图如图9-12（a）所示。
以各次谐波
的相位k为纵坐标，以角频率k为横坐标，作出相位频谱图，如图9-12（b）。
在频谱图
中，对应于某一角频率的表示振幅大小和相位的垂直横坐标的线段，称为谱线。
每条谱线的
高度表示一个谐波分量的振幅值和初相位。
周期函数的频谱具有如下的特性：
（1）频谱是由一系列不连续的谱线组成，称为不连续频谱或离散频谱。
频谱的这种性质,称为离散性。
（2）每条谱线只出现在基波角频率及其整数倍角频率k上，相邻谱线间的间隔等于基波角频率。
频谱的这种性质，称为谱波性。
（3）振幅频谱中，各条谱线的高度，随角频率的增加而减小，当角频率无限增大时，谱线的高度就无限减小，频谱逐渐收敛。
振幅频谱的这种性质，称为收敛性。
周期函数信号的频谱，在信号的分析中，具有重要的理论与实际的意义。
（五）关于非正弦周期波的直流分量与有效值
f（t）的平均值，即
1.直流分量
非正弦周期波f（t）的直流分量，就是在一个周期T时间内,
1T
A-f（t）dt
T0
（1）对称于原点的非正弦周期波，没有直流分量。
即f（t）在一个周期中，正、负半周
所包含的面积相等，上式积分为零，a0。
这类非正弦周期函数有：
奇函数波、奇半波
对称的奇谐波函数波、偶函数且奇半波对称波和奇函数且半波重叠波等。
（2）偶函数波、半波重叠偶谐波和偶函数且半波重叠波等，上式积分不为零，A0,
均有直流分量。
Ao可以通过在一个周期中正、负半周所包含面积之差来进行计算。
2•有效值
周期函数f（t）的有效值定义式为
Fj¥0f2（t）dt
将上式展开的几项积分为
-I02dtIo
T0
I2
k1
1T
Ikmsin2（ktk）dt
0
式中，Ik拐,k次谐波分量的有效值。
102IoIkmSin（ktk）dt0k1T
将上述结果代入
（1）式中，便得非正弦周期电流i的有效值为
上式导出中，应用了如下三角数组的正交性，即式
上Ik2
耳k1
sinkxdx
0
k1,2,3,L
sinkxsinqdx
0
kq,k,q
1,2,3,L
sin2kxdx
k
1,2,3,L
同理，非正弦交流电压u的有效值则为
表明：
非正弦周期量的有效值，是直流分量和各次谐波分量有效值平方和的开方。
（6）关于非正弦周期电流电路中电压和电流的计算
非正弦交流电源激励的线性电路中，电压和电流的分析，可按如下步骤进行计算。
（1）将非正弦周期激励电压或电流，应用傅里叶级数分解为直流分量（或不含有）和各
次谐波分量之和。
由于电工技术中所遇到的非正弦周期量，一般都可以展开为傅里叶级数形
式，而且傅里叶级数都是收敛的，频率越高的谐波振幅越小，因此，较高次谐波因振幅很小
而可以忽略不计。
所以，对非正弦周期函数电量进行傅里叶级数展开时，一般只取接近基波
分量的前几项，所取的项数多少，应视所要求的准确度而定。
（2）分别计算出直流分量和各次谐波分量单独作用时，电路中的电压和电流分量。
直流分量单独作用时，电路中各次谐波分量均置零，作出直流稳态电路，这时电感相当于短路，
电容相当于开路。
按直流电阻电路分析方法进行计算，求出待求支路中的电压和电流分量。
每一谐波分量单独作用时，按正弦交流电路分析的相量法进行计算。
这时对于k次谐波，
1
相量模型中，感抗是XLkkL，容抗是Xck。
最后应将分析计算所得的待求支路
kC
相量形式的电压和电流分量，变换时域正弦量的瞬时值表达式。
（3）应用叠加定理将各分量单独作用时，所计算的结果进行叠加，求它们的代数和，便求出线性电路在非正弦周期函数电源激励下所求支路的电压和电流。
应该注意的是，叠加时应按瞬时值表示式不进行。
因各次谐波的频率不同，故不能用相
量进行叠加。
（七）关于非正弦交流电路平均功率的计算
若一个二端网络，端口的非正弦周期电压和电流分别为
u（t）Uo.2UkSin（ktuk）
k1
i（t）IoVlkSin（ktik）
k1
则二端网络吸收的平均功率为
U010Uk1kcosk
k1
ukik
式中,
表明：
（1）非正弦交流电路的平均功率，等于直流分量功率和各次谐波平均功率之和。
非正弦交流电路中，不同频率的各次谐波平均功率满足叠加性，而在直流电路和单一频率多
电源正弦交流电路的有功功率不满足叠加性。
（2）非正弦交流电路中，同次谐波电压和电流形成平均功率，而不同次谐波电压和电流
不形成平均功率。
这是由于三角函数的正交性所决定的。
本章学习的重点内容是，非正弦周期波谐波分析的概念，非正弦周期量有效值的计算和非正弦交流电路中电压和电流以及平均功率的计算。
三、解题指导
9-12（a）所示仅为非正
（一）例题分析
〔例9-1〕波形对称性与所含谐波分量情况的分析。
如图
弦周期波的T的波形，试分别给出如下函数一个完整周期的波形。
4
（1）f（t）为偶函数且只含奇次谐波；
（2）f（t）为奇函数且只含偶次谐波；
图9-13例9-1波形图
解〔解题思路〕利用波形的对称性与所含谐波的关系，偶函数波形对称于纵轴；
奇函数波形对称于原点；奇谐波函数的波形必是奇半波对称，即波形移动-与原波形成
2
镜像对称；满足f（t）f（tT）的条件；偶偕波函数的波形必是半波重叠函数，即波形移
2
动T与波形重叠，满足f（t）f（tT）的条件。
根据以上波形对称性与所含偕波的关系，
22
便可在给出T波形条件下，绘出整个一周期的波形。
4
〔解题方法〕
（1）f（t）为偶函数且只含奇次谐波。
第一步，在坐标图上先作出如图11-13
（a）所示的（0:
T）区间的T波形；第二步，根据f（t）是偶函数，作出对称于纵轴
44
（0:
T）区间的T波形；第三步，根据f（t）只含奇次谐波是奇半波对称，对已作出的波
44
形移动T与横轴成镜像对称，作出整个周期的波形，如图9-13（b）所示。
2
（2）f（t）为奇函数且只含偶次谐波。
第一步，在坐标图上作出如图9-12（a）所示（0:
T）
4
区间的T周期的波形；第二步，根据f（t）是奇函数，作出对称于原点（0：
T）区间的T波
444
形；第三步，f（t）只含偶次谐波是半波重叠函数，对已作出的波形移动T，与原波形重
2
叠作出整个周期的波形，如图9-13（C）所示。
〔例9-2丨非正弦周期电流电路的计算。
如图9-14所示电路，u（t）45180sin10t
60sin30t30sin50tV。
求电流i（t）及其有效值I和电路吸收的平均功率P。
解〔解题思路〕
（1）首先，运用叠加定理，分别
计算出输入电压各谐波分量单独作用时的电流分量。
然
后，在时域进行叠加，求出输入电流i（t）；
（2）按非正弦函数由谐波分量计算有效值的公式，计算出i（t）的有
效值I;（3）按相同次数谐波电压和电流及其相位差计图9-14
算出各次谐波的平均功率，最后叠加得出电路吸收的平均功率。
〔解题方法〕
（1）计算输入电流i（t）
①当直流分量电压单独作用时，电路的导纳为
11
13
Y0
S
310
30
故输入直流分量电流为
1。
Y0U。
13
4519.5A
30
②基波电压分量单独作用时，电路导纳为
0.10.12j0.16j0.010.22j0.15
0.266183S
故基波电流为
AW啊
=0.266ZdA5xl80ZIE
-47.^/-lELTA
i1（t）47.88sin（10t18.3）A
3三次谐波电压单独作用时，电路的导纳为
+JQ.03
=0,18+/001
=01S6Z1XS.
故三次谐波电流为
乃訂〔㈣心
=iosi/3.r
i3（A）10.81sin（30t3.2）A
4五次谐波电压单独作用时，电路的导纳为
I，FCpoOCT
=nir?
/21°y3n/0^
=3.39/211A
5进行叠加求出端口输入电流为
i（t）19.547.88sin（10t18.3）10.81sin（30t3.2）3.39sin（50121）A
⑵计算电流i（t）的有效值为
38.85A
⑶计算电路吸收的平均功率
PU010U1I1cos1U313cos3U5I5COS5
11
4519.5（18047.88）cos18.3（6010.81）
1
cos（3.2）（303.39）cos（21）
877.54093.74323.8147.15
5342.2W
（2）部分练习题解答
练习题11-2图9-1（a）所示方波，如果把纵轴向右平移至t0.5s处，波形如图9-5所示。
试利用图9-2，写出该方波的傅里叶级数。
解利用图9-2，可写出图9-1（a）所示方波的傅里叶级数为
周期T
2s，故t
0.5
s处是
，以（t
2
-）代入上式便得出图
9-5所示方波的傅里叶级数
为
f（t）
4
sin
1tsin3
t^sin5
tL
3
5
4
sin（t
1
2）3sin3（t-）
-sin5
5
（t
i）L
4
sin
（t90o）
1
sin（3t
3
1
270）-
5
sin
（5t90o）L
4
cos
tcos3
t-cos5t
L
现将图9-1（a）所示方波的纵坐标向右平移至
t0.5s处，得出如图9-5所示方波。
因
练习题9-5试说明图9-13所示三角波原点分别选在a,b,c三点所含谐波成分有何不同？
解
（1）三角波原点选在a点，波形对称于纵轴，是偶函数，则Bk0；且波形移
动T，与原波形成镜像，又是奇半波对称，只含奇次谐波。
因此，三角波是Acoskt
2
项的奇次谐波。
（2）三角波原点选在b点，波形不对称于纵轴，也不对称于原点，不是偶函数也不是奇函数。
而波形移动T，与原波形成镜像对称，故它是奇半波对称，这时三角波是含
2
A^coskt和Bksinkt的奇次谐波，即k=1,3,5,…。
（3）三角波原点选在C点，波形对称于原点，是奇函数，则Ak0；且波形移动一,
2
与原波形成镜像对称，又是奇半波对称函数，只含奇次谐波。
因此，三角波是只含
Bksinkt项的奇次谐波。
值；
（2）iab的有效值；（3）平均功率P。
11
P-（10050）cos45-（30
22
（3）部分习题解答
9.11
5.方波电压的峰谷值为20V，若滤去其三次谐波。
试绘出波形图，问所得波形的峰谷值是多少？
解如图9-1（a）所示方波电压，峰谷值为20V，它的傅里叶级数为
401
u（t）sinktV
k1k
三次谐波电压为
40
U3（t）sin3t4.24sin3tV
3
滤去U3（t）后，电压波形表达式为
u（t）
401一
u（t）u3（t）sinkt4.24sin3t作出波形图，如图9-15所示。
从
kik
图中可见，
u（t）的峰谷值为28.28V。
9.12.电路图如图题9-4所示，Usi（t）costV,us2（t）cos2tV。
（1）计算电路中的电流i（t）；
（2）电流i（t）的有效值是多少；
（3）计算电阻消耗的平均功率；
（4）计算Usi（t）单独作用时电阻消耗的平均功率；
（5）计算Us2（t）单独作用时电阻消耗的平均功率；
（6）由（3），（4）,（5）的计算结果，能得出什么结论？
解
（1）计算电路中的电流i（t）
①当Usi（t）单独作用时，irad/s，ii（t）的振幅相量为
11=——=一^胡力-»1网
3+J213
=0277/^31771A
②当Us2（t）单独作用时，2rad/s，i2（t）的振幅相量为
i2（t）0.2cos（2t53.13）A
③解出
i（
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