七年级数学专题四.docx
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七年级数学专题四
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专题四 规律探索题
类型一数式规律探索
（2017·安徽）【阅读理解】我们知道，1＋2＋3＋…＋n＝
，那么12＋22＋32＋…＋n2结果等于多少呢？
在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2＋2，即22，…；第n行n个圆圈中数的和为n＋n＋…＋nn个n，即n2.这样，该三角形数阵中共有
个圆圈，所有圆圈中数的和为12＋22＋32＋…＋n2.
图1
图2
【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数[如第（n－1）行的第一个圆圈中的数分别为n－1，2，n]，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12＋22＋32＋…＋n2）＝________，因此，12＋22＋32＋…＋n2＝________．
【解决问题】根据以上信息发现，计算：
的结果为________．
【分析】第一空只需将n－1，2，n相加即可，∵每个三角形数阵中共有
个圆圈，而每个位置上三个圆圈中数的和均为2n＋1，∴三个三角形数阵中所有圆圈中数的总和为（2n＋1）·
，从而第二空，第三、四空易求．
【自主解答】
【方法点拨】解决规律探究型问题的一般思路是通过对所给的具体结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现规律，并猜想出一般性结论，其中关于等式的规律探索：
用含字母的代数式进行归纳，注意字母往往还具有反映等式序号的作用．
1．（2019·合肥二模）观察下列等式：
第1个等式：
＝3，第2个等式：
＝6，第3个等式：
＝9，第4个等式：
＝12，按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：
________；
（2）写出你猜想的第n个等式：
________（用含n的等式表示），并证明．
2．（2019·淮北市濉溪县二模）观察下列式子：
0×2＋1＝12……①
1×3＋1＝22……②
2×4＋1＝32……③
3×5＋1＝42……④
……
（1）第⑤个式子是________，第⑩个式子是________；
（2）请用含n（n为正整数）的式子表示上述规律，并证明．
3．（2019·合肥包河区一模）杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，如图是杨辉在公元1261年的著作《详解九章算法》里面的一张图，即“杨辉三角”，该图中有很多规律，请仔细观察，解答下列问题：
（1）图中给出了七行数字，根据构成规律，第9行中从左边数第4个数是________；
（2）第n行中从左边数第2个数为________；第n行中所有数字之和为________．
4．（2019·安徽）观察以下等式：
第1个等式：
＝
＋
，
第2个等式：
＝
＋
，
第3个等式：
＝
＋
，
第4个等式：
＝
＋
，
第5个等式：
＝
＋
，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：
________；
（2）写出你猜想的第n个等式：
________（用含n的等式表示），并证明．
5．（2019·全椒县一模）已知下列等式：
①（3＋1）2－（3－1）2＝4×3×1；
②（5＋3）2－（5－3）2＝4×5×3；
③（7＋5）2－（7－5）2＝4×7×5；
④（9＋7）2－（9－7）2＝4×9×7.
……
（1）请仔细观察，写出第5个式子；
（2）写出第n个式子，并运用所学知识说明第n个等式成立．
类型二图形规律探索
（2016·安徽）
（1）观察下列图形与等式的关系，并填空：
图1
（2）观察下图，根据
（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：
图2
1＋3＋5＋…＋（2n－1）＋（________）＋（2n－1）＋…＋5＋3＋1＝________.
【分析】
（1）第一项和第二项的结果不难填空；
（2）先判断图中第（n＋1）行的黑球的个数，然后运用倒序相加法求出1＋3＋…＋（2n－1）＋（2n＋1）的和即可完成填空．
【自主解答】
【方法点拨】对于图形规律探索题常按以下步骤操作：
①写序号：
记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；②数图形的个数：
在图形数量变化时，要标记出每组图形表示的个数；③寻找图形数量与序号n的关系：
在寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形表示的个数与前一个图形表示的个数进行比对，通过作差（商）来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出具体某个图形的个数；④验证：
代入序号验证所归纳的式子是否正确．
1．（2019·甘肃改编）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，…….
（1）第5幅图中有________个菱形，第n幅图中有________个菱形；
（2）如果第n幅图中有2019个菱形，求n.
2．（2018·黔南州）“分块计数法”：
对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：
图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，…….按此规律，求图10、图n有多少个点．
我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点的个数是6×1＝6个；图2中黑点的个数是6×2＝12个；图3中黑点的个数是6×3＝18个；……所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是________、________．
请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：
（1）第5个点阵中有________个圆圈；第n个点阵中有____________________个圆圈．
（2）小圆圈的个数会等于271吗？
如果会，请求出是第几个点阵．
3．（2019·瑶海区一模）下列每一幅图都是由白色小正方形和黑色小正方形组成．
（1）第10幅图中有________个白色小正方形，________个黑色小正方形；
（2）第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于________（用n表示，n是正整数）．
4．（2019·合肥市长丰县模拟）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形．
第①个图形中有1个正方形；
第②个图形中有1＋3＝4个小正方形；
第③个图形中有1＋3＋5＝9个小正方形；
第④个图形中有________个小正方形（直接写出结果）；
（1）根据上面的发现我们可以猜想：
1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝________（用含n的代数式表示）；
（2）请根据你的发现计算：
①1＋3＋5＋7＋…＋99＝________；
②101＋103＋105＋…＋199＝________．
5．（2019·芜湖县二模）如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）：
（1）填写下表：
正方形ABCD内点的个数
1
2
3
4
…
n
分割成的三角形的个数
4
6
__
__
…
__
（2）原正方形能否被分割成2016个三角形？
若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点；若不能，请说明理由．
6．（2019·芜湖二模）某广场用如图1所示的同一种地砖拼图案，第一次拼成图案如图2所示，共用地砖4块；第二次拼成的图案如图3所示，共用地砖4＋2×4＝12块；第三次拼成的图案如图4所示，共用地砖4＋2×4＋2×6＝24块，……
（1）直接写出第四次拼成的图案共用地砖________块；
（2）按照这样的规律进行下去，求第n次拼成的图案共用地砖的数量（先用含n的式子表示，后化简）．
7．（2019·南陵县一模）【问题背景】在△ABC内部，有点P1，可构成3个不重叠的小三角形（如图1）．
【探究发现】当△ABC内点的个数增加时（如图1～3），探究三角形内互不重叠的小三角形的个数情况．
（1）填表：
三角形内点的个数n
1
2
3
4
…
不重叠三角形个数S
__
__
__
__
…
（2）当△ABC内部有n个点（P1，P2，…，Pn）时，三角形内不重叠的小三角形的个数S＝2019，求n的值．
8．（2019·安徽模拟）如图，是由边长相等的小正方形组成的几何图形，Sn（n≥1）表示第n个图形中小正方形的个数．
（1）观察下列图形与等式的关系，并填空：
图1
图2
（2）根据
（1）中的两个结论填空：
S12＝________，Sn＝________（用含有n的代数式表示）．
参考答案
【专题类型突破】
类型一
【例1】[规律探究]每个位置上三个圆圈中数的和均为n－1＋2＋n＝2n＋1，
∵每个三角形数阵中共有1＋2＋3＋…＋n＝
个圆圈，
∴三个空依次填2n＋1；
；
.
[解决问题] 1345
跟踪训练
1．解：
（1）
＝15
（2）
＝3n
证明：
等式左边＝
＝
＝
＝3n＝等式右边．
2．解：
（1）4×6＋1＝52 9×11＋1＝102
（2）第n个式子为（n－1）（n＋1）＋1＝n2，
证明：
∵左边＝n2－1＋1＝n2，
右边＝n2，
∴左边＝右边，
即（n－1）（n＋1）＋1＝n2.
3．解：
（1）56
（2）n－1 2n－1
[解法提示]设第n行第2个数为an（n≥2，且n为正整数），观察发现规律：
∵a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝4，a6＝5,∴an＝n－1；∵第1行数字之和1＝20，第2行数字之和2＝21，第3行数字之和4＝22，第4行数字之和8＝23，∴第n行数字之和为2n－1.
4.解：
（1）第6个等式：
＝
＋
（2）
＝
＋
证明：
∵右边＝
＋
＝
＝
＝左边，∴等式成立．
5．解：
（1）第5个式子为：
（11＋9）2－（11－9）2＝4×11×9.
（2）第n个式子：
[（2n＋1）＋（2n－1）]2－[（2n＋1）－（2n－1）]2＝4（2n＋1）（2n－1），
证明：
左边＝（4n）2－22＝4[（2n）2－12]＝4（2n＋1）（2n－1）＝右边，等式成立．
类型二
【例2】
（1）42 n2
（2）2n＋1 2n2＋2n＋1
[解法提示]由
（1）可知题图中第（n＋1）行的黑球个数为2n＋1；1＋3＋5＋…＋（2n－1）＋（2n＋1）＝（n＋1）2＝n2＋2n＋1，1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2，n2＋2n＋1＋n2＝2n2＋2n＋1.
跟踪训练
1．解：
（1）9 （2n－1）
（2）2n－1＝2019，n＝1010.
2．解：
60 6n
（1）61 3n2－3n＋1
（2）依题意得3n2－3n＋1＝271，
解得n1＝10，n2＝－9（不合题意，舍去）．
所以小圆圈的个数会等于271，是第10个点阵．
3．解：
（1）100 40
（2）n2＋4n
[解法提示]第1个图形：
白色小正方形1个，黑色小正方形4×1＝4个，共有1＋4＝5个；
第2个图形：
白色小正方形2×2＝4个，黑色小正方形4×2＝8个，共有4＋8＝12个；
第3个图形：
白色小正方形3×3＝9个，黑色小正方形4×3＝12个，共有9＋12＝21个；
……
第n个图形：
白色小正方形n2个，黑色小正方形4n个，共有n2＋4n个．
4．解：
25
（1）n2
（2）①2500 ②7500
5．解：
（1）8 10 2（n＋1）
（2）能
设点数为n，
则2（n＋1）＝2016，
解得n＝1007.
答：
原正方形能被分割成2016个三角形，此时正方形ABCD内部有1007个点．
6．解：
（1）40
（2）第一次拼成如图1所示的图案共用4块地砖，4＝2×（1×2），
第二拼成如图2所示的图案共用12块地砖，12＝2×（2×3），
第三次拼成如图3所示的图案共用24块地砖，24＝2×（3×4），
第四次拼成如图4所示的图案共用40块地砖，40＝2×（4×5），
......
第n次拼成的图案共用2×n（n＋1）＝2（n2＋n）块地砖．
7．解：
（1）3 5 7 9
（2）图1中，当△ABC内有1个点时，可分割成3个互不重叠的小三角形；
图2中，当△ABC内有2个点时，可分割成5个互不重叠的小三角形；
图3中，当△ABC内有3个点时，可分割成7个互不重叠的小三角形；
当△ABC内有4个点时，可分割成9个互不重叠的小三角形；
......
根据以上规律，当△ABC内有n个点（P1，P2，…，Pn）时，可以把△ABC分割成S＝2n＋1个互不重叠的小三角形，
当S＝2019时，2n＋1＝2019，
∴n＝1009.
8．解：
（1）n n2
（2）78
[解法提示]由Sn－Sn－1＝n，Sn＋Sn－1＝n2，得
S12－S11＝12，S12＋S11＝122，
2S12＝12＋122＝156，
∴S12＝78.
∵Sn－Sn－1＝n，Sn＋Sn－1＝n2，
∴2Sn＝n2＋n，
∴Sn＝
.
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