高等数学教学课件作者3年专科教学课件作者第三版盛祥耀第一节导数的概念.ppt

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第二章导数与微分,第一节导数的概念,一、瞬时速度曲线的切线斜率,二、导数的定义,三、导数的几何意义,五、导函数,六、可导与连续的关系,四、导数的物理意义,1.变速直线运动的瞬时速度,如果物体作直线运动，,在直线上选取坐标系，,该物体所处的位置坐标s是时间t的函数，记为,s=s（t），,则从时刻t0到t0+t的时间间隔内它的平均速度为,一、瞬时速度曲线的切线斜率,叫做物体在t0时刻的瞬时速度，简称速度，,在匀速运动中，,这个比值是常量，,但在变速运动中，它不仅与t0有关，,而且与t也有关，,很小时，,与在t0时刻的速度相近似.,如果当t趋于0时，,平均速度的极限存在，,则将这个极限值,即,当t,记作v（t0），,点P是曲线L上的动点，,2.曲线切线的斜率,定义1设点P0是曲线L上的一个定点，,T,P0,P,x0,x0+x,N,当点P沿曲线L趋向于点P0时，,如果割线PP0的极限位置P0T存在，,则称直线P0T为曲线L在点P0处的切线.,设曲线方程为y=f（x）.,在点P0（x0,y0）处的附近取一点P（x0+x,y0+y）.,那么割线P0P的斜率为,x,y,y=f（x）,如果当点P沿曲线趋向于点P0时，割线P0P的极限位置存在，,即点P0处的切线存在，,此刻x0，,割线斜率tan趋向切线P0T的斜率tan，,即,切线定义,定义2设函数y=f（x）在点x0的一个邻域内有定义.,在x0处给x以增量x（x0+x仍在上述邻域内），,函数y相应地有增量,y=f（x0+x）-f（x0），,二、导数的定义,则称此极限值为函数y=f（x）在点x0处的导数.,即,此时也称函数f（x）在点x0处可导.,有时为了突出自变量x，又叫函数f（x）对x的导数，记为.,如果上述极限不存在，则称f（x）在x0处不可导.,例1求函数f（x）=x2在x0=1处的导数，即f

（1）.,解第一步求y：

y=f（1+x）-f

（1）=（1+x）2-12,=2x+（x）2.,第三步求极限：

所以f

（1）=2.,第二步求：

函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）处的切线的斜率,即,tan=f（x0）.,y=f（x）,x0,P,三、导数的几何意义,法线方程为,其中y0=f（x0）.,y-y0=f（x0）（x-x0）.,由此可知曲线y=f（x）上点P0处的切线方程为,例2求曲线y=x2在点（1,1）处的切线和法线方程.,解从例1知（x2）|x=1=2,即点（1,1）处的切线斜率为2，,所以,切线方程为,y1=2（x-1）.,即,y=2x-1.,法线方程为,即,从导数的几何意义可知：

导数的绝对值|f（x0）|越小，曲线在该点附近越平缓.,导数的绝对值|f（x0）|越大，曲线在该点附近越陡；,四、导数的物理意义,对于不同的物理量有着不同的物理意义.,例如变速直线运动路程s=s（t）的导数，就是速度，即s（t0）=v（t0）.,我们也常说路程函数s（t）对时间的导数就是速度.,例如变速直线运动速度v=v（t）的导数，就是加速度，即v（t0）=a（t0），,即速度函数v（t）对时间的导数就是加速度.,例3求函数y=x2在任意点x0（,）处的导数.,解,y=f（x0+x）-f（x0）=（x0+x）2-x02,=2x0x+（x）2.,五、导函数,第二步求：

求法与例1一样.,第一步求y：

第三步取极限：

即,有了上式，求具体某一点，如x0=1处导数，就很容易了，只要将x0=1代入即得,它的计算公式是：

例3表明，给定了x0就对应有函数f（x）=x2的导数值,这样就形成了一个新的函数，,f（x）=x2的导函数，它的表达式就是,（x2）=2x.,一般地，函数f（x）的导函数记作f（x），,叫做函数,注意：

计算极限过程中x是不变的.,类似例3，我们可以得xn（n为整数）的导函数，,当n为任意实数时，上式仍成立，即,（xn）=nxn-1.,（x）=x-1.,例4求f（x）=sinx的导函数（x（，）.,解,即,（sinx）=cosx.,（cosx）=-sinx.,类似可得,例5求f（x）=lnx（x（0,）的导函数.,解,即,类似可得,解,例6求f（x）=ex（x（-,）的导函数.,即,（ex）=ex.,类似可得,（ax）=axlna.,例7问曲线y=lnx上何处的切线平行直线y=x+1？

解设点（x0,y0）处的切线平行直线y=x+1，,根据导数的几何意义及导函数与导数的关系，可知,即x0=1，代入y=lnx中，得y0=0，,所以曲线在点（1,0）处的切线平行直线y=x+1.,存在，则称此极限值为f（x）在点x0处的左导数，记作f-（x0）；,定义3,则称此极限值为f（x）在点x0处的右导数，记作f+（x0）.,显然，f（x）在x0处可导的充要条件是f-（x0）及f+（x0）存在且相等.,定义4如果函数f（x）在区间I上每一点可导，则称f（x）在区间I上可导.,如果,同样，,如果I是闭区间a,b，则端点处可导是指f+（a）、f-（b）存在.,定理如果函数y=f（x）在点x0处可导,则f（x）在点x0处连续，其逆不真.,证,其中y=f（x0+x）-f（x0），,所以,六、可导与连续的关系,即函数f（x）在点x0处连续.,但其逆不真，即函数f（x）在点x0处连续，,而函数f（x）在点x0处不一定可导.,例8讨论函数y=|x|在点x0=0处的连续性与可导性.,解y=f（0+x）-f（0）,=|0+x|-|0|,=|x|，,即f（x）=|x|在x0=0处连续，,存在，,在x0=0处左、右导数不相等，所以在x=0处函数y=|x|不可导.,因为,在x=1处的连续性与可导性.,解先求在x=1时的y.,当x0时，,y=f（1+x）-f

（1）,=（1+x）2+（1+x）-2,=3x+（x）2，,当x0时，,y=f（1+x）-f

（1）=2（1+x）3-2,=6x+6（x）2+2（x）3，,=6+6x+2（x）2.,从而知,因此,所以函数在x=1处连续，但不可导.,容易算出,又,