教师4专题六专题八概率与统计.docx

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教师4专题六专题八概率与统计

第1讲　概率与统计的基本问题

高考定位　1.对于随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归直线方程、独立性检验、正态分布的考查几乎每年都有一道选择或填空题，属于简单题；2.对于排列组合、古典概型、几何概型的考查也会以选择或填空的形式命题，属于中档以下题目.

真题感悟

1.（2016·山东卷）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：

小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（　　）

A.56B.60

C.120D.140

解析　设所求人数为N，则N＝2.5×（0.16＋0.08＋0.04）×200＝140，故选D.

答案　D

2.（2016·全国Ⅰ卷）某公司的班车在7：

30，8：

00，8：

30发车，小明在7：

50至8：

30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（　　）

A.B.

C.D.

解析　如图所示，画出时间轴：

小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝，故选B.

答案　B

3.（2015·福建卷）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

收入x（万元）

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9

支出y（万元）

6.2

7.5

8.0

8.5

9.8

根据上表可得回归直线方程

＝

x＋

，其中

＝0.76，

＝y－

x.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为（　　）

A.11.4万元B.11.8万元

C.12.0万元D.12.2万元

解析　回归直线一定过样本点中心（10，8），∵

＝0.76，∴

＝0.4，由

＝0.76x＋0.4得当x＝15万元时，

＝11.8万元.故选B.

答案　B

4.（2015·山东卷）已知某批零件的长度误差（单位：

毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（附：

若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ<ξ<μ＋σ）＝68.26%，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）＝95.44%.）（　　）

A.4.56%B.13.59%

C.27.18%D.31.74%

解析　由题意，知P（3＜ξ＜6）＝

＝＝13.59%.

答案　B

考点整合

1.统计

（1）系统抽样：

如果遇到不是整数的情况，可以先从总体中随机剔除几个个体，使得总体中剩余的个体能被样本容量整除.

（2）在频率分布直方图中，小长方形的面积＝频率，各小长方形的面积的总和等于1.

（3）方差与标准差

s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]，

s＝.

（4）回归直线

＝

x＋

经过样本点的中心点（，），若x取某一个值代入回归直线方程

＝

x＋

中，可求出y的估计值.

（5）独立性检验

对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y，其样本频数列联表是：

y1

y2

总计

x1

a

b

a＋b

x2

c

d

c＋d

总计

a＋c

b＋d

n

则K2＝（其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量）.

2.计数原理

（1）排列与组合：

A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝，

C＝＝.

（2）二项式定理：

①二项式定理：

（a＋b）n＝Canb0＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Ca0bn（r＝0，1，2，…，n）.

②二项展开式的通项

Tr＋1＝Can－rbr，r＝0，1，2，…，n，其中C（r＝0，1，…，n）叫做二项式系数.

3.概率

（1）概率的取值范围是[0，1]，即0≤P（A）≤1，必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0.

（2）古典概型

P（A）＝.

（3）几何概型

P（A）＝.

热点一　统计与统计案例

[微题型1]　用样本估计总体

【例1－1】

（1）空气污染指数划分为0～50（优），51～100（良），101～150（轻度污染），151～200（中度污染），201～300（重度污染）和大于300（严重污染）六档，对应于空气质量的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显.下面图表统计了北京市2016年元旦前后两周（2015—12—24至2016—01—06）实时空气污染指数和2015年6月3日11个监测点数据，两图表空气污染指数中位数之差的绝对值为________.

（2）从某中学高一年级中随机抽取100名同学，将他们的成绩（单位：

分）数据绘制成频率分布直方图（如图）.则这100名学生成绩的平均数，中位数分别为________.

解析　

（1）将图表1所有数据从小到大排列：

105，107，117，190，241，273，319，369，415，437，441，445，479，500，共14个数，中间两数为319，369，中位数为（319＋369）÷2＝344；图表2共11个数，中位数为262.两图表空气质量指数中位数之差的绝对值为|344－262|＝82.

（2）由图可知（a＋a－0.005）×10＝1－（0.010＋0.015＋0.030）×10，解得a＝0.025，则x＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125.中位数在120～130之间，设为x，则0.01×10＋0.03×10＋0.025×（x－120）＝0.5，解得x＝124.

答案　

（1）82　

（2）125，124

探究提高　反映样本数据分布的主要方式：

频率分布表、频率分布直方图、茎叶图.关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的平均数、众数和中位数、方差等.

[微题型2]　对回归直线方程的考查

【例1－2】（2015·全国Ⅰ卷）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：

千元）对年销售量y（单位：

t）和年利润z（单位：

千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i＝1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中wi＝，

＝i.

（1）根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？

（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据

（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据

（2）的结果回答下列问题：

①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：

对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

解　

（1）由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.

（2）令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于

563－68×6.8＝100.6，

所以y关于w的线性回归方程为

＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为

＝100.6＋68.

（3）①由

（2）知，当x＝49时，年销售量y的预报值

＝100.6＋68＝576.6，

年利润z的预报值

＝576.6×0.2－49＝66.32.

②根据

（2）的结果知，年利润z的预报值

＝0.2（100.6＋68）－x＝－x＋13.6＋20.12.

所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，

取得最大值.

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.

探究提高　若x，y为线性相关，可直接求其线性回归方程；若x，y为非线性相关，可通过换元先建立线性回归方程，然后再转化为非线性回归方程.

[微题型3]　对独立性检验的考查

【例1－3】某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表：

女

男

总计

喜爱

40

20

60

不喜爱

20

30

50

总计

60

50

110

试根据样本估计总体的思想，估计约有________的把握认为“喜爱该节目与否和性别有关”.

参考附表：

P（K2≥k0）

0.050

0.010

0.001

k0

3.841

6.635

10.828

（参考公式：

K2＝，其中

n＝a＋b＋c＋d）

解析　假设喜爱该节目和性别无关，分析列联表中数据，可得K2的一个观测值k＝≈7.822＞6.635，所以有99%的把握认为“喜爱《开门大吉》节目与否和性别有关”.

答案　99%

探究提高　独立性检验的具体步骤是：

第一步，根据题意确定临界值并作无关假设；第二步，找相关数据，列出2×2列联表；第三步，由公式K2＝（其中n＝a＋b＋c＋d）计算出K2的观测值；第四步，将K2的观测值与临界值进行比较，进而作出推断.

【训练1】

（1）高考前夕，摸底考试后随机抽取甲、乙两班各10名学生的数学成绩，绘成茎叶图如图所示.

记甲、乙两班的平均成绩分别是

，

，中位数分别为m甲，m乙，则（　　）

（2）（2017·长安五校联考）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（　　）

分数

5

4

3

2

1

人数

20

10

30

30

10

A.B.3

C.D.

解析　

（1）甲班10名学生的数学成绩的平均数为

＝＝77.1，

乙班10名学生的数学成绩的平均数为

＝＝79.7，

所以

＜

.

中位数分别为m甲＝＝78.5，m乙＝＝76，

所以m甲＞m乙.

（2）这组数据的平均数是：

＝3，方差是：

[20×（5－3）2＋10×（4－3）2＋30×（3－3）2＋30×（2－3）2＋10×（1－3）2]＝，则这100人成绩的标准差为＝.

答案　

（1）A　

（2）C

热点二　排列组合与概率

[微题型1]　排列、组合问题

【例2－1】

（1）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班级，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班级，则不同的分法种数为（　　）

A.18B.24

C.30D.36

（2）某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（　　）

A.72B.120

C.144D.168

解析　

（1）法一　如丙、丁分到同一个班级，则方法数就是三个元素的一个全排列，即A；若丙分到甲或乙所在的班级，则丁只能独自一个班级，方法数是2A；同理，若丁分到甲或乙所在的班级，则丙独自一个班级，方法数是2A.根据分类加法计数原理，得总的方法数是5A＝30.

法二　总的方法数是CA＝36，甲、乙被分到同一个班级的方法数是A＝6，故甲、乙不分到同一个班级的方法数是36－6＝30.

（2）先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：

“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36（种）安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48（种）安排方法，故共有36＋36＋48＝120（种）安排方法.

答案　

（1）C　

（2）B

探究提高　解排列、组合的应用题，通常有以下途径：

（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.

（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.

[微题型2]　考查二项式定理

【例2－2】

（1）（2015·全国Ⅰ卷）（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　）

A.10B.20

C.30D.60

（2）若（x2＋1）（x－2）11＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a13（x－1）13，则a1＋a2＋…＋a13＝________.

解析　

（1）Tk＋1＝C（x2＋x）5－kyk，∴k＝2.

∴C（x2＋x）3y2的第r＋1项为CCx2（3－r）xry2，

∴2（3－r）＋r＝5，解得r＝1，

∴x5y2的系数为CC＝30.

（2）记f（x）＝（x2＋1）（x－2）11＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a13（x－1）13，

则f

（1）＝a0＝（12＋1）（1－2）11＝－2.

而f

（2）＝（22＋1）（2－2）11＝a0＋a1＋a2＋…＋a13，

即a0＋a1＋a2＋…＋a13＝0.

所以a1＋a2＋…＋a13＝2.

答案　

（1）C　

（2）2

探究提高　

（1）在应用通项公式时，要注意以下几点：

①它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；

②对二项式（a－b）n展开式的通项公式要特别注意符号问题；

③（x＋y）n展开式中的每一项相当于从n个因式（x＋y）中每个因式选择x或y组成的.

（2）在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法.要根据二项展开式的结构特征灵活赋值.

[微题型3]　古典概型与几何概型

【例2－3】

（1）（2016·深圳一调）4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（　　）

A.B.

C.D.

（2）（2016·山东卷）在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆（x－5）2＋y2＝9相交”发生的概率为________.

解析　

（1）4名同学参加3项不同的活动共有34＝81种，其中每项活动至少有一名同学参加的有：

CA＝36种.由古典概型知所求概率为P＝＝.

（2）由已知得，圆心（5，0）到直线y＝kx的距离小于半径，∴<3，解得－

答案　

（1）A　

（2）

探究提高　

（1）解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识.

（2）当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解.

【训练2】

（1）（a＋x）（1＋x）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________.

（2）（2016·全国Ⅱ卷）从区间[0，1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（　　）

A.B.

C.D.

解析　

（1）设（a＋x）（1＋x）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，

令x＝1，得16（a＋1）＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①

令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②

①－②，得16（a＋1）＝2（a1＋a3＋a5），

即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8（a＋1），

所以8（a＋1）＝32，解得a＝3.

（2）由题意得：

（xi，yi）（i＝1，2，…，n）在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知＝，

∴π＝，故选C.

答案　

（1）3　

（2）C

1.用样本估计总体

（1）在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.

（2）众数、中位数及平均数的异同：

众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量.

（3）当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布.

利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时易出错，应注意区分这三者，在频率分布直方图中：

①中位数：

在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值.

②平均数：

平均数为频率分布直方图的“重心”，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.

③众数：

在频率分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标.

2.求解排列、组合问题常用的解题方法

（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；

（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.

3.通项Tr＋1＝Can－rbr是指（a＋b）n的展开式中的第r＋1项，而非第r项，其中n∈N*，r＝0，1，…，n，且r≤n，若n，r一旦确定，则展开式中的指定项也就确定，通常用来求二项展开式中任意指定的项或系数，如常数项或xn的系数.

4.古典概型中基本事件数的探求方法

（1）列举法.

（2）树状图法：

适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.

（3）列表法：

适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.

（4）排列组合法：

适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

一、选择题

1.（2016·全国Ⅱ卷）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（　　）

A.24B.18

C.12D.9

解析　从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×3＝18种，故选B.

答案　B

2.下列说法：

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；

②设有一个回归方程

＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；

③回归方程

＝

x＋

必过（x，y）；

④有一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系.

其中错误的个数是（　　）

P（K2≥k0）

0.050

0.010

0.001

k0

3.841

6.635

10.828

A.0B.1

C.2D.3

解析　一组数据都加上或减去同一个常数，数据的平均数有变化，方差不变（方差是反映数据的波动程度的量），①正确；回归方程中x的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程y^＝3－5x，当x增加一个单位时，y平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程

＝

x＋

必过点（x，y），③正确；因为K2＝13.079>10.828，故有99.9%的把握确认这两个变量有关系，④正确.故选B.

答案　B

3.（2014·新课标全国Ⅰ卷）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（　　）

A.B.

C.D.

解析　由题意知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日也有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P＝＝＝.

答案　D

4.

在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（　　）

附：

若X～N（μ，σ2），则P（μ－σ＜X≤μ＋σ）＝0.6826，

P（μ－2σ＜X≤μ＋2σ）＝0.9544.

A.2386B.2718

C.3413D.4772

解析　由X～N（0，1）知，P（－1＜X≤1）＝0.6826，

∴P（0≤X≤1）＝×0.6826＝0.3413，故S≈0.3413.

∴落在阴影部分中点的个数x估计值为＝（古典概型），

∴x＝10000×0.3413＝3413，故选C.

答案　C

5.春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：

做不到“光盘”

能做到“光盘”

男

45

10

女

30

15

附：

P（K2≥k0）

0.10

0.05

0.025

k0

2.706

3.841

5.024

K2＝

参照附表，得到的正确结论是（　　）

A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

B.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

C.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

D.有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

解析　由公式可计算K2的观测值

k＝

＝≈3.03＞2.706，

所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选C.

答案　C

二、填空题

6.（2017·广州模拟）从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：

cm）数据绘制成频率分布直方图如图所示.由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________.

解析　由所有小矩形的面积之和为1，得（0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035）×10＝1，得a＝0.030.设身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组中分别抽取的人数为n1，n2，n3，则n1∶n2∶n3＝0.3∶0.2∶0.1＝3∶2∶1，又n1＋n2＋n3＝18，所以n3＝18×＝3.

答案　0.030　3

7.设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）＝x2＋2x＋ξ不存在零点的概率是________.

解析　函数f（x）＝x2＋2x＋ξ不存在零点，则Δ＝4－4ξ＜0，即ξ＞1.因为ξ～N（1，σ2），所以该正态曲线的对称轴是x＝1，根据正态曲线的性质得P（ξ＞1）＝.

答案　

8.（2016·江苏卷）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________.

解析　x＝＝5.1，则方差s2＝[（4.7－5.1）2＋（4.8－5.1）2＋（5.1－5.1）2＋（5.4－5.1）2