中国古代数学问题.docx
《中国古代数学问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中国古代数学问题.docx(15页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
中国古代数学问题
一板凳鏊子问题
板凳鏊子三十三,
一百条腿都朝天,
问几个板凳几个鏊子?
板凳和鏊子(烙饼用的,有三条腿;板凳,四条腿)一共三十三个。
问几个板凳几个鏊子?
二隔墙分银
隔墙听得客分银,
不知人数不知银。
七两分之多四两,
九两分之少半两。
问多少银子多少人?
(古时16两1斤)
三一百馒头一百僧
我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题:
一百馒头一百僧,
大僧三个更无争,
小僧三人分一个,
大小和尚各几丁?
译成白话文,其意思是:
有100个和尚分100只馒头,正好分完。
如果大和尚一人分3只,小和尚3人分一只,试问大小和尚各有几人?
方法一,用方程
设大和尚有x人,则小和尚有(100-x)人,根据题意列得方程:
3x+1/3(100-x)=100
解方程得:
x=25
小和尚:
100-25=75人
方法二,鸡兔同笼法:
(1)假设100人全是大和尚,应吃馒头多少个?
3×100=300(个).
(2)这样多吃了几个呢?
300-100=200(个).
(3)为什么多吃了200个呢?
这是因为把小和尚当成大和尚。
那么把小和尚当成大和尚时,每个小和尚多算了几个馒头?
3-1/3=8/3
(4)每个小和尚多算了8/3个馒头,一共多算了200个,所以小和尚有:
200÷8/3=75(人)
大和尚:
100-75=25(人)
方法三,分组法:
由于大和尚一人分3只馒头,小和尚3人分一只馒头。
我们可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组,这样每组4个和尚刚好分4个馒头,那么100个和尚总共分为100÷(3+1)=25组,因为每组有1个大和尚,所以有25个大和尚;又因为每组有3个小和尚,所以有25×3=75个小和尚这是《直指算法统宗》里的解法,原话是:
”置僧一百为实,以三一并得四为法除之,得大僧二十五个。
”所谓“实”便是”“被除数”,“法”便是“除数”。
列式就是:
100÷(3+1)=25,100-25=75。
我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑。
四鸡兔同笼问题
鸡兔同笼不知数,
三十六头笼中露。
数清脚共五十双,
各有多少鸡和兔?
一队强盗一队狗,
二队拼作一队走,
数头一共三百六,
数腿一共八百九,
问有多少强盗多少狗?
1.鸡兔同笼,共17个头,42条腿。
问:
鸡有几只,兔有几只?
2.小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚,价值1。
5元。
问:
一角的硬币有几枚,5角的硬币有几枚?
3.用大小卡车往城市运送29吨蔬菜,大卡车每辆每次运5吨,,小卡车每辆每次运3吨,问:
大小卡车各用几辆一次能运完?
(注意有多解)
4.每校有100名学生参加数学竞赛,平均分是63分,其中男生平均分是60分,女生平均分是70分。
问:
男生比女生多几人?
5.学校买回4个篮球和5个排球,一共用了185元,一个篮球比一个排球贵8元。
问:
篮球的单价是多少?
6.解放军进行野营拉练。
晴天每天走35千米,雨天每天走28千米,11天一共走350千米。
求这期间晴天共有多少天?
7.小强集邮,他用一元钱买了4分和8分的邮票共20张。
问:
小强买了4分邮票几张?
8.一堆2分和5分的硬币共299分,其中2分硬币的个数是5分硬币个数的4倍。
问:
5分硬币有几枚?
9.某人领得奖金240元,有2元5元10元三种人民币共50张,其中2元和5元的张数一样多。
问:
10元的张数是多少?
10.小明买了4分和8分的邮票共花去6元8角钱,已知8分的邮票比4分的多40张。
问:
8分的邮票是几张?
11.鸡兔同笼,共200只,鸡的脚比兔的脚少56只。
问:
鸡有几只,兔有几只?
12.有一辆货车运送2000只玻璃瓶,运费按到达时完好瓶子计算每只2角,如有破损,则破损一个瓶子要倒赔1元。
结果运费379。
6元。
问:
运送中损坏了几只瓶子?
13.某数学测验共20题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做不扣分。
小华得了76分。
问:
小华做对几题?
14.鸡兔同笼,共有头100个,足316只。
问:
鸡有几只,兔有几只?
15.小明花了34元钱买贺卡和明信片,一共买了14张。
贺卡每张3角5分,明信片每张2角5分。
问:
小明买了几张贺卡,几张明信片?
16.潍坊盲童学校举行数学竞赛,共20道试题,做对一题得5分,做错或没有做的题,每题倒扣3分。
刘刚得了60分。
问:
他做对了几题?
17.鸡兔同笼,共有脚100只。
若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚92只,问:
鸡有几只,兔有几只?
18.鸡兔共有100只,鸡脚比兔脚多80只,问:
鸡兔各有多少?
19.鸡兔同笼,共有30个头,88只脚。
求笼中鸡兔各有多少只?
20.小明用10元钱正好买了20分和50分的邮票共35张,求这两种邮票名买了多少张?
21.小红用13元6角正好买了50分和80分邮票共计20张,求两种邮票各买了多少张?
22.小刚的储蓄罐里共2分和5分硬币70枚,小刚数了一下,一共有194分,求两种硬币各有多少枚?
23.三年一班30人共向北京奥运会捐款205元,同学每人了捐了5元或10元,你知道捐5元和10元的同学各有多少人吗?
24.松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个。
它一连8天共采了112个松籽,这八天有几天晴天几天雨天?
25.某校有一批同学参加数学竞赛,平均得63分,总分是3150分。
其中男生平均得60分,女生平均得70分。
求参加竞赛的男女各有多少人?
26.一次数学竞赛共有20道题。
做对一道题得5分,做错一题倒扣3分,刘冬考了52分,你知道刘冬做对了几道题?
27.一次数学竞赛共有20道题。
做对一道题得8分,做错一题倒扣4分,刘冬考了112分,你知道刘冬做对了几道题?
28.52名同学去划船,一共乘坐11只船,其中每只大船坐6人,每只小船坐4人。
求大船和小船各几只?
29.在一个停车场上,停了小轿车和摩托车一共32辆,这些车一共108个轮子。
求小轿车和摩托车各有多少辆?
鸡兔同笼问题——基础学习
一解答题
3一般鸡兔同笼例1:
鸡兔同笼,共17个头,42条腿。
问:
鸡有几只,兔有几只?
【答案】4只,13只
【解题关键点】不加注的都是鸡兔同笼模板,套公式
兔:
(42-17×2)/2=4只;
鸡:
17-4=13只
【结束】
4一般鸡兔同笼例2:
笼子里有若干只鸡和兔。
从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚,鸡和兔各有几只?
【答案】兔有5只,鸡有3只。
【解题关键点】解法1:
假设的方法。
如果假设笼子里都是鸡,就有8×2=16只脚,这样就多出26-16=10只脚,一只兔比一只鸡多2只脚,也就是有10÷2=5只兔。
所以笼子里有3只鸡,5只兔。
解法2:
如果假设笼子里都是兔,那么也可以列式:
鸡:
(8×4-26)÷(4-2)=3(只)兔:
8-3=5(只)
解法3:
用方程解的。
解:
设兔有x只,那么就有(8-x)只鸡,鸡兔共有26只脚,就是
4x+2(8-x)=26
2x+16=26
x=5
8-5=3(只)
【结束】
5另一类,“三者同笼”问题
【答案】1:
把他们看成一个整体,把3者间的关系,转换成2类物体间谍关系
2:
三个未知数列三个方程
【结束】
6另一类鸡兔同笼例1:
有蜘蛛,蜻蜓,蝉三种动物共18只,共有腿118条,翅膀20对(蜘蛛8条腿;蜻蜓6条腿,2对翅膀;蝉6条腿,1对翅膀),三种动物各几只?
【答案】蜘蛛是5只,蜻蜓是7只,蝉是6只。
【解题关键点】方程假设蜘蛛为x,蜻蜓为y,蝉为Z
那么x+y+z=18
8x+6y+6z=118
2y+z=20
由此算出x=5y=7z=6所以蜘蛛是5只,蜻蜓是7只,蝉是6只。
1鸡兔同笼,共17个头,42条腿。
问:
鸡有几只,兔有几只?
2小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚,价值1。
5元。
问:
一角的硬币有几枚,5角的硬币有几枚?
3用大小卡车往城市运送29吨蔬菜,大卡车每辆每次运5吨,,小卡车每辆每次运3吨,问:
大小卡车各用几辆一次能运完?
(注意有多解)
4每校有100名学生参加数学竞赛,平均分是63分,其中男生平均分是60分,女生平均分是70分。
问:
男生比女生多几人?
5学校买回4个篮球和5个排球,一共用了185元,一个篮球比一个排球贵8元。
问:
篮球的单价是多少?
7小强集邮,他用一元钱买了4分和8分的邮票共20张。
问:
小强买了4分邮票几张?
8一堆2分和5分的硬币共299分,其中2分硬币的个数是5分硬币个数的4倍。
问:
5分硬币有几枚?
9某人领得奖金240元,有2元5元10元三种人民币共50张,其中2元和5元的张数一样多。
问:
10元的张数是多少?
10小明买了4分和8分的邮票共花去6元8角钱,已知8分的邮票比4分的多40张。
问:
8分的邮票是几张?
11鸡兔同笼,共200只,鸡的脚比兔的脚少56只。
问:
鸡有几只,兔有几只?
12有一辆货车运送2000只玻璃瓶,运费按到达时完好瓶子计算每只2角,如有破损,则破损一个瓶子要倒赔1元。
结果运费379。
6元。
问:
运送中损坏了几只瓶子?
13某数学测验共20题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分,不做不扣分。
小华得了76分。
问:
小华做对几题?
14鸡兔同笼,共有头100个,足316只。
问:
鸡有几只,兔有几只?
15小明花了34元钱买贺卡和明信片,一共买了14张。
贺卡每张3角5分,明信片每张2角5分。
问:
小明买了几张贺卡,几张明信片?
16东湖小学六年级举行数学竞赛,共20道试题,做对一题得5分,做错或没有做的题,每题倒扣3分。
刘刚得了60分。
问:
他做对了几题?
17鸡兔同笼,共有脚100只。
若将鸡换成兔,兔换成鸡,则共有脚92只,问:
鸡有几只,兔有几只?
18100个馒头100个和尚吃,大和尚每人吃3个,小和尚三人吃1个,问:
大和尚有几个,小和尚有几个?
19鸡兔共有100只,鸡脚比兔脚多80只,问:
鸡兔各有多少?
1.鸡兔同笼,共有30个头,88只脚。
求笼中鸡兔各有多少只?
2.鸡兔同笼不知数,三十六头笼中露。
数清脚共五十双,各有多少鸡和兔?
3.小明用10元钱正好买了20分和50分的邮票共35张,求这两种邮票名买了多少张?
4.小红用13元6角正好买了50分和80分邮票共计20张,求两种邮票各买了多少张?
5.小刚的储蓄罐里共2分和5分硬币70枚,小刚数了一下,一共有194分,求两种硬币各有多少枚?
6.三年一班30人共向北京奥运会捐款205元,同学每人了捐了5元或10元,你知道捐5元和10元的同学各有多少人吗?
7.松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个。
它一连8天共采了112个松籽,这八天有几天晴天几天雨天?
8.某校有一批同学参加数学竞赛,平均得63分,总分是3150分。
其中男生平均得60分,女生平均得70分。
求参加竞赛的男女各有多少人?
9.一次数学竞赛共有20道题。
做对一道题得5分,做错一题倒扣3分,刘冬考了52分,你知道刘冬做对了几道题?
10.一次数学竞赛共有20道题。
做对一道题得8分,做错一题倒扣4分,刘冬考了112分,你知道刘冬做对了几道题?
11.52名同学去划船,一共乘坐11只船,其中每只大船坐6人,每只小船坐4人。
求大船和小船各几只?
12.在一个停车场上,停了小轿车和摩托车一共32辆,这些车一共108个轮子。
求小轿车和摩托车各有多少辆?
13.解放军进行野营拉练。
晴天每天走35千米,雨天每天走28千米,11天一共走了350千米。
求这期间晴天共有多少天?
14.100个和尚吃了100个面包,大和尚1人吃3个,小和尚3人吃1个。
求大小和尚各有多少个?
15.一队强盗一队狗,二队拼作一队走,数头一共三百六,数腿一共八百九,问有多少强盗多少狗?
鸡兔同笼问题——基础学习
一解答题
3一般鸡兔同笼例1:
鸡兔同笼,共17个头,42条腿。
问:
鸡有几只,兔有几只?
【答案】4只,13只
【解题关键点】不加注的都是鸡兔同笼模板,套公式
兔:
(42-17×2)/2=4只;
鸡:
17-4=13只
【结束】
4一般鸡兔同笼例2:
笼子里有若干只鸡和兔。
从上面数,有8个头,从下面数,有26只脚,鸡和兔各有几只?
【答案】兔有5只,鸡有3只。
【解题关键点】解法1:
假设的方法。
如果假设笼子里都是鸡,就有8×2=16只脚,这样就多出26-16=10只脚,一只兔比一只鸡多2只脚,也就是有10÷2=5只兔。
所以笼子里有3只鸡,5只兔。
解法2:
如果假设笼子里都是兔,那么也可以列式:
鸡:
(8×4-26)÷(4-2)=3(只)兔:
8-3=5(只)
解法3:
用方程解的。
解:
设兔有x只,那么就有(8-x)只鸡,鸡兔共有26只脚,就是
4x+2(8-x)=26
2x+16=26
x=5
8-5=3(只)
【结束】
5另一类,“三者同笼”问题
【答案】1:
把他们看成一个整体,把3者间的关系,转换成2类物体间谍关系
2:
三个未知数列三个方程
【结束】
6另一类鸡兔同笼例1:
有蜘蛛,蜻蜓,蝉三种动物共18只,共有腿118条,翅膀20对(蜘蛛8条腿;蜻蜓6条腿,2对翅膀;蝉6条腿,1对翅膀),三种动物各几只?
【答案】蜘蛛是5只,蜻蜓是7只,蝉是6只。
【解题关键点】方程假设蜘蛛为x,蜻蜓为y,蝉为Z
那么x+y+z=18
8x+6y+6z=118
2y+z=20
由此算出x=5y=7z=6所以蜘蛛是5只,蜻蜓是7只,蝉是6只。
百鸡问题
《张邱建算经》中,是原书卷下第38题,也是全书的最后一题:
“今有鸡翁一,值钱伍;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一。
凡百钱买鸡百只,问鸡翁母雏各几何?
答曰:
鸡翁四,值钱二十;鸡母十八,值钱五十四;鸡雏七十八,值钱二十六。
又答:
鸡翁八,值钱四十;鸡母十一,值钱三十三,鸡雏八十一,值钱二十七。
又答:
鸡翁十二,值钱六十;鸡母四值钱十二;鸡雏八十四,值钱二十八。
”该问题导致三元不定方程组,其重要之处在于开创“一问多答”的先例,这是过去中国古算书中所没有的。
秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题,都是后人对物不知其数问题的一种故事化。
物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。
原题为:
“今有物不知其数,三三数之二,五五数之三,七七数之二,问物几何?
”这道题的意思是:
有一批物品,不知道有几件。
如果三件三件地数,就会剩下两件;如果五件五件地数,就会剩下三件;如果七件七件地数,也会剩下两件。
问:
这批物品共有多少件?
变成一个纯粹的数学问题就是:
有一个数,用3除余2,用5除余3,用7除余2。
求这个数。
这个问题很简单:
用3除余2,用7除也余2,所以用3与7的最小公倍数21除也余2,而用21除余2的数我们首先就会想到23;23恰好被5除余3,所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单,是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。
如果没有这个特殊性,问题就不那么简单了,也更有趣得多。
我们换一个例子:
韩信点一队士兵的人数,三人一组余两人,五人一组余三人,七人一组余四人。
问:
这队士兵至少有多少人?
这个题目是要求出一个正数,使之用3除余2,用5除余3,用7除余4,而且希望所求出的数尽可能地小。
如果一位同学从来没有接触过这类问题,也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。
例如我们从用3除余2这个条件开始。
满足这个条件的数是3n+2,其中n是非负整数。
要使3n+2还能满足用5除余3的条件,可以把n分别用1,2,3,…代入来试。
当n=1时,3n+2=5,5除以5不用余3,不合题意;当n=2时,3n+2=8,8除以5正好余3,可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。
最后一个条件是用7除余4。
8不满足这个条件。
我们要在8的基础上得到一个数,使之同时满足三个条件。
为此,我们想到,可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。
因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2,除以5仍然余3。
于是我们让新数为8+15m,分别把m=1,2,…代进去试验。
当试到m=3时,得到8+15m=53,53除以7恰好余4,因而53合乎题目要求。
我国古代学者早就研究过这个问题。
例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》(1593年)中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法:
三人同行七十稀,
五树梅花甘一枝,
七子团圆正半月,
除百零五便得知。
“正半月”暗指15。
“除百零五”的原意是,当所得的数比105大时,就105105地往下减,使之小于105;这相当于用105去除,求出余数。
这四句口诀暗示的意思是:
当除数分别是357时,用70乘以用3除的余数,用21乘以用5除的余数,用15乘以用7除的余数,然后把这三个乘积相加。
加得的结果如果比105大,就除以105,所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得:
70×2+21×3+15×4=263,
263=2×105+53,
所以,这队士兵至少有53人。
在这种方法里,我们看到:
702115这三个数很重要,稍加研究,可以发现它们的特点是:
70是5与7的倍数,而用3除余1;
21是3与7的倍数,而用5除余1;
15是3与5的倍数,而用7除余1。
因而
70×2是5与7的倍数,用3除余2;
21×3是3与7的倍数,用5除余3;
15×4是3与5的倍数,用7除余4。
如果一个数除以a余数为b,那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a,余数仍然是b。
所以,把70×221×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足“用3除余2用5除余3用7除余4”的要求。
一般地,
70m+21n+15k(1≤m<3,1≤n<5,1≤k<7)
能同时满足“用3除余m用5除余n用7除余k”的要求。
除以105取余数,是为了求合乎题意的最小正整数解。
我们已经知道了702115这三个数的性质和用处,那么,是怎么把它们找到的呢?
要是换了一个题目,三个除数不再是357,应该怎样去求出类似的有用的数呢?
为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数,我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求。
5与7的最小公倍数是5×7=35,35除以3余2,35的2倍除以3余2,35的2倍除以3就能余1了,于是我们得到了“三人同行七十稀”。
为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数,我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求。
3与7的最小公倍数是3×7=21,21除以5恰好余1,于是我们得到了“五树梅花甘一枝”。
为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数,我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求。
3与5的最小公倍数是3×5=15,15除以7恰好余1,因而我们得到了“七子团圆正半月”。
357的最小公倍数是105,所以“除百零五便得知”。
例如:
试求一数,使之用4除余3,用5除余2,用7除余5。
我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数;5与7的最小公倍数是5×7=35,35除以4余3,3×3除以4余1,因而35×3=105除以4余1,105是5与7的倍数而用4除余1的数。
我们再求4与7的倍数而用5除余1的数;4与7的最小公倍数是4×7=28,28除以5余3,3×7除以5余1,因而28×7=196除余5余1,所以196是4与7的倍数而用5除余1的数。
最后求的是4与5的倍数而用7除余1的数:
4与5的最小公倍数是4×5=20,20除以7余6,6×6除以7余1,因而20×6=120除以7余1,所以120是4与5的倍数而用7除余1的数。
利用105196120这三个数可以求出符合题目要求的
105×3+196×2+120×5=1307。
由于457的最小公倍数是4×5×7=140,1307大于140,所以1307不是合乎题目要求的最小的解。
用1037除以140得到的余数是47,47是合乎题目的最小的正整数解。
一般地,
105m+196n+120k(1≤m<4,1≤n<5,1≤k<7)
是用4除余m,用5除余n,用7除余k的数(105m+196n+120k)除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数。
上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数。
如果只是为了解答我们这个具体的例题,由于5×7=35既是5与7的倍数除以4又余3,就不必求出105再乘以3了。
35+196×2+120×5=1027
就是符合题意的数。
1027=7×140+47,
由此也可以得出符合题意的最小正整数解47。
《算法统宗》中把在以357为除数“物不知其数”问题中起重要作用的702115这几个特征数用几句口诀表达出来了,我们也可以把在以457为除数的问题中起重要作用的105196120这几个特征数编为口诀。
留给读者自己去编吧。
凡是三个除数两两互质的情况,都可以用上面的方法求解。
上面的方法所依据的理论,在中国称之为孙子定理,国外的书籍称之为中国剩余定理。