高中数学--二次函数问题Word文档格式.doc

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（1）一元二次方程（≠0）有两个不相等的实数根，

判别式

对应的二次函数（≠0）的图象与轴有两个交点为，

对应的二次函数（≠0）有两个不同的零点，；

（2）一元二次方程（≠0）有两个相等的实数根=

对应的二次函数（≠0）的图象与轴有唯一的交点为（，0）

对应的二次函数（≠0）有两个相同零点=；

（3）一元二次方程（≠0）没有实数根

对应的二次函数（≠0）的图象与轴没有交点

对应的二次函数（≠0）没有零点．

4、二次函数在区间上的最值问题。

设，

则二次函数在闭区间上的最大、最小值有如下的分布情况：

即

图象

最大、最小值

对于开口向下的情况，讨论类似．其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：

（1）若，则，；

（2）若，则，

另外，

（1）当二次函数开口向上时，

自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；

（2）当二次函数开口向下时，

自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小．

5、二次函数恒成立问题

类型一：

设f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）

（1）f（x）≥0（＞0）恒成立a>

0，且△=b2-4ac≤0（＜0），

（2）f（x）≤0（＜0）恒成立

类型二：

（1）当a＞0时，

f（x）＞0在x∈[m，n]上恒成立

或或

f（x）＜0在x∈[m，n]上恒成立

（2）当a＜0时，

f（x）＞0在x∈[m，n]上恒成立

f（x）＜0在x∈[m，n]上恒成立

类型三：

f（x）＞对一切x∈I恒成立

f（x）＜对一切x∈I恒成立

类型四：

f（x）＞g（x）对一切x∈I恒成立f（x）的图像在g（x）的图像的上方

（x∈I）

6、二次函数的图象与二次方程根的分布

（一）．一元二次方程根的基本分布——零分布

方程的根相对于零的关系。

设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1≤x2。

（1）两正根

二次函数图象如下

可得：

x1＞0，x2＞0ó

，ó

（2）两负根

由二次函数图象如下

x1＜0，x2＜0ó

（3）一正一负：

x1＜0＜x2ó

x1x2＝＜0ó

af（0）>

（4）①x1＝0，x2＞0ó

c＝0且x=-＞0；

②x1＜0，x2＝0ó

c＝0且x=-＜0。

（二）．一元二次方程根的非零分布——k分布

设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两实根为x1，x2，且x1≤x2。

k为常数。

则一元二次方程根的k分布（即x1、x2相对于k的位置）有以下若干结论。

（1）k＜x1≤x2ó

（2）x1≤x2＜kó

。

（3）x1＜k＜x2ó

af（k）＜0。

特殊地①x1＜0＜x2ó

ac＜0。

②x1＜1＜x2ó

a（a＋b＋c）＜0。

（4）有且仅有一个根x1（或x2）满足k1＜x1（或x2）＜k2ó

f（k1）f（k2）＜0

（5）k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2ó

（6）k1＜x1≤x2＜k2ó

由于二次函数图象与轴交点的横坐标即为二次方程的根，所以我们通常可借助二次函数的图象来讨论二次方程的实根分布情况。

二、例题演练

题型一、二次函数的最值问题

例1、求在区间上的最大值和最小值。

例2、已知函数在区间上的最大值为1，求实数的值。

题型二、一元二次方程的实根分布问题

例3、

（1）关于的方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求的取值范围；

（2）关于的方程有两实根都在内，求的取值范围；

（3）关于x的方程有两实根在外，求m的取值范围

（4）关于的方程有两实根，且一个大于4，一个小于4，求的取值范围.

题型三、二次函数的综合问题

例4、已知二次函数．

（1）若a>

b>

c，　且f

（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；

（2）在

（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=－a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；

（3）若对，方程有2个不等实根，

例5、

（1）已知函数，若有解，求实数的取值范围；

（2）已知，当时，若恒成立，求实数的取值范围。

解析

例1［分析］解决这类问题的关键是判别函数的定义域各区间上的单调性，再利用函数的单调性解决问题。

解、，对称轴为.

（1）当时，由图

（1）可知，

，

（1）

（2）

（2）当时，由图

（2）可知，

（3）当时，由图（3）可知，

，

（3）（4）

（4）当时，由图（4）可知，

［评注］

（1）利用单调性求最值或值域应先判断函数在给定区间上的单调性。

（2）求解二次函数在某区间上的最值，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系，若含有字母应注意分类讨论，解题时最好结合图象解答。

例2、分析：

这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，首先应搞清二次项系数是否为零，如果的最大值与二次函数系数的正负有关，也与对称轴的位置有关，但f（x）的最大值只可能在端点或顶点处取得，解答时必须用讨论法。

解、时，，

在上不能取得1，故.

的对称轴方程为

（1）令，解得，

此时，

因为，最大，所以不合适。

（2）令，解得，

因为，且距右端点2较远，所以最大，合适。

（3）令，得，

验证后知只有才合适。

综上所述，，或

［评注］这里函数的最大值一是与的符号有关。

另外也与对称轴和区间的端的远近有关，不分情况讨论就无法确定

例3：

解

（1）令，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于（思考：

需要吗？

），即

（2）令，原命题等价于

（3）令，原命题等价于

即得

（4）令，依题得

或得

[评注]求解二次方程根的分布问题，结合二次函数图象，主要考虑三个方面的问题

（1）判别式

（2）对称轴（3）区间端点函数值

例4：

解:

（1）

的图象与x轴有两个交点.

（2），∴1是的一个根，由韦达定理知另一根为，

∴

在（1，+∞）单调递增，，即存在这样的m使

（3）令，则是二次函数.

有两个不等实根，且方程的根必有一个属于.

例5、

解：

（1）有解，即有解有解有解所以

（2）当时，恒成立又当时，，所以

【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。

一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：

（1）恒成立；

（2）恒成立;

（3）有解；

（4）有解

小结：

函数综合题往往以二次函数为载体，考查函数的值域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等，考查形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等，高考在此设计的难度远远高于课本要求，在学习中一方面要加强训练，一方面要提高分析问题、解决问题的能力．

习题四

1．设，二次函数的图象为下列之一：

则的值为（）

A．1 B． C． D．

2．方程的两根都大于2，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

3．函数是单调函数的充要条件是（）

4、若关于的方程在（0，1）内恰有一解，求实数的取值范围。

5、已知关于的方程，探究为何值时

（1）方程有一根

（2）方程有一正一负两根（3）两根都大于1（4）一根大于1一根小于1

7、设，若0，求证：

（1）方程有实根；

（2）；

（3）设是方程的两个实根，则

8．已知二次函数设不等式的解集为A，又知集合若，求的取值范围。

11、已知函数与轴非负半轴至少有一个交点，求的取值范围．

12．对于函数，若存在，使，则称是的一个不动点，已知函数

（1）当时，求函数的不动点；

（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值．

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