浙教版 八下 数学 第四章《平行四边形》提高习题.docx
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浙教版八下数学第四章《平行四边形》提高习题
浙教版八下数学第四章《平行四边形》提高习题
1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：
BE=DF；
（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．
2．如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长多少？
3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：
△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：
AO=CO．
4．已知：
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：
EF=AD．
5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，
DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，
并加以证明．
6．如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
求证：
四边形MFNE是平行四边形．
7．如图，连接正六边形ABCDEF（即AB=BC=CD=DE=EF=FA）的各边中点，得到一个较小的正六边形，它的面积与正六边形ABCDEF面积的比值？
8．在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：
四边形BEDF是平行四边形．
9．如图所示，DB∥AC，且DB=
AC，E是AC的中点，求证：
BC=DE．
10．已知：
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？
11．如图：
已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，
求证：
AE与DF互相平分．
12．如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：
四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．
13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．
求证：
EF和GH互相平分．
14．如图：
▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．
15．已知：
如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：
四边形EHFG是平行四边形．
参考答案：
1．（2011•资阳）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
（1）求证：
BE=DF；
（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．
解：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF；
（2）四边形MENF是平行四边形．
证明：
由
（1）可知：
BE=DF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MDB=∠NBD，
∵DM=BN，
∴△DMF≌△BNE，
∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，
∴∠MFE=∠NEF，
∴MF∥NE，
∴四边形MENF是平行四边形．
2．如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB=1，BC=CD=3，DE=2，则这个六边形的周长多少？
解：
如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．
∴GC=BC=3，DP=DE=2．
∴GH=GP=GC+CD+DP=3+3+2=8，FA=HA=GH-AB-BG=8-1-3=4，EF=PH-HF-EP=8-4-2=2．
∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2=15．
故答案为15．
3．（2011•徐州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：
△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：
AO=CO．
证明：
（1）∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，
即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；
（2）连接AC，
∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB∥CD，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
4．（2011•铜仁地区）已知：
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：
EF=AD．
证明：
∵DE，DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF是矩形，
∴EF=AD．
5．（2011•泸州）如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，
DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，
并加以证明．
解：
猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：
平行且相等．
理由：
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
∵在△ADO和△ECO中
∠DAO＝∠ECO
AO＝OC
∠AOD＝∠EOC
∴△ADO≌△ECO（ASA），
∴AD=CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CD
∥
AE．
6．（2010•恩施州）如图，已知，▱ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
求证：
四边形MFNE是平行四边形．
证明：
由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，
又∵AE=CF，
∴△DAE≌△BCF，
∴DE=BF，∠AED=∠CFB
又∵M、N分别是DE、BF的中点，
∴ME=
1
2
DE，NF=
1
2
BF，
∴ME=NF
又∵由AB∥DC，得∠AED=∠EDC
∴∠EDC=∠BFC，
∴ME∥NF，
∴四边形MFNE为平行四边形．
7．如图，连接正六边形ABCDEF（即AB=BC=CD=DE=EF=FA）的各边中点，得到一个较小的正六边形，它的面积与正六边形ABCDEF面积的比值？
解：
因为正六边形的一个内角：
（6-2）×180°÷6=120°
∠GBH=∠GIH=120°，∠IGH=∠BGH=30°，GH=GH，
所以△GBH≌△GIH
即3△BGH的面积是一个△GOH的面积，所以大正六边形有8个△GOH，
小的正六边形有6个△GOH，
所以6÷8=
3
4
，
答：
它的面积是正六边形ABCDEF面积的四分之三．
故答案为：
四，三．
8．（2009•来宾）在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：
四边形BEDF是平行四边形．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE=BF，AE=CF．
∠DAE=∠BCF=60°．
∵∠DCF=∠BCD-∠BCF，
∠BAE=∠DAB-∠DAE，
∴∠DCF=∠BAE．
∴△DCF≌△BAE（SAS）．
∴DF=BE．
∴四边形BEDF是平行四边形．
9．（2006•黄冈）如图所示，DB∥AC，且DB=
AC，E是AC的中点，求证：
BC=DE．
证明：
∵E是AC的中点，
∴EC=
1
2
AC，
又∵DB=
1
2
AC，
∴DB=EC．
又∵DB∥EC，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴BC=DE．
10．（2006•巴中）已知：
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？
解：
设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24-t，CQ=2t，BQ=30-2t．
（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，∴24-t=2t，∴t=8，∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形；
（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，∴t=30-2t，∴t=10，∴10秒后四边形APQB是平行四边形．
∴出发后10秒或8秒其中一个是平行四边形．
11．（2002•三明）如图：
已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，
求证：
AE与DF互相平分．
证明：
∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：
DE∥AC，DE=AF，
EF∥AB，EF=AD，
∴四边形ADEF为平行四边形．
故AE与DF互相平分．
12．已知：
如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：
四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．
证明：
∵▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，
∴OB=OD，
又∵四边形AODE是平行四边形，
∴AE∥OD且AE=OD，
∴AE∥OB且AE=OB，
∴四边形ABOE是平行四边形，
同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．
13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上．
求证：
EF和GH互相平分．
证明：
连接EG、GF、FH、HE，
∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，
∴EG、HF分别是△ABC与△DBC的中位线，
∴EG=
1
2
BC，HF=
1
2
BC，
∴EG=HF．
同理EH=GF．
∴四边形EGFH为平行四边形．
∴EF与GH互相平分．
14．如图：
▱ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AM∥QC，AP∥NC．
又∵MN∥AC，
∴四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形．
∴AC=MQAC=NP．
∴MQ=NP．
15．已知：
如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：
四边形EHFG是平行四边形．
证明：
如答图所示，
∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，
∴OA=OC，OB=OD．
∵G，H分别为OA，OC的中点，
∴OG=
1
2
OA，OH=
1
2
OC，∴OG=OH．
又∵AB∥CD，∴∠1=∠2．
在△OEB和△OFD中，∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，
∴△OEB≌△OFD，∴OE=OF．∴四边形EHFG为平行四边形．
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