导数压轴大题之极值点偏移问题把握本质与通用思路才能举一反三.docx

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导数压轴大题之极值点偏移问题把握本质与通用思路才能举一反三

导数压轴大题之极值点偏移问题，把握本质与通用思路才能举一反三

极值点偏移题型是上一篇所讲述的双变量题型的一种重要分型。

2016年高考I卷的压轴大题就考了这种题型。

这类题型的特点鲜明，解题思路通用性强。

本文通过原创的一张图来直观、简明地揭示极值点偏移问题的基本原理（未见第二家如此系统地阐述它的原理）。

相信每一位同学学会后，再遇到此类题型就有底气而不会再发怵了，真正做到举一反三。

1. 导数（应用）压轴大题之不等式有关问题的极值点偏移题型及典型例题

例1（2016国I）已知函数f（x）=（x-2）e^x+a（x-1）^2有两个零点。

（1）求a的取值范围；

（2）设x1,x2是f（x）的两个零点，证明：

x1+x2<2。

（提示：

这题在上一篇中已给出详细解答，这里不再赘述。

作为2016年的压轴题，第

（2）问算是极值点偏移题型中的一个难度适中的题目，因此刚好可用来清晰地揭示极值点偏移题型的基本原理与通用解题思路。

不熟悉这类题型的同学应先把该题学透，再继续学习其它例题）

例2 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=1/2×mx^2+x。

（1）若函数f（x）与g（x）的图像上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围；

（2）设F（x）=f（x）–g（x），已知F（x）在（0,+∞）上存在两个极值点x1、x2，且x1

x1x2>e^2（其中e为自然对数的底数）。

解：

依题意，x>0，

讲解：

①从极值点偏移题型角度看，本题

（2）问稍有变化（可视作常规题型的变式——出题人常以类似的方式改题或增加难度）：

（a）分析的函数对象为‘导函数’及其两个零点——即两个等值点。

但这些变化对以极值点偏移的思路进行解题并无太大差别，仅仅是对象不同而已。

（b）已知函数的定义域受限——x>0；处理时不要忘了其约束。

（c）从所求证的‘x1x2>e^2’看不出与极值点偏移问题相关，但只需利用已知推出可知条件“x1=lnx1/m和x2=lnx2/m”，即可把所求证问题转化为需知问题（或称需知条件）“x2+x1>2/m”——此为极值点偏移的标准形态。

②通过本例

（1）问可知，分类参数法可规避复杂的讨论，适用时应尽可能用。

但有些情况下，若绕不开超纲知识与方法，则应慎用，以免扣分甚至不得分。

③同学们可试着画出本题

（2）问的草图（后文有用以对照的此图），相信对大家深入理解有极大的帮助。

例3已知函数f（x）=lnx-mx。

（1）求f（x）的单调区间；

（2）已知f（x）有两个零点x1、x2，证明：

1/（lnx1）+1/（lnx2）≥2。

解：

依题意x>0,

（1）（略）。

讲解：

①极值点偏移题型中，把所求证不等式进行变形，使其变为非标准形式又是出题人增加题目难度手段之一。

而解题时，只需利用已知与代数变换方法与技巧，把所求证不等式转化为标准形式即可。

这是应对非规范的所求证不等式的一般要领。

②在利用换元法把所求证不等式转化为标准形式时，证明该改标准形式所需的函数也需要同步构造，而不能再用已知的f（x）=lnx-mx来证明之。

类似地，不能用已知函数而必须构造用来证明（不管转化与否）所求证不等式的函数，又是出题人增加题目难度手段之一。

例4已知函数f（x）=xlnx-a（x-1）^2-x（a≤0）。

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），证明：

f（x1+x2）+2+22ln2。

思路分析（方式：

已知→问题、已知→问题和/或已知→←问题）：

解：

依题意，x>0，且有：

例5已知函数f（x）=xe^（-x），g（x）=xlnx。

（1）求g（x）的单调区间，证明f（x）=g（x）在区间（0,2）上有且仅有一个实根（即为x0）;

（2）min{a,b}表示a,b两个数中较小者，设h（x）=min{f（x）,g（x）}，若关于x的方程h（x）=t（t∈R）在（1,+∞）上有两个不等的实根x1,x2（x1

x1+x2>2x0。

解：

依题意x>0，

讲解：

①本题实质上是极值点偏移的变式（或进化）——分段函数的分界点的偏移。

二者的解题思路是一样的。

本题的出题人还是花了不少心思滴，点赞！

②由

（1）可知，h（x）实为以为边界的分段函数，所求证问题x1+x2>2实质就是指“分界点相对于两根之对称中心的偏移”。

这与极值点偏移问题类似，差别仅在于一个是极值点偏移，另一个是分界点偏移（未必可导）。

虽然几何意义不同，但代数的解题思路是类似的。

所以，若能熟练理解极值点偏移的基本原理及其通用解题思路（下文的重点），则无论题目怎么变换，都可以以不变应万变，真正做到举一反三。

2. 导数（应用）压轴大题之极值点偏移问题的通用解题要领

极值点偏移问题是双变量问题的一种重要分型，除了具有双变量问题的通性通法之外，还有独有的解题要领。

这里不再赘述双变量问题有关内容，以下将重点地从极值点偏移问题的含义、主要特点或特征、通用解题基本原理与思路等角度来归纳与总结。

1） 极值点偏移问题

“极值点偏移”题型是双变量题型的一种典型分型——求证由某函数两等值点的横坐标x1、x2构成的不等式问题。

这类题目都是围绕函数极值点位置与两等值点的（纵向）对称轴之间的偏离量来进行设问的。

2） 问题本质

“千言万语不如一张图”、“没有对比就看不清真相”！

所以下面以两种图来直观地阐述极值点偏移之真相，如下图（示意图）：

a）如下示意的对称图形极值点不发生偏移

b）如下示意的不对称图形极值点发生偏移

c）问题本质

如上两个示意图，对称图形时，因极值点两侧曲线的陡峭程度一样，极值点横坐标始终在两等值点的对称轴上而不会发生极值点偏移；而非对称图形时，因极值点两侧曲线的陡峭程度不一样，极值点所在轴（过其横坐标且垂直于x轴）偏离了两等值点的对称轴而发生极值点偏移。

换句话说，类似上图的非对称性是可能导致极值点偏移的根源所在。

一般地，导数（应用）压轴大题之极值点偏移问题（归属不等式有关问题的双变量问题）的有关题型是围绕这个偏离来进行题设的。

b）偏移方向

偏移时，既可能左偏也可能右偏，具体取决于图像特征。

一般地，哪一侧更陡峭就往那一侧偏（这不难理解，与我们的直观想象或理解的图像形态是一致的）。

3）解题基本原理

下面结合图像来直观地揭示上述原理，一目了然。

理解了这张图，即可助你轻松地做到举一反三。